《高等代数》考试大纲 - 数学科学学院.pdf

高等代数 考试大纲 一 高等代数 的课程性质 高等代数是数学与应用数学专业 信息与计算机科学专业和统计学专业一门重要基础 课 是中学代数的继续和提高 但是又与中学代数有很大不同 表现在内容的深度和广度 上 更主要表现在观点和方法上 具体表现在内容的高度抽象性 推理的严密性和解题技 巧的独特性 本课程最活跃研究内容 数域上一元多项式理论 行列式 线性方程组 二 次型 线性空间 线性变换矩阵 欧氏空间和双线性函数 方法的特点 在阐述上更强调 一般性原则 广泛使用公理化方法 用结构化方法揭示代数系统的内部构造 用矩阵表示 作为主线 受整体 统一思想的支配 逐步抽象出高等代数的各个基本概念 揭示代数研 究问题的基本方法 二 高等代数 课程的教学目的和要求 高等代数的教学目的要求是 通过本课程的学习 不仅要求学生掌握一元多项式和线 性代数的基础知识 基本理论和基本技能 而且要求学生初步熟悉和掌握抽象的 严格的 代数方法 理解具体与抽象 特殊与一般 有限与无限的辩证关系 培养学生整体思考问 题的能力 使之理解代数思想 公理化方法 把握概念的内涵和外延 提高抽象思维 逻 辑推理 分析问题和解决问题的能力 为进一步后继课程的学习及继续深造或从事教学工 作打下坚实的基础 三 高等代数 课程的知识点与考核要求 第一章 多项式 1 考核知识点 1 一元多项式的定义 运算 性质 次数的定义和次数公式 2 多项式整除的定义 整除的性质 带余除法 3 最大公因子的定义 性质和求法 4 多项式互素的概念和性质 5 多项式的可约性 因式分解及唯一性定理 标准分解式 6 重因式的概念与判别法 求多项式重因式的方法 7 多项式函数 多项式根的概念 根的个数定理 多项式相等与根的关系 判 别某数是多项式根的综合除法 8 复数域和实数域上不可约多项式的特征 因式分解定理 9 有理系数多项式是否可约的判别法 根与系数的关系 有理根的求法 2 考核要求 1 掌握数域F上一元多项式的概念 运算及多项式和与积的次数 2 正确理解多项式的整除概念和性质 掌握带余除法 3 掌握最大公因式的概念 性质 求法以及多项式互素的概念和性质 4 理解不可约多项式的概念 掌握多项式唯一因式分解定理 5 理解多项式的导数和重因式的概念 掌握多项式有无重因式的判别法 6 掌握多项式函数及多项式根的概念 7 掌握复数和实数域上多项式因式分解定理 8 熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法和Eisenstein判别法 第二章 行列式 1 考核知识点 1 排列的定义 逆序 奇偶性 对换的概念 对换与排列奇偶性的关系 2 n阶行列式的定义 转置 阶行列式的性质 3 n阶行列式的初等行 列 变换 行列式子式 余子式和代数余子式 4 n阶行列式依行依列展开定理 行列式的计算技巧 范得蒙行列式的计算公 式 5 n阶行列式的Laplace展开定理 行列式的乘法规则 6 Cramer法则 2 考核要求 1 掌握n阶行列式的概念和性质 2 熟练应用行列式的性质 通过降阶和三角化等方法计算行列式 3 掌握行列式常见的计算技巧 4 理解Laplace定理 掌握行列式的乘法规则 5 掌握Cramer法则 第三章 线性方程组 1 考核知识点 1 线性方程组的初等变换 同解 一般解 自由未知量 2 n向量组的定义 向量的加法和数乘 3 向量组的线性相关性的一些基本概念 线性组合 线性表示 等价 线性相 关 线性无关 极大线性无关组 向量组的秩 4 矩阵的行秩 列秩和矩阵的秩 k阶子式的概念 矩阵的初等行 列 变换 5 线性方程组有解判别定理 用矩阵初等变换解线性方程组 6 齐次线性方程组的解的基本性质 基础解系 解的结构 7 一般线性方程组解的性质 解的结构 8 高次方程组的概念 结式 2 考核要求 1 掌握n元向量空间的概念及简单性质 2 理解和掌握中向量组线性相关性的概念和性质 3 理解和掌握矩阵的秩的概念 能够熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩 4 掌握线性方程组有解的判定定理 5 掌握齐次线性方程组基础解系的概念及求法 6 掌握非齐次线性方程组解的结构定理 能熟练地求出线性方程组的解集 第四章 矩阵 1 考核知识点 1 矩阵的加法 乘法和数乘 矩阵的转置 几种特殊的矩阵 零矩阵 单位矩 阵 数量矩阵 对角矩阵 上下三角矩阵 2 矩阵乘积的秩和行列式 n阶矩阵可逆的定义 伴随矩阵的概念 用伴随矩阵 求逆 3 初等矩阵的定义 初等矩阵与初等变换的关系 用矩阵的初等变换求矩阵的 逆 4 矩阵分块的概念 分块矩阵的加法和乘法 分块矩阵的逆 准对角矩阵 5 广义逆矩阵的概念 2 考核要求 1 掌握矩阵的加法 数乘 转置及其运算规律 并能够熟练地应用 2 掌握逆矩阵的概念 熟练判定矩阵的可逆性 3 掌握初等矩阵的概念 初等矩阵与初等矩阵的关系以及用初等变换求逆矩阵 的理论和方法 4 掌握矩阵乘积的行列式及秩的定理 5 掌握矩阵的分块运算及其应用 第五章 