高考数学一轮复习 第三章 导数 3.1 导数的概念及运算课件.ppt

第三章导数 3 1导数的概念及运算 高考数学 浙江专用 考点一导数的概念及其几何意义1 2016山东 10 5分 若函数y f x 的图象上存在两点 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 则称y f x 具有t性质 下列函数中具有t性质的是 a y sinxb y lnxc y exd y x3 五年高考 答案a设函数y f x 图象上的两点分别为 x1 y1 x2 y2 且x1 x2 则由题意知只需函数y f x 满足f x1 f x2 1即可 y f x sinx的导函数为f x cosx 则f 0 f 1 故函数y sinx具有t性质 y f x lnx的导函数为f x 则f x1 f x2 0 故函数y lnx不具有t性质 y f x ex的导函数为f x ex 则f x1 f x2 0 故函数y ex不具有t性质 y f x x3的导函数为f x 3x2 则f x1 f x2 9 0 故函数y x3不具有t性质 故选a 评析本题为创新题 主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件 属于偏难题 2 2014课标 8 5分 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a a 0b 1c 2d 3 答案dy a x 0时 y a 1 2 a 3 故选d 3 2017课标全国 文 14 5分 曲线y x2 在点 1 2 处的切线方程为 答案dy a x 0时 y a 1 2 a 3 故选d 答案x y 1 0 解析本题考查导数的几何意义 y x2 y 2x y x 1 2 1 1 所求切线方程为y 2 x 1 即x y 1 0 4 2017天津文 10 5分 已知a r 设函数f x ax lnx的图象在点 1 f 1 处的切线为l 则l在y轴上的截距为 答案1 解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距 由题意可知f x a 所以f 1 a 1 因为f 1 a 所以切点坐标为 1 a 所以切线l的方程为y a a 1 x 1 即y a 1 x 1 令x 0 得y 1 即直线l在y轴上的截距为1 易错警示不能正确求解函数的导数 而导致不能正确求解切线l的斜率 5 2016课标全国 15 5分 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 答案y 2x 1 解析令x 0 则 x0 则f x 3 x 0 f 1 2 在点 1 3 处的切线方程为y 3 2 x 1 即y 2x 1 思路分析根据函数f x 是偶函数 求出x 0时函数f x 的解析式 根据导数的几何意义 用点斜式求出切线方程 评析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义 求出x 0时f x 的解析式是解题关键 6 2015陕西 15 5分 设曲线y ex在点 0 1 处的切线与曲线y x 0 上点p处的切线垂直 则p的坐标为 答案 1 1 解析 函数y ex的导函数为y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 设p x0 y0 x0 0 函数y 的导函数为y 曲线y x 0 在点p处的切线的斜率k2 则有k1k2 1 即1 1 解得 1 又x0 0 x0 1 又 点p在曲线y x 0 上 y0 1 故点p的坐标为 1 1 7 2014江苏 11 5分 在平面直角坐标系xoy中 若曲线y ax2 a b为常数 过点p 2 5 且该曲线在点p处的切线与直线7x 2y 3 0平行 则a b的值是 答案 3 解析 y ax2 y 2ax 由题意可得解得 a b 3 8 2014江西 13 5分 若曲线y e x上点p处的切线平行于直线2x y 1 0 则点p的坐标是 答案 ln2 2 解析令f x e x 则f x e x 设p x0 y0 则f x0 2 解得x0 ln2 所以y0 eln2 2 所以点p的坐标为 ln2 2 评析本题主要考查导数的几何意义及导数的运算 把复合函数y e x的导数求错是失分的主要原因 9 2017北京文 20 13分 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 解析本题考查导数的几何意义 考查利用导数研究函数的单调性 最值 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 当x 时 h x 0 所以h x 在区间上单调递减 所以对任意x 有h x h 0 0 即f x 0 所以函数f x 在区间上单调递减 因此f x 在区间上的最大值为f 0 1 最小值为f 解题思路 1 先求导 再利用导数的几何意义求出切线的斜率 最后利用点斜式求出切线方程 2 设h x ex cosx sinx 1 对h