高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修22.ppt

1 1 3导数的几何意义 第一章 1 1变化率与导数 学习目标 1 了解导函数的概念 理解导数的几何意义 2 会求简单函数的导函数 3 根据导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一导数的几何意义 如图 pn的坐标为 xn f xn n 1 2 3 4 p的坐标为 x0 y0 直线pt为在点p处的切线 思考1割线ppn的斜率kn是多少 思考2当点pn无限趋近于点p时 割线ppn的斜率kn与切线pt的斜率k有什么关系 答案kn无限趋近于切线pt的斜率k 梳理 1 切线的定义 设ppn是曲线y f x 的割线 当点pn趋近于点p时 割线ppn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线pt称为曲线y f x 的切线 2 导数f x0 的几何意义 导数f x0 表示曲线y f x 在点处的切线的斜率k 即k 3 切线方程 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 在点p处 x0 f x0 f x0 y f x0 f x0 x x0 思考已知函数f x x2 分别计算f 1 与f x 它们有什么不同 知识点二导函数 f 1 是一个值 而f x 是一个函数 梳理对于函数y f x 当x x0时 f x0 是一个确定的数 则当x变化时 f x 便是一个关于x的函数 我们称它为函数y f x 的导函数 简称导数 即f x y 特别提醒 1 函数在一点处的导数f x0 是一个常数 2 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 3 直线与曲线相切 则直线与已知曲线只有一个公共点 思考辨析判断正误 题型探究 类型一求切线方程 解答 解将x 2代入曲线c的方程得y 4 切点p 2 4 k 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练1曲线y x2 1在点p 2 5 处的切线与y轴交点的纵坐标是 答案 3 解析 k 4 曲线y x2 1在点 2 5 处的切线方程为y 5 4 x 2 即y 4x 3 切线与y轴交点的纵坐标是 3 解答 命题角度2曲线过某点的切线方程例2求过点 1 0 与曲线y x2 x 1相切的直线方程 解设切点为 x0 x0 1 解得x0 0或x0 2 当x0 0时 切线斜率k 1 过 1 0 的切线方程为y 0 x 1 即x y 1 0 当x0 2时 切线斜率k 3 过 1 0 的切线方程为y 0 3 x 1 即3x y 3 0 故所求切线方程为x y 1 0或3x y 3 0 反思与感悟过点 x1 y1 的曲线y f x 的切线方程的求法步骤 1 设切点 x0 f x0 3 解方程得k f x0 x0 y0 从而写出切线方程 跟踪训练2求函数y f x x3 3x2 x的图象上过原点的切线方程 解答 y f x0 x f x0 故所求切线方程为x y 0或5x 4y 0 类型二利用图象理解导数的几何意义 例3已知函数f x 的图象如图所示 则下列不等关系中正确的是a 0 f 2 f 3 f 3 f 2 b 0 f 2 f 3 f 2 f 3 c 0 f 3 f 3 f 2 f 2 d 0 f 3 f 2 f 2 f 3 解析 答案 f 2 为函数f x 的图象在点b 2 f 2 处的切线的斜率 f 3 为函数f x 的图象在点a 3 f 3 处的切线的斜率 根据图象可知0 f 3 f 3 f 2 f 2 反思与感悟导数的几何意义就是切线的斜率 所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决 跟踪训练3若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 解析 答案 解析依题意 y f x 在 a b 上是增函数 则在函数f x 的图象上 各点的切线的斜率随着x的增大而增大 观察四个选项的图象 只有a满足 例4已知曲线f x x2 1在x x0处的切线与曲线g x 1 x3在x x0处的切线互相平行 求x0的值 类型三求切点坐标 解答 解对于曲线f x x2 1 对于曲线g x 1 x3 引申探究若将本例条件中的 平行 改为 垂直 求x0的值 解答 反思与感悟求切点坐标的一般步骤 1 设出切点坐标 2 利用导数或斜率公式求出斜率 3 利用斜率关系列方程 求出切点的横坐标 4 把横坐标代入曲线或切线方程 求出切点纵坐标 跟踪训练4直线l y x a a 0 和曲线c f x x3 x2 1相切 则a的值为 切点坐标为 答案 解析 解析设直线l与曲线c的切点为 x0 y0 又点 x0 f x0 在直线y x a上 将x0 1 y0 1 代入得a 0 与已知条件矛盾 舍去 达标检测 1 如果曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为x 2y 3 0 那么a f x0 0b f x0 0c f x0 0d f x0 不存在 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 2 设曲线f x ax2在点 1 a 处的切线与直线2x y 6 0平行 则a等于 解析 答案 所以2a 2 所以a 1 3 已知函数y f x 的图象如图所示 则f xa 与f xb 的大小关系是a f xa f xb b f xa f xb c f xa f xb d 不能确定解析由导数的几何意义 知f xa f xb 分别是切线在点a b处切线的斜率 由图象可知f xa f xb 1 2 3 4 5 解析 答案 答案 解析 4 已知曲线y f x 2x2 a在点p处的切线方程为8x y 15 0 则实数a的值为 1 2 3 4 5 7 由导数的几何意义可得 x0 2 p 2 8 a 将x 2 y 8 a 代入8x y 15 0 得a 7 5 已知曲线f x x3在点 a a3 a 0 处的切线与x轴 直线x a围成的三角形的面积为 则a 答案 解析 1 曲线f x x3在点 a a3 处的切线斜率为f a 3a2 切线方程为y a3 3a2 x a 即y 3a2x 2a3 1 2 3 4 5 1 导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即k 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f