点、直线、圆的位置关系.docx

第 56-57 课时 第29课时 圆的概念与性质一、【教学目标】1、了解点与圆、直线与圆的位置关系；2、掌握切线的概念、切线的性质与判定、切线长定理。3、了解三角形的内心。二、【重点难点】切线的概念、切线的性质与判定、切线长定理。三、【教学流程】【主要考点】（一）点与圆的位置关系(圆的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d)P在圆外 d r；P在圆上 d=r；P在圆内 d rd = rd r（三）切线的性质与判定1判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2性质：圆的切线垂直于过切点的半径.注意：判定包含两个条件，一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径.（四）三角形的内心三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.（五）切线长定理过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.【经典题型】题型1 点和圆的位置关系已知O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(3，4)，那么点P与O的位置关系是( ).A. 点P在O内 B. 点P在O上C. 点P在O外 D. 无法确定【解析】点P到圆心O的距离为 =5，O的半径为5，点P在O上，选B. .温馨提示 判断点与圆的位置关系，关键看这点与圆心所连线段与半径的大小关系，进而由数量关系确定得出.题型2 直线和圆的位置关系ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，以点B为圆心、6cm为半径作B，则边AC所在的直线与B的位置关系是 . 【解析】由已知可知，以A、B、C为顶的三角形是直角三角形，且直角顶点是C.以点B为圆心、6cm为半径作B，则圆心B到AC所在直线的距离为BC=6cm，而B的半径也是6cm，说明圆心到直线的距离等于圆的半径，AC所在的直线与B相切.温馨提示 直线与圆的位置关系，可根据直线与圆的交点的个数来确定，也可根据圆心到直线的距离和半径的关系来确定.题型3 切线的判定已知：如图1，在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分ABC交AE于点M，经过B、M两点的O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为O的直径.求证：AE与O相切；当BC=4，cosC=时，求O的半径. 【解析】连结OM，则有OM=OB. 1=2.BM平分ABC.1=3，2=3，OMBC，AMO=AEB.在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，AEBC，AEB=90.AMO=90，OMAE.AE与O相切.在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BE=BC =2，ABC=C.BC=4，cosC=，BE=2，cosABC=.在ABE中，AEB=90， AB=6.设O的半径为r，则AO=6-r.OMBC，AOMABE.=.解得r=.O的半径为.温馨提示 要证明一条直线是圆的切线，若已知直线与圆有公共点时，只需“连半径，证垂直”即可(本例就是这种情形)；若没有已知直线与圆有公共点时，则需过圆心作已知直线的垂线，再去证明圆心到直线的距离等于半径，这种情形，我们简记为“作垂直，证半径”.题型4 切线的性质 如图2所示，ABC内接于O，AB是O的直径，点D在O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AECE，连接CD求证：DC=BC；若AB=5，AC=4，求tanDCE的值.【解析】连接OC，OA=OC，OAC=OCA. CE是O的切线，OCE=90.AECE，AEC=OCE=90.OCAE， OCA=CAD，CAD=BAC. DC=BC. AB是O的直径，ACB=90，BC=3. CAE=BAC， AEC=ACB=90.ACEABC，EC=. DC=BC=3，ED=，tanDCE=.温馨提示 有切线时，常“连结圆心与切点”作辅助线，以便运用切线的性质来解决问题.【链接中考】(2015娄底)如图6，在中，以点为圆心，为半径，作，交于点，交的延长线于点，过点作的平行线交于点，连接，.（1）求证：；（2）当等于多少度时，四边形为菱形？请给予证明.【解析】（1）证明：EFABFAB=EFA，CAB=EAE=AFEFA =EFAB=CABAC=AF，AB=ABABCABF（2）当CAB=60时，四边形ADFE为菱形.理由：EFABE=CAB=60AE=AFAEF是等边三角形AE=EF，AE=ADEF=AD四边形ADFE是平行四边形AE=EF平行四边形ADFE为菱形.（2015庆阳）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F（1）求证：FEAB；（2）当EF=6，=时，求DE的长【解析】（1）证明：连接AD、OD，AC为O的直径，ADC=90，又AB=AC，CD=DB，又CO=AO，ODAB，FD是O的切线，ODEF，FEAB；（2）=，=，ODAB，=，又EF=6，DE=9温馨提示 本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键【巩固练习】1.如图19，AB是O的直径，O过BC的中点D，DEAC. 求证：BADCDE；DE是O的切线.【解析】（1）AB是O的直径,ADB=90BD=CD,B=CCED=ADB=90,BADCDE（2）连接OD,OA=OB,BD=CD,ODACDEAC,ODDEDE是O的切线2.如图20，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DEAC，垂足为E求证：点D是BC的中点；判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；如果O的直径为9，cosB，求DE的长【解析】（1）证明：连接ADAB为直径，ADBC又AB=AC，D是BC的中点；（2）DE是O的切线证明：如图22，连接ODBD=DC，OB=OA，ODACACDE，ODDEDE是O的切线（3）AB=9，cosB=BD=3CD=3AB=AC，B=C，cosC=在CDE中，CE=1，DE=3如图25，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，AC、PB的延长线相交于点D.（1）若1=20，求APB的度数；（2）当1为多少度时，OP=OD，并说明理由.图25【解析】（1）APB=40 （2）当1=30时，OP=OD.证明略4如图26，点D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）判断直线CD和O的位置关系，并说明理由（2）过点B作O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，O的半径是3，求BE的长【解析】（1）直线CD和O的位置关系是相切.理由是：连接OD，AB是O的直径，ADB=90，DAB+DBA=90.CDA=CBD，DAB+CDA=90.OD=OA，DAB=ADO，CDA+ADO=90，即ODCE，直线CD是O的切线，即直线CD和O的位置关系是相切 （2）AC=2，O的半径是3，OC=2+3=5，OD=3，在RtCDO中，由勾股定理得：CD=4，CE切O于D，EB切O于B，DE=EB，CBE=90，设DE=EB=x，在RtCBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6 5如图27，以AB为直径的O交BAD的角平分线于C，过C作CDAD于D，交AB的延长线于E（1）求证：CD为O的切线（2）若，求cosDAB【解析】（1）连接OC，AC平分DAB，DAC=CAB. OC=OA， OAC=OCA. 图27DAC=OCA，OCAD.ADCD，OC