x 求导 进而确定h x 的单调性 最后求出最值 10 2017山东文 20 13分 已知函数f x x3 ax2 a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数g x f x x a cosx sinx 讨论g x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解析本题考查导数的几何意义 用导数研究函数的单调性 用导数求函数的极值 最值 1 由题意f x x2 ax 所以当a 2时 f 3 0 f x x2 2x 所以f 3 3 因此 曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程是y 3 x 3 即3x y 9 0 2 因为g x f x x a cosx sinx 所以g x f x cosx x a sinx cosx x x a x a sinx x a x sinx 令h x x sinx 则h x 1 cosx 0 所以h x 在r上单调递增 因为h 0 0 所以当x 0时 h x 0 当x 0时 h x 0 1 当a 0时 g x x a x sinx 当x a 时 x a0 g x 单调递增 当x a 0 时 x a 0 g x 0 g x 0 g x 单调递增 所以当x a时g x 取到极大值 极大值是g a a3 sina 当x 0时g x 取到极小值 极小值是g 0 a 2 当a 0时 g x x x sinx 当x 时 g x 0 g x 单调递增 所以g x 在 上单调递增 g x 无极大值也无极小值 3 当a 0时 g x x a x sinx 当x 0 时 x a0 g x 单调递增 当x 0 a 时 x a0 g x 0 g x 单调递增 所以当x 0时g x 取到极大值 极大值是g 0 a 当x a时g x 取到极小值 极小值是g a a3 sina 综上所述 当a0时 函数g x 在 0 和 a 上单调递增 在 0 a 上单调递减 函数既有极大值 又有极小值 极大值是g 0 a 极小值是g a a3 sina 11 2017山东理 20 13分 已知函数f x x2 2cosx g x ex cosx sinx 2x 2 其中e 2 71828 是自然对数的底数 1 求曲线y f x 在点 f 处的切线方程 2 令h x g x af x a r 讨论h x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解析本题考查导数的几何意义和极值 1 由题意知 f 2 2 又f x 2x 2sinx 所以f 2 因此曲线y f x 在点 f 处的切线方程为y 2 2 2 x 即y 2 x 2 2 2 由题意得h x ex cosx sinx 2x 2 a x2 2cosx 因为h x ex cosx sinx 2x 2 ex sinx cosx 2 a 2x 2sinx 2ex x sinx 2a x sinx 2 ex a x sinx 令m x x sinx 则m x 1 cosx 0 所以m x 在r上单调递增 因为m 0 0 所以当x 0时 m x 0 当x0 当x 0时 h x 0 h x 单调递减 当x 0时 h x 0 h x 单调递增 所以当x 0时h x 取到极小值 极小值是h 0 2a 1 ii 当a 0时 h x 2 ex elna x sinx 由h x 0得x1 lna x2 0 当00 h x 单调递增 当x lna 0 时 ex elna 0 h x 0 h x 0 h x 单调递增 所以当x lna时h x 取到极大值 极大值为h lna a lna 2 2lna sin lna cos lna 2 当x 0时h x 取到极小值 极小值是h 0 2a 1 当a 1时 lna 0 所以当x 时 h x 0 函数h x 在 上单调递增 无极值 当a 1时 lna 0 所以当x 0 时 ex elna0 h x 单调递增 12 2016浙江自选 复数与导数 模块 03 2 5分 求曲线y 2x2 lnx在点 1 2 处的切线方程 解析因为 2x2 lnx 4x 所以曲线在点 1 2 处的切线的斜率为3 因此 曲线在点 1 2 处的切线方程为y 3x 1 评析本题考查导数的几何意义 熟练掌握基本初等函数的导数公式是求解的关键 13 2013浙江 22 14分 已知a r 函数f x x3 3x2 3ax 3a 3 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 当x 0 2 时 求 f x 的最大值 解析 1 由题意得f x 3x2 6x 3a 故f 1 3a 3 又f 1 1 所以所求的切线方程为y 3a 3 x 3a 4 2 由于f x 3 x 1 2 3 a 1 0 x 2 故 i 当a 0时 有f x 0 此时f x 在 0 2 上单调递减 故 f x max max f 0 f 2 3 3a ii 当a 1时 有f x 0 此时f x 在 0 2 上单调递增 