一元二次方程实数根错例剖析教案.doc

一元二次方程实数根错例剖析教案 【教学目的】 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。 【课前练习】 1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_时，方程为一元一次方程；当a_时，方程为一元二次方程。 2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=_，当_时，方程有两个相等的实数根，当_时，方程有两个不相等的实数根，当_时，方程没有实数根。 【典型例题】 例1下列方程中两实数根之和为2的方程是（） (A)x2+2x+30(B)x2-2x+30(c)x2-2x-30(D)x2+2x+30 错答：B 正解：C 错因剖析：由根与系数的关系得x1+x22，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由可知，方程B无实数根，方程C合适。 例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k20两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（） (A)k-1(B)k0(c)-1k0(D)-1k0 错解：B 正解：D 错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是0 例3（2000广西中考题）已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-10有两个不相等的实根，求k的取值范围。 错解:由(-2)2-4(1-2k)(-1)-4k+80得k2又k+10k-1。即k的取值范 围是-1k2 错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k0这个前提。事实上，当1-2k0即k时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。 正解：-1k2且k 例4（xx山东太原中考题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+10的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。 错解：由根与系数的关系得 x1+x2-（2m+1）,x1x2m2+1, x12+x22(x1+x2)2-2x1x2 2-2（m2+1） 2m2+4m-1 又x12+x22=15 2m2+4m-1=15 m1-4m22 错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式0。因为当m-4时，方程为x2-7x+170，此时（-7）2-4171-190，方程无实数根，不符合题意。 正解：m2 例5若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+10有实数根，求m的取值范围。 错解：2-4(m2-1)16m+20 0 16m+200， m-5/4 又m2-10， m1 m的取值范围是m1且m- 错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2(m+2)x+10是关于数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-10和m2-10两种情况。当m2-10时，即m1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。 正解：m的取值范围是m- 例6已知二次方程x2+3x+a0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。 错解：方程有整数根， 9-4a0，则a2.25 又a是非负数，a1或a2 令a1，则x-3，舍去；令a2，则x1-1、x2-2 方程的整数根是x1-1，x2-2 错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a0时，还可以求出方程的另两个整数根，x30，x4-3 正解：方程的整数根是x1-1，x2-2，x30，x4-3 【练习】 练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。 解：（1）根据题意，得(2k-1)2-4k20解得k 当k时，方程有两个不相等的实数根。 （2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+x2=-=0， 解得k。经检验k是方程-的解。 当k时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。 读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。 解：上面解法错在如下两个方面： （1）漏掉k0，正确答案为：当k时且k0时，方程有两个不相等的实数根。 （2）k。不满足0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数 练习2（02广州市）当a取什么值时，关于数x的方程ax2+4x-10只有正实数根? 解：（1）当a0时，方程为4x-10，x （2）当a0时，16+4a0a-4 当a-4且a0时，方程有实数根。 又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则： x1+x2-0； x1.x2-0解得：a0 综上所述，当a0、a-4、a0时，即当-4a0时，原方程只有正实数根。 【小结】以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“”之间的关系。 1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。 2、运用根与系数关系时，0是前提条件。 3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。 【布置作业】 1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-90有两个正根？ 2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+50（m0）没有实数根。求证：关于x的方程 （m-5）x2-2（m+2）x+m0一定有一个或两个实数根。 考题汇编 1、（2000年广东省中考题）设x1、x2是方程x2-5x+30的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。 2、（xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-10 （1）若方程的一个根为1，求m的值。 （2）m5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。 3、（x