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文档简介

2015年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)一、选择题,本大题10小题,每小题5分,共50分1设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=2(+i),则z=()a1ib1+ic1+id1i2设a,br,那么“1”是“ab0”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3随机变量x1n(2,1),x2n(4,1),若p(x13)=p(x2a),则a=()a1b2c3d44已知m,n为不同的直线,为不同的平面,则下列说法正确的是()am,nmnbm,nmncm,n,mndn,n5极坐标系中,点p,q分别是曲线c1:=1与曲线c2:=2上任意两点,则|pq|的最小值为()a1bcd26二项式(x2)6的展开式中不含x3项的系数之和为()a20b24c30d367函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是()aa0b0aca1da0或a18单位正方体(棱长为1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则()a该几何体体积为b该几何体体积可能为c该几何体表面积应为+d该几何体唯一9已知x,yr,且,则存在r,使得xcos+ysin+1=0成立的p(x,y)构成的区域面积为()a4b4cd +10已知函数f(x)=2x+cosx,设x1,x2(0,)(x1x2),且f(x1)=f(x2),若x1,x0,x2成等差数列,f(x)是f(x)的导函数,则()af(x0)0bf(x0)=0cf(x0)0df(x0)的符号无法确定二、填空题,本大题共5小题,每小题5分,共25分11设m是实数,若xr时,不等式|xm|x1|1恒成立,则m的取值范围是12已知一个算法,其流程如图,则输出结果是13抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为14平面向量,满足|2|=1,|2|=1,则的取值范围15在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若abc不是直角三角形,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)tanatanbtanc=tana+tanb+tanc;若tana:tanb:tanc=1:2:3,则a=45;tana+tanb+tanc的最小值为3;当tanb1=时,则sin2csinasinb;若x表示不超过x的最大整数,则满足tana+tanb+tanctana+tanb+tanc的a,b,c仅有一组三、解答题,本大题共6小题,共75分16已知函数f(x)=sin(x+)(0,02)一个周期内的一系列对应值如表:x0y101(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x)+sin2x的单调递增区间17已知p(m,n)是函授f(x)=ex1图象上任一于点()若点p关于直线y=x1的对称点为q(x,y),求q点坐标满足的函数关系式()已知点m(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=,当点m在函数y=h(x)图象上时,公式变为,请参考该公式求出函数(s,t)=|sex11|+|tln(t1)|,(sr,t0)的最小值18已知梯形abcd中,abcd,b=,dc=2ab=2bc=2,以直线ad为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体()求几何体的表面积()判断在圆a上是否存在点m,使二面角mbcd的大小为45,且cam为锐角若存在,请求出cm的弦长,若不存在,请说明理由19如图,已知椭圆c: +y2=1,点b坐标为(0,1),过点b的直线与椭圆c另外一个交点为a,且线段ab的中点e在直线y=x上()求直线ab的方程()若点p为椭圆c上异于a,b的任意一点,直线ap,bp分别交直线y=x于点m,n,证明:omon为定值20中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件,各自独立工作,每个元件正常工作的概率为p(0p1),若通讯器械中有超过一半的元件正常工作,则通讯器械正常工作,通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率()设通讯器械上正常工作的元件个数为x,求x的数学期望,并求该通讯器械正常工作的概率p(列代数式表示)()现为改善通讯器械的性能,拟增加2个元件,试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率21已知数列an满足a1=,an+1=an+,数列bn满足bn=()证明:bn(0,1)()证明: =()证明:对任意正整数n有an2015年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,本大题10小题,每小题5分,共50分1设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=2(+i),则z=()a1ib1+ic1+id1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】设出复数z=a+bi(a,br),代入z=2(+i)后整理,利用复数相等的条件列关于a,b的方程组求解a,b,则复数z可求【解答】解:设z=a+bi(a,br),则=abi,由z=2(+i),得(a+bi)(abi)=2a+(b1)i,整理得a2+b2=2a+2(b1)i则,解得所以z=1+i故选b【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题2设a,br,那么“1”是“ab0”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】不等式的解法及应用【分析】ab0,可推