故 f x max max f 0 f 2 3a 1 iii 当0 a 1时 设x1 1 x2 1 则0 x1 x2 2 f x 3 x x1 x x2 列表如下 由于f x1 1 2 1 a f x2 1 2 1 a 故f x1 f x2 2 0 f x1 f x2 4 1 a 0 从而f x1 f x2 所以 f x max max f 0 f 2 f x1 当0 f 2 又f x1 f 0 2 1 a 2 3a 0 故 f x max f x1 1 2 1 a 当 a f 2 故f x max f x1 1 2 1 a 当 a 1时 f x1 f 2 故f x max f 2 3a 1 评析本题主要考查导数的几何意义 导数应用等基础知识 同时考查推理论证能力 分类讨论等分析问题和解决问题的能力 14 2013浙江文 21 15分 已知a r 函数f x 2x3 3 a 1 x2 6ax 1 若a 1 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若 a 1 求f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 得g a 3a 1 综上所述 f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值为g a 评析本题主要考查利用导数研究函数的单调性及导数应用等基础知识 同时考查分类讨论思想及运算求解能力 15 2015课标 16 5分 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 答案8 以下为教师用书专用 解析令f x x lnx 求导得f x 1 f 1 2 又f 1 1 所以曲线y x lnx在点 1 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 设直线y 2x 1与曲线y ax2 a 2 x 1的切点为p x0 y0 则y 2ax0 a 2 2 得a 2x0 1 0 a 0或x0 又a a 2 x0 1 2x0 1 即a ax0 2 0 当a 0时 显然不满足此方程 x0 此时a 8 评析本题考查导数的运算和几何意义 利用切点既在切线上 又在曲线上 列出两个方程是解题的关键 16 2014广东 10 5分 曲线y e 5x 2在点 0 3 处的切线方程为 答案5x y 3 0 解析y 5e 5x 曲线在点 0 3 处的切线斜率k y x 0 5 故切线方程为y 3 5 x 0 即5x y 3 0 17 2013湖南 22 13分 已知a 0 函数f x 1 记f x 在区间 0 4 上的最大值为g a 求g a 的表达式 2 是否存在a 使函数y f x 在区间 0 4 内的图象上存在两点 在该两点处的切线互相垂直 若存在 求a的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 当0 x a时 f x 当x a时 f x 因此 当x 0 a 时 f x 0 f x 在 a 上单调递增 若a 4 则f x 在 0 4 上单调递减 g a f 0 若0 a 4 则f x 在 0 a 上单调递减 在 a 4 上单调递增 所以g a max f 0 f 4 而f 0 f 4 故当0 a 1时 g a f 4 当1 a 4时 g a f 0 综上所述 g a 2 由 1 知 当a 4时 f x 在 0 4 上单调递减 故不满足要求 当0 a 4时 f x 在 0 a 上单调递减 在 a 4 上单调递增 若存在x1 x2 0 4 x1 x2 使曲线y f x 在 x1 f x1 x2 f x2 两点处的切线互相垂直 则x1 0 a x2 a 4 且f x1 f x2 1 即 1 亦即x1 2a 由x1 0 a x2 a 4 得x1 2a 2a 3a 故 成立等价于集合a x 2a x 3a 与集合b 的交集非空 因为 3a 所以当且仅当0 2a 1 即0 a 时 a b 综上所述 存在a使函数f x 在区间 0 4 内的图象上存在两点 在该两点处的切线互相垂直 且a的取值范围是 18 2015安徽 18 12分 设n n xn是曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线与x轴交点的横坐标 1 求数列 xn 的通项公式 2 记tn 证明 tn 解析 1 y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线斜率为2n 2 从而切线方程为y 2 2n 2 x 1 令y 0 解得切线与x轴交点的横坐标xn 1 2 证明 由题设和 1 中的计算结果知tn 当n 1时 t1 当n 2时 因为 所以tn 综上可得对任意的n n 均有tn 19 2013北京 18 13分 设l为曲线c y 在点 1 0 处的切线 1 求l的方程 2 证明 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 解析 1 设f x 