二次型 1 考核知识点 1 二次型的定义 二次型的矩阵 线性替换 非退化线性替换 矩阵的合同 2 用非退化线性变换化二次型为标准形 3 化二次型为规范形 正惯性指数 负惯性指数 符号差 4 正定二次型 顺序主子式 半正定 半负定 负定 不定 2 考核要求 1 掌握二次型的概念 二次型与对称矩阵的一一对应关系 二次型的秩 2 掌握矩阵的合同概念及性质 用非退化的线性替换化二次型为标准型的方 法 配方法和初等变换法 3 理解复数域和实数域上二次型标准形的唯一性 用非退化的线性替换化复二 次型和实二次型为规范型 4 掌握正定二次型的概念和判别法 第六章 线性空间 1 考核知识点 1 集合的定义 运算 映射的定义 单射 满射 双射 可逆映射 2 线性空间的定义 向量组的线性关系 线性组合 线性相关 线性无关 基 维数 坐标 3 过渡矩阵 基变换与坐标的变换 4 线性子空间的定义 由一组向量生成的子空间 子空间的交与和 子空间的 直和 5 线性空间的同构 同构映射 2 考核要求 1 掌握线性空间的概念及其简单的性质 初步了解公理化的思想方法 2 理解和掌握线性空间及子空间的概念和判别方法 子空间的交 和与直和的 概念 能在中求子空间交与和的基与维数 3 正确理解和掌握线性空间中向量组的线性相关性的概念和性质 4 掌握有限维线性空间的基与维数的概念及其求法 理解基在线性空间理论中 所起的重要作用 5 掌握线性空间中向量坐标的概念及其意义 基变换及坐标变换公式 过渡矩 阵的概念及其性质 6 理解线性空间同构的概念 性质及意义 掌握有限维线性空间同构的充要条 件 第七章 线性变换 1 考核知识点 1 线性变换的定义 几个特殊的线性变换 单位变换 零变换 数乘变换 2 线性变换的加法 乘法 数乘 可逆线性变换 逆变换 线性变换的多项 式 3 线性变换的矩阵 4 向量在某个线性变换下象的坐标与原象坐标之间的转换公式 5 矩阵的相似 线性变换 矩阵 的特征值和特征向量 特征多项式 特征子空 间 6 矩阵的可对角化的条件 7 线性变换的值域与核 8 不变子空间的概念 9 若当块 若当形矩阵 若当标准形 最小多项式 2 考核要求 1 理解线性变换的概念 掌握它的运算及其简单的性质 2 掌握线性变换与矩阵之间的关系 3 掌握有限维线性空间线性变换的特征值 特征向量的概念与求法 4 掌握有限维线性空间线性变换和n阶方阵可对角化的定义 条件与方法 5 掌握线性变换的值域 核的概念与性质 6 理解不变子空间的概念及其在线性变换化简中的作用 第八章 矩阵 1 考核知识点 1 入矩阵的定义 入矩阵的行列式 入矩阵的秩 入矩阵可逆 2 入矩阵的初等行 列 变换 入矩阵的等价 3 入矩阵的k阶行列式因子 入矩阵的不变因子 4 入矩阵相似 初等因子 2 考核要点 1 理解和掌握 矩阵 矩阵的标准型 2 理解 矩阵相似的概念和 矩阵相似的充要条件 3 掌握K阶行列式因子 不变因子的概念和求法 4 掌握初等因子的定义和求法 5 理解矩阵Jordan标准形的概念和求法 第九章 欧几里得空间 1 考核知识点 1 内积的定义 欧氏空间的定义 向量的长度 夹角 向量互相垂直 度量矩 阵 2 正交向量组 正交基 标准正交组 标准正交基 正交矩阵的定义 3 欧氏空间的同构概念 4 正交变换的定义 正交变换与正交矩阵 5 两个子空间正交 向量与子空间正交 正交补空间 6 对称变换的定义 对称变换与对称矩阵 用正交线性变换把实二次型化为标 准型 7 向量到子空间的距离 向量的距离 最小二乘解 8 酉空间 复数域上的欧氏空间 酉变换和酋矩阵 厄米特矩阵 厄米特二次 型 2 考核要求 1 理解内积 欧氏空间的定义 向量的长度 夹角 距离等概念 2 掌握标准正交基的概念及其求法 理解标准正交基的作用 3 理解正交子空间 正交补的概念及其在实践中的意义 4 理解欧几里得空间同构的概念及同构的充要条件 5 理解和掌握正交变换和正交矩阵的概念 性质和关系 6 理解和掌握对称变换的概念及其与实对称矩阵的关系 第十章 双线性函数 1 考核知识点 1 线性函数的定义 线性函数的加法和数乘 对偶空间 对偶基 2 双线性函数的定义 度量矩阵 非退化双线性函数 反对称双线性函数 3 对称双线性函数 二次齐次函数 双线性度量空间 正交空间 准欧氏空 间 4 辛空间 辛正交基 辛同构 辛子空间 辛变换 2 考核要求 1 掌握线性函数的概念 2 掌握对偶空间的概念 了解线性空间中两个基和对偶基之间的关系 3 掌握双线性函数的概念 能求出它在某个基下的度量矩阵 4 掌握对称双线性函数的概念 了解对称双线性函数与对称矩阵的关系 四 考试方式 闭卷笔试 时间为120分钟 五 试卷类型 覆盖面和难度 试卷由四种题型组成 填空题 计算题 基本证明题和综合证明题 编制试题基本要求 1 试卷按学校要求的规范形式编制 计算机打印 2 命题覆盖教学大纲规定的各章节内容 3 基础题40 中等水平题40 综合题 技巧性较强题20 4 试题类型和比例 第一学期 填空题30 计算题30 证明题40 第二学期 计算题50 60 证明题40 50 六 评分标准和成绩