高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4.ppt

第二章 平面向量 2 4平面向量的数量积 2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 自主预习学案 1 平面向量的数量积的定义 a b cos 0 a cos b cos a b 0 a b a b a2 a 2 a b 3 平面向量数量积的运算律已知向量a b c和实数 1 交换律 a b 2 结合律 a b 3 分配律 a b c b a a b a b a c b c b a 解析 本题考查数量积的概念及向量运算 上述7个命题中只有 正确 对于 两个向量的数量积是一个实数 应有0 a 0 对于 应为0a 0 对于 由数量积定义 有 a b a b cos a b 这里 是a与b的夹角 只有 0或 时 才有 a b a b 对于 若非零向量a b垂直 有a b 0 对于 由a b 0可知a b 即可以都非零 4 2018 全国卷 理 4 已知向量a b满足 a 1 a b 1 则a 2a b a 4b 3c 2d 0 解析 a 2a b 2a2 a b 2 a 2 a b a 1 a b 1 原式 2 12 1 3 故选b b 互动探究学案 已知 a 2 b 3 a与b的夹角为120 试求 1 a b 2 a b a b 3 2a b a 3b 思路分析 根据数量积 模 夹角的定义 逐一进行计算即可 命题方向1 平面向量的数量积 典例1 规律总结 求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时 需明确两个关键点 相关向量的模和夹角 若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算 则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简 跟踪练习1 已知 a 4 b 5 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为60 时 分别求a与b的数量积 命题方向2 向量的投影 1 若 a 4 a b 6 求b在a方向上的投影 2 已知 a 6 e为单位向量 当它们之间的夹角 分别等于60 90 120 时 求出a在e方向上的投影 典例2 2 a在e方向上的投影为 a cos 当 60 时 a在e方向上的投影为 a cos60 3 当 90 时 a在e方向上的投影为 a cos90 0 当 120 时 a在e方向上的投影为 a cos120 3 规律总结 求一个向量在另一个向量方向上的投影时 首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角 然后代入公式计算即可 命题方向3 利用向量的数量积解决有关模 夹角问题 思路分析 1 先求a b 再用 a b 与a b的联系求解 2 根据题中所给等式求出向量a与a b的夹角公式中涉及的所有量 代入公式求解即可 典例3 3 利用向量的数量积判断几何图形的形状 思路分析 易知a b c 0 分别将a b c移至等号右边 得到三个等式 分别平方可得a b b c c a 选取两个等式相减即可得到a b c中两个向量的长度之间的关系 典例4 规律总结 依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状 关键是由已知条件建立数量积 向量的长度 向量的夹角等之间关系 移项 两边平方是常用手段 这样可以出现数量积及向量的长度等信息 为说明边相等 边垂直指明方向 b 混淆向量的模与实数的运算 已知 a 2 b 3 a与b的夹角为120 求 a b 及 a b 的值 典例5 错因分析 该解法错误地类比实数运算中的法则 实际上 a2 b2 a b a b a b a b 思路分析 直接利用完全平方和 差 公式 规律总结 利用数量积求解模的问题 是数量积的重要应用 解决此类问题的方法是对向量进行平方 即利用公式 a a a 2 从而达到将向量转化为实数的目的 d 1 若a c b c c 0 则 a a bb a bc a b d a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等 解析 设a与c的夹角为 1 b与c的夹角为 2 a c b c a c cos 1 b c cos 2 即 a cos 1 b cos 2 故选d d 2 下列命题正确的是 a a b a b b a b 0 a b