高考数学二轮复习 专题2 三角 4.3 利用导数证明问题及讨论零点个数课件 理.ppt

2 4 3利用导数证明问题及讨论零点个数 2 考向一 考向二 考向三 考向四 证明不等式 多维探究 例1 2018河北保定二模 理21 已知函数 a b r且a 0 e为自然对数的底数 1 若曲线f x 在点 e f e 处的切线斜率为0 且f x 有极小值 求实数a的取值范围 2 当a b 1时 证明 xf x 2 0 3 考向一 考向二 考向三 考向四 当a 0时 当x 0 e 时 f x 0 当x e 时 f x 0 f x 在 0 e 内为减函数 在 e 内为增函数 即f x 有极小值而无极大值 a 0 即实数a的取值范围为 0 4 考向一 考向二 考向三 考向四 5 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 或证明f x min g x max且两个最值点不相等 6 考向一 考向二 考向三 考向四 7 考向一 考向二 考向三 考向四 8 考向一 考向二 考向三 考向四 例2 2018河北保定一模 文21节选 已知函数f x x 1 略 2 设函数g x lnx 1 证明 当x 0 且a 0时 f x g x 9 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 所以f x 在 1 上为增函数 又 f 1 2 0 2 0 f x 0 即h x min 0 所以 当x 0 时 f x g x 10 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得欲证函数不等式f x g x x i i是区间 设h x f x g x x i 即证h x 0 为此研究h x 的单调性 先求h x 的零点 根据零点确定h x 在给定区间i的正负 若h x 在区间i内递增或递减或先递减后递增 只须h x min 0 x i 若h x min不存在 则须求函数h x 的下确界 若h x 在区间i内先递增后递减 只须区间i的端点的函数值大于或等于0 若h x 的零点不好求 可设出零点x0 然后确定零点的范围 进而确定h x 的单调区间 求出h x 的最小值h x0 再研究h x0 的正负 11 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2 2018山东青岛一模 理21节选 已知函数f x e2x ex xex e为自然对数的底数 1 略 12 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 2 由题意得f x ex 2ex x 2 令h x 2ex x 2 则h x 2ex 1 x ln2 h x 0 h x 在 ln2 上为增函数 由于h 1 0 所以在 2 1 上存在x x0满足h x0 0 h x 在 ln2 上为减函数 x x0 时 h x 0 即f x 0 f x 在 x0 上为增函数 x x0 ln2 时 h x 0 即f x 0 f x 在 x0 ln2 上为减函数 因此f x 在 ln2 上只有一个极大值点x0 由于h 0 0 且h x 在 ln2 上为增函数 x ln2 0 时 h x 0 13 考向一 考向二 考向三 考向四 14 考向一 考向二 考向三 考向四 判断 证明或讨论函数零点个数例3 2018江西南昌模拟 理21节选 已知函数f x x2 mlnx 1 略 2 若m 1 令f x f x x2 m 1 x 试讨论函数f x 的零点个数 并说明理由 15 考向一 考向二 考向三 考向四 16 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想 利用导数研究函数的单调性和极值 利用函数的单调性模拟函数的图象 根据函数零点的个数的要求 控制极值点函数值的正负 从而解不等式求出参数的范围 17 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3 2018山东淄博一模 理21 设函数f x x 1 ex x2 其中k r 1 求函数f x 的单调区间 2 当k 0时 讨论函数f x 的零点个数 解 1 函数f x 的定义域为 f x ex x 1 ex kx x ex k 当k 0时 令f x 0 解得x 0 f x 的单调递减区间是 0 单调递增区间是 0 当00 解得x0 所以f x 在 lnk 和 0 上单调递增 在 lnk 0 上单调递减 当k 1时 f x 0 f x 在 上单调递增 当k 1时 令f x 0 解得xlnk 所以f x 在 0 和 lnk 上单调递增 在 0 lnk 上单调递减 18 考向一 考向二 考向三 考向四 2 f 0 1 当00 又f x 在 0 上单调递增 所以f x 在 0 上有唯一的零点 故函数f x 在定义域 上有唯一的零点 当k 1时 由 1 知f x 0 f x 在 上单调递增 又f 0 1 f 2 e2 2 0 故函数f x 在定义域 上有唯一的零点 19 考向一 考向二 考向三 考向四 当k 1时 由 1 知 当x lnk 时 f x f x max f 0 12 g