出,而当,时,例如取a=2,b=1,显然不能推出ab0,由充要条件的定义可得答案【解答】解:由不等式的性质,ab0,可推出,而当,时,例如取a=2,b=1,显然不能推出ab0故是ab0的必要不充分条件故选b【点评】本题为充要条件的判断,正确利用不等式的性质是解决问题的关键,属基础题3随机变量x1n(2,1),x2n(4,1),若p(x13)=p(x2a),则a=()a1b2c3d4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题;概率与统计【分析】随机变量x1n(2,1),图象关于x=2对称,x2n(4,1),图象关于x=4对称,利用p(x13)=p(x2a),建立方程,即可求出a的值【解答】解:随机变量x1n(2,1),图象关于x=2对称,x2n(4,1),图象关于x=4对称,因为p(x13)=p(x2a),所以32=4a,所以a=3,故选:c【点评】本题主要考查正态分布的图象,结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解4已知m,n为不同的直线,为不同的平面,则下列说法正确的是()am,nmnbm,nmncm,n,mndn,n【考点】平面与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解:在a选项中,可能有n,故a错误;在b选项中,可能有n,故b错误;在c选项中,两平面有可能相交,故c错误;在d选项中,由平面与平面垂直的判定定理得d正确故选:d【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养5极坐标系中,点p,q分别是曲线c1:=1与曲线c2:=2上任意两点,则|pq|的最小值为()a1bcd2【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】画出极坐标方程对应的图形,判断选项即可【解答】解:极坐标系中,点p,q分别是曲线c1:=1与曲线c2:=2上任意两点,可知两条曲线是同心圆,如图,|pq|的最小值为:1故选:a【点评】本题考查极坐标方程的应用,两点距离的求法,基本知识的考查6二项式(x2)6的展开式中不含x3项的系数之和为()a20b24c30d36【考点】二项式定理的应用【专题】计算题;二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于3,求得r的值,即可求得展开式含x3项的系数和,再用所有现代系数和减去此值,即为所求【解答】解:二项式的展开式的通项公式为tr+1=(1)rx123r,令123r=3,求得r=3,故展开式中含x3项的系数为(1)3=20,而所有系数和为0,不含x3项的系数之和为20,故选:a【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题7函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是()aa0b0aca1da0或a1【考点】函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】易知1是函数f(x)=的零点,故函数f(x)在(,0上没有零点,从而转化为a2x,或a2x在(,0上恒成立,再转化为最值问题即可【解答】解:f(1)=lg1=0,当x0时,函数f(x)没有零点,故2x+a0或2x+a0在(,0上恒成立,即a2x,或a2x在(,0上恒成立,故a1或a0;故选d【点评】本题考查了分段函数的应用,函数零点与方程的关系应用及恒成立问题,属于基础题8单位正方体(棱长为1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则()a该几何体体积为b该几何体体积可能为c该几何体表面积应为+d该几何体唯一【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题;空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可以判断几何体的形状,及其表面展开图的组成部分及各部分的形状,代入多面体表面积公式,可得答案【解答】解:由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体,截掉一个角(三棱锥)得到且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1该几何体的表面积由三个正方形,有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成故其表面积s=3(11)+3(11)+()2=故选:c【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积,其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键9已知x,yr,且,则存在r,使得xcos+ysin+1=0成立的p(x,y)构成的区域面积为()a4b4cd +【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域,求解xcos+ysin+1=0成立的等价条件,利用数形结合求出对应的面积即可得到结论【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:对应的区域为三角形oab,若存在r,使得xcos+ysin+1=0成立,则(cos+sin)=1,令sin=,则cos=,则方程等价为sin(+)=1,即sin(+)=,存在r,使得xcos+ysin+1=0成立,|1,即x2+y21,则对应的区域为单位圆的外部,由,解得,即b(2,2),a(4,0),则三角形oab的面积s=4,直线y=x的倾斜角为,则aob=,即扇形的面积为,则p(x,y)构成的区域面积为s=4,故选:a【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件作出对应的图象,求出对应的面积是解决本题的关键综合性较强10已知函数f(x)=2x+cosx,设x1,x2(0,)(x1x2),且f(x1)=f(x2),若x1,x0,x2成等差数列,f(x)是f(x)的导函数,则()