则f x 所以f 1 1 所以l的方程为y x 1 2 证明 令g x x 1 f x 则除切点之外 曲线c在直线l的下方等价于g x 0 x 0 x 1 g x 满足g 1 0 且g x 1 f x 当01时 x2 1 0 lnx 0 所以g x 0 故g x 单调递增 所以 g x g 1 0 x 0 x 1 所以除切点之外 曲线c在直线l的下方 考点二导数的运算1 2014大纲全国 7 5分 曲线y xex 1在点 1 1 处切线的斜率等于 a 2eb ec 2d 1 答案c y x ex 1 x ex 1 1 x ex 1 曲线在点 1 1 处的切线斜率为y x 1 2 故选c 2 2013江西 13 5分 设函数f x 在 0 内可导 且f ex x ex 则f 1 答案2 解析令t ex 故x lnt 所以f t lnt t 即f x lnx x 所以f x 1 所以f 1 1 1 2 评析本题考查函数解析式的求解和导数的应用 考查学生的转化与化归能力及运算求解能力 属基础题 3 2017浙江 20 15分 已知函数f x x e x 1 求f x 的导函数 2 求f x 在区间上的取值范围 解析本题主要考查函数的最大 小 值 导数的运算及其应用 同时考查分析问题和解决问题的能力 1 因为 x 1 e x e x 所以f x e x x e x 2 由f x 0 解得x 1或x 因为 又f x 1 2e x 0 所以f x 在区间上的取值范围是 3 本题最易忽略f x 0这个条件 从而得出 f x 在上的值域为的错误结论 因此 在求函数f x 在区间 a 或 a 上的值域时 一定要观察f x 图象的趋势 或先判断f x 何时为正 何时为负 通常是求出函数f x 的零点 4 2016北京 18 13分 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的单调区间 解析 1 因为f x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 依题设 知即解得a 2 b e 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递增 故g 1 1是g x 在区间 上的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 评析本题考查导数的几何意义及利用导数讨论函数单调性等知识 方法常规 属中档题 1 2017浙江名校 诸暨中学 交流卷四 4 设f1 x sinx cosx 对任意的n n 定义fn 1 x fn x 则f2017 x 等于 a sinx cosxb sinx cosxc sinx cosxd sinx cosx 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案bf1 x sinx cosx f2 x cosx sinx f3 x sinx cosx f4 x cosx sinx f5 x sinx cosx f1 x 于是fk 4 x fk x 所以f2017 x f504 4 1 x f1 x 故选b 2 2017浙江测试卷 4 已知直线y ax是曲线y lnx的切线 则实数a a b c d 答案c设切点为 x0 lnx0 则切线方程为y lnx0 x x0 y lnx0 1 a 故选c 3 2017浙江镇海中学阶段测试 二 13 已知函数f x sinx f cosx 若f 0 则f 二 填空题 答案 1 解析 f x cosx f sinx f cos f sin 0 f 1 4 2017浙江衢州质量检测 1月 14 已知函数f x x3 2ax2 1在x 1处的切线的斜率为1 则实数a 此时函数y f x 在 0 1 最小值为 答案 解析易知由题f x 3x2 4ax 所以3 4a 1 即a 故f x x3 x2 1 此时f x 3x2 2x 3x 所以f x 在上单调递减 在上单调递增 因此f x min f 5 2017浙江金华十校联考 4月 14 已知函数f x x3 ax b的图象在点 1 f 1 处的切线方程为2x y 5 0 则a b 答案 1 3 解析由切线方程知 f 1 3 而f 1 3x2 a x 1 3 a 所以解得 6 2015湖南长沙雅礼中学第二次月考 12 曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 答案y 3x 1 解析由题意得y x 1 ex 2 曲线在点 0 1 处的切线斜率为y x 0 3 故切线方程为y 3x 1 7 2017浙江台州质量评估 20 已知函数f x x3 x a a r 1 当a 1时 求f x 在 0 f 0 处的切线方程 2 当a 0 1 时 求f x 在区间 1 1 上的最小值 用a表示 三 解答题 解析 1 当a 1 x0 知f x 在 a 1 上是单调递增的 当 1 x a时 f x 3x2 1 i 当a 时 f x 在上递增 在上递减 在上递增 所以f x min min min a ii 当a 