t 0 g t 在 2 上单调递增 g t g 2 e2 2 0 所以g t 在 2 上单调递增 得g t g 2 e2 2 即f k 1 0 所以f x 在 lnk 上有唯一的零点 故函数f x 在定义域 上有唯一的零点 综合知 当k 0时 函数f x 在定义域 上有且只有一个零点 20 考向一 考向二 考向三 考向四 例4已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 21 考向一 考向二 考向三 考向四 22 考向一 考向二 考向三 考向四 23 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得1 如果函数中没有参数 一阶导数求出函数的极值点 判断极值点大于0小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 往往一阶导数的正负不好判断 这时先对参数进行分类 再判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对一阶导函数进行求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 24 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练4已知函数f x alnx a 1 x a r 1 当a 1时 求函数f x 的最小值 2 当a 1时 讨论函数f x 的零点个数 25 考向一 考向二 考向三 考向四 26 考向一 考向二 考向三 考向四 27 考向一 考向二 考向三 考向四 与函数零点有关的证明问题例5 2018四川广元适应考二 理21 已知函数f x 2lnx x2 ax a r 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 2 若函数f x 有两个不同零点x1 x2 且0 x1 x2 求证 其中f x 是f x 的导函数 解 1 当a 2时 f x 2lnx x2 2x f x 2x 2 切点坐标为 1 1 切线的斜率f 1 2 切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 28 考向一 考向二 考向三 考向四 29 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得证明与零点有关的不等式 函数的零点本身就是一个条件 即零点对应的函数值为0 证明的思路一般对条件等价转化 构造合适的新函数 利用导数知识探讨该函数的性质 如单调性 极值情况等 再结合函数图象来解决 30 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练5 2018四川绵阳南山中学二模 理21节选 已知函数f x alnx bx 3 a r且a 0 1 略 2 当a 1时 设g x f x 3 若g x 有两个相异零点x1 x2 求证 lnx1 lnx2 2 31 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 2 当a 1时 g x f x 3 lnx bx 函数的定义域为x 0 设x1 x2 0 g x1 0 g x2 0 lnx1 bx1 0 lnx2 bx2 0 lnx1 lnx2 b x1 x2 lnx1 lnx2 b x1 x2 要证lnx1 lnx2 2 即证b x1 x2 2 32 考向一 考向二 考向三 考向四 利用导数解决存在性问题例6 2018四川内江一模 文21 已知函数f x ex ax 1 a r 1 讨论f x 的单调性 2 设a 1 是否存在正实数x 使得f x 0 若存在 请求出一个符合条件的x 若不存在 请说明理由 解 1 f x 的定义域为r f x ex a 当a 0时 f x 0 故f x 在r上单调递增 当a 0时 令f x 0 得x lna 当xlna时 f x 0 故f x 单调递增 综上所述 当a 0时 f x 在r上单调递增 当a 0时 f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 33 考向一 考向二 考向三 考向四 2 存在正数x 2lna 使得f x 0 即f 2lna a2 2alna 1 0 其中a 1 证明如下 设g x x2 2xlnx 1 x 1 则g x 2x 2lnx 2 设u x x lnx 1 x 1 则u x 1 0 故u x 在 1 上单调递增 u x u 1 0 故g x 2x 2lnx 2 2u x 0 g x 在 1 上单调递增 故g x g 1 0 当a 1时 a2 2alna 1 0 f 2lna a2 2alna 1 0 34 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得本例 2 中 利用导数的方法易得f x ex ax 1在x lna有最小值 存在正实数x 使得f x 0 ex ax 1 0 ex ax 1 分别作出函数y ex和y ax 1的图象 当xlna时 y ex的图象增长的快速 所以当x