af(x0)0bf(x0)=0cf(x0)0df(x0)的符号无法确定【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】由已知存在x1ax2,f(a)=0,解得a=,由已知得,从而能求出【解答】解:函数f(x)=2x+cosx,设x1,x2(0,)(x1x2),且f(x1)=f(x2),存在x1ax2,f(a)=0,解得a=,假设x1,x2在a的邻域内,即x2x10,f(x)的图象在a的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正,x0a,又xx0,又xx0时,f(x)递减,故选:a【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用二、填空题,本大题共5小题,每小题5分,共25分11设m是实数,若xr时,不等式|xm|x1|1恒成立,则m的取值范围是0,2【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由绝对值三角不等式,可得|xm|x1|m1|,再根据|m1|1求得m的取值范围【解答】解:|xm|x1|(xm)(x1)|=|m1|,故由不等式|xm|x1|1恒成立,可得|m1|1,1m11,求得0m2,故答案为:0,2【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于基础题12已知一个算法,其流程如图,则输出结果是5【考点】程序框图【专题】图表型;算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a的值,当a=5时,满足条件a24a+1,退出循环,输出a的值为5【解答】解:模拟执行程序框图,可得a=1,a=2不满足条件a24a+1,a=3不满足条件a24a+1,a=4不满足条件a24a+1,a=5满足条件a24a+1,退出循环,输出a的值为5故答案为:5【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键,属于基本知识的考查13抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为( 1,2)【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程设p点坐标,分别表示出其到准线方程和到原点的距离,使其相等进而求得a,则p的坐标可得【解答】解:设点p坐标为(a2,a)依题意可知抛物线的准线方程为x=2a2+2=,求得a=2点p的坐标为( 1,2)故答案为:( 1,2)【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题14平面向量,满足|2|=1,|2|=1,则的取值范围,1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】设两个向量的夹角为,将已知的等式两边平方,求出两个向量的模相等,将所求用夹角表示,通过三角函数的值域求出向量的模的平方的范围,进一步求数量积的范围【解答】解:设两个向量的夹角为,因为|2|=1,|2|=1,所以,所以, =所以5=1,所以,所以5a21, ,1,所以;故答案为:,1【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义,求向量数量积的范围15在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若abc不是直角三角形,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)tanatanbtanc=tana+tanb+tanc;若tana:tanb:tanc=1:2:3,则a=45;tana+tanb+tanc的最小值为3;当tanb1=时,则sin2csinasinb;若x表示不超过x的最大整数,则满足tana+tanb+tanctana+tanb+tanc的a,b,c仅有一组【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题;三角函数的图像与性质【分析】利用和角的正切公式,结合三角形的内角和即可判断;由可得tana=1,进而可判断;举出反例:a=,b=c=计算即可;由可得c=60,进而利用和差角公式及正弦型函数的性质即可判断;由x的定义,结合可确定tana、tanb、tanc为整数,进而可判断【解答】解:由题意知:a,b,c,且a+b+c=,tan(a+b)=tan(c)=tanc,tana+tanb=tan(a+b)(1tanatanb)=tanc(1tanatanb)=tanc+tanatanbtanc,即tana+tanb+tanc=tanatanbtanc,故正确;由tana:tanb:tanc=1:2:3,设tana=x,tanb=2x,tanc=3x,tana=tan(b+c)=tan(b+c)=x,整理得:x2=1,解得:x=1或x=1,tana=1或tana=1(不合题意,舍去),又a为三角形的内角,则a=45,故正确;当a=,b=c=时,tana+tanb+tanc=3,故错误;当tanb1=时, tanatanb=tana+tanb+tanc,即tanc=,c=60,此时sin2c=,sinasinb=sinasin(120a)=sina(cosa+sina)=sin2acos2a=sin(2a30),则sin2csinasinb,故正确;对任意实数x,均有xx,tana+tanb+tanctana+tanb+tanctana+tanb+tanc,又由可知tana、tanb、tanc为整数,不妨设tanatanbtanc,则tana、tanb、tanc分别为1、2、3,故正确;故答案为:【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了和角的正切公式,反证法,诱导公式等知识点,属于中档题三、解答题,本大题共6小题,共75分16已知函数f(x)=sin(x+)(0,02)一个周期内的一系列对应值如表:x0y101(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x)+sin2x的单调递增区间【考点】由y=