时 f x 在上递增 在上递减 在 a 1 上递增 所以f x min min f 1 f a min a a3 a3 综上所述 f x min 8 2017浙江名校协作体 20 已知a r 函数f x alnx 1 若函数f x 在 0 2 上递减 求实数a的取值范围 2 当a 0时 求f x 的最小值g a 的最大值 3 设h x f x a 2 x x 1 求证 h x 2 解析 1 函数f x 在 0 2 上递减 x 0 2 f x 0恒成立 x 0 2 f x 0恒成立 x 0 2 a 恒成立 又 1 所以a 1 2 当a 0时 f x 0 x 9 2015浙江冲刺卷五 复数与导数 模块 03 2 已知函数f x x3 12x 2 其图象过原点的切线与函数g x m lnx的图象有两个交点 试求m的取值范围 解析设切点为 x0 12x0 2 则切线斜率k f x0 3 12 所以切线方程为y 12x0 2 3 12 x x0 将原点坐标代入得x0 1 所以k 9 则切线方程为y 9x 由得lnx 9x m 0 设h x lnx 9x m x 0 则h x 9 令h x 0 得00 即 ln9 1 m 0 得m ln9 1 1 2017浙江湖州期末调研 2 函数y ex e是自然对数的底数 的图象在点 0 1 处的切线方程是 a y x 1b y x 1c y x 1d y x 1 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案b y ex 在点 0 1 处的切线的斜率为1 故切线方程为y x 1 选b 2 2015浙江金丽衢十二校第二次联考 5 函数f x 的导函数f x 的图象是如图所示的直线l l与x轴的交点坐标为 1 0 则f 0 与f 3 的大小关系为 a f 0 f 3 c f 0 f 3 d 无法确定 答案b由图象可知f x 是一次函数 则f x 为二次函数 且f x 在 1 上为增函数 在 1 上为减函数 从而二次函数f x 图象的对称轴方程为x 1 从而f 0 f 3 3 2017宁波二模 5月 20 设函数f x x2 ax lnx a r 1 若函数f x 的图象在x 1处的切线斜率为1 求实数a的值 2 当a 1时 记f x 的极小值为h 求h的最大值 二 解答题 4 2016浙江金丽衢十二校第二次联考 复数与导数 模块 2 对任意x 0 sinx 1 2ax cosx恒成立 求实数a的取值范围 解析设h x sinx cosx 2ax 1 则h x 0 其中x 0 h 0 a h x cosx sinx 2a sin 2a x 0 sin 1 3分 当a 时 h x 0 故当x 0 时 h x 为增函数 所以h x min 0 所以a 满足h x 0恒成立 当 a 时 h x 0在 0 上有唯一解 记为x0 则当0 x x0时 h x 0 当x0 x 时 h x 0 因此x x0是极大值点 所以h x min min h 0 h 0 所以 a 满足h x 0恒成立 综上可得 a的取值范围为a 5分 5 2017浙江高考模拟训练冲刺卷一 20 已知函数f x 2alnx x2 a 2 x a r 1 当a 时 求曲线y f x 在点m 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 在区间 1 2 上的最大值 解析 1 当a 时 f x lnx x2 x 所以f 1 2 又f x x 所以f 1 由点斜式得所求切线方程为y x 2 f x x a 2 因为x 1 2 则有 当a 2时 函数f x 在区间 1 2 上为增函数 此时f x max f 2 2aln2 2a 2 当1 a 2时 函数f x 在区间 1 a 上为增函数 在区间 a 2 上为减函数 此时f x max f a 2alna a2 2a 当a 1时 函数f x 在区间 1 2 上为减函数 此时f x max f 1 a 故函数f x 在区间 1 2 上的最大值为 f x max 6 2015浙江名校 衢州二中 交流卷自选模块 四 03 2 已知函数f x alnx ax 3 a r 若函数f x 的图象在点 2 f 2 处的切线的倾斜角为45 对于任意的t 1 2 函数g x x3 x2在区间 t 3 上不是单调函数 求m的取值范围 解析 f x a 由f 2 tan45 得a 2 则f x 2lnx 2x 3 f x 2 g x x3 x2 2x 则g x 3x2 m 4 x 2 g x 在区间 t 3 上不是单调函数 t 1 2 g x 在区间 t 3 上的值有正有负 又g x 是开口向上的二次函数 且g 0 2 由题意知 对于任意t 1 2 g t 0恒成立 所以即解得 m 9 5分 1 2016河北衡水中学二调 10 若点p是曲线y x2 lnx上任意一点 则点p到直线y x 2的最小距离为 a 1b c d 一 选择题 c组2015 2017年高考模拟 创新题组 答案b过点p作与y x 2平行 且与曲线y x2 lnx相切的直线 设p x0 lnx0 则y 2x0 2x0 1 x0 1或x0