asin(x+)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质【分析】(1)由表可求周期t=,由周期公式可求,由sin(20+)=1,且02,即可求,从而可得函数的解析式(2)先由三角函数恒等变换求解析式g(x)=2sin(2x+),由2k2x+2k,kz即可解得函数g(x)=f(x)+sin2x的单调递增区间【解答】(本题满分12分)解:(1)由表格给出的信息知,函数f(x)的周期为t=2(0)=所以=2,由sin(20+)=1,且02,所以=所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+)=cos2x6分(2)g(x)=f(x)+sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+),令2k2x+2k,kz则得kxk+,kz故函数g(x)=f(x)+sin2x的单调递增区间是:k,k+,kz12分【点评】本题主要考查了由y=asin(x+)的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,周期公式的应用,属于基本知识的考查17已知p(m,n)是函授f(x)=ex1图象上任一于点()若点p关于直线y=x1的对称点为q(x,y),求q点坐标满足的函数关系式()已知点m(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=,当点m在函数y=h(x)图象上时,公式变为,请参考该公式求出函数(s,t)=|sex11|+|tln(t1)|,(sr,t0)的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】(1)采用代入法,即先设出q(x,y)的坐标,然后用x,y表示出已知的点p的坐标,然后带入到已知的解析式中即可(2)由已知的公式,将(s,t)表示出来,然后将问题转化为函数的最值问题来解【解答】解:(1)因为点p,q关于直线y=x1对称,所以解得又n=em1,所以x=1e(y+1)1,即y=ln(x1)(2)(s,t)=|sex11|+|tln(t1)1|=,令u(s)=则u(s),v(t)分别表示函数y=ex1,y=ln(t1)图象上点到直线xy1=0的距离由(1)知,umin(s)=vmin(t)而f(x)=ex1,令f(s)=1得s=1,所以umin(s)=故【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题,同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离,然后再利用函数的思想求解体现了解析几何与函数思想的结合18已知梯形abcd中,abcd,b=,dc=2ab=2bc=2,以直线ad为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体()求几何体的表面积()判断在圆a上是否存在点m,使二面角mbcd的大小为45,且cam为锐角若存在,请求出cm的弦长,若不存在,请说明理由【考点】二面角的平面角及求法;旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】(1)根据题意知该旋转体下半部分是一个圆锥,上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体,求出它的表面积即可;(2)作meac,efbc,连结fm,说明mfe为二面角mbcd的平面角,设cam=,通过tanmfe=1求出,然后求解cm【解答】解:(1)根据题意,得;该旋转体的下半部分是一个圆锥,上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体,其表面积为s=422=8,或s=42+(422)+2=8;(2)作meac,efbc,连结fm,易证fmbc,mfe为二面角mbcd的平面角,设cam=,em=2sin,ef=,tanmfe=1,tan=,cm=2【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是综合性题目19如图,已知椭圆c: +y2=1,点b坐标为(0,1),过点b的直线与椭圆c另外一个交点为a,且线段ab的中点e在直线y=x上()求直线ab的方程()若点p为椭圆c上异于a,b的任意一点,直线ap,bp分别交直线y=x于点m,n,证明:omon为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】()设点e(t,t),则a(2t,2t+1),通过将点a代入椭圆c,计算即得结论;()设p(x0,y0),分别联立直线ap与直线y=x的方程、直线bp与直线y=x的方程,计算即得结论【解答】()解:设点e(t,t),b(0,1),a(2t,2t+1),点a在椭圆c上,整理得:6t2+4t=0,解得t=或t=0(舍去),e(,),a(,),直线ab的方程为:x+2y+2=0;()证明:设p(x0,y0),则,直线ap方程为:y+=(x+),联立直线ap与直线y=x的方程,解得:xm=,直线bp的方程为:y+1=,联立直线bp与直线y=x的方程,解得:xn=,omon=|xm|xn|=2|=|=|=|=【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题20中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件,各自独立工作,每个元件正常工作的概率为p(0p1),若通讯器械中有超过一半的元件正常工作,则通讯器械正常工作,通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率()设通讯器械上正常工作的元件个数为x,求x的数学期望,并求该通讯器械正常工作的概率p(列代数式表示)()现为改善通讯器械的性能,拟增加2个元件,试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】()首先由二项分布及其期望公式求得期望,然后利用独立重复试验求得

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