贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 21第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 人教新课标版.doc

贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 21第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 人教新课标版注：设rtabc的各边长分别为a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)； (2) 请读者给出证【例题求解】【例1】 如图，在rtabc中，c=90，bc=5，o与rtabc的三边ab、bc、ac分相切于点d、e、f，若o的半径r2，则rtabc的周长为 思路点拨 af=ad，be=bd，连oe、of，则oecf为正方形，只需求出af(或ad)即可【例2】 如图，以定线段ab为直径作半圆o，p为半圆上任意一点(异于a、b)，过点p作半圆o的切线分别交过a、b两点的切线于d、c，ac、bd相交于n点，连结on，np，下列结论：四边形anpd是梯形；on=np：dpp c为定值；fa为npd的平分线，其中一定成立的是( )a b c d 思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出npadbc是解本例的关键【例3】 如图，已知acp=cde=90，点b在ce上，ca=cb=cd，过a、c、d三点的圆交ab于f，求证：f为cde的内心 (全国初中数学联赛试题)思路点拨 连cf、df，即需证f为cde角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明【例4】 如图，在直角梯形abcd中，adbc，abbc，ab=bc=1，以ab为直径作半圆o切cd于e，连结oe，并延长交ad的延长线于f (1)问boz能否为120，并简要说明理由； (2)证明aofedf，且； (3)求df的长思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线(1)若boz=120，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用df的代数式表示，利用勾股定理建立关于df的一元二次方程 注： 如图，在直角梯形abcd中，若ad+bc=cd，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以边ab为直径的圆与边cd相切； (2)以边cd为直径的圆与边ab相切类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用 【例5】 如图，已知rtabc中，cd是斜边ab上的高，o、o1、o2分别是abc；acd、bcd的角平分线的交点，求证：(1) o1oc o2；(2)oc= o1o2 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相 等学力训练1如图，已知圆外切等腰梯形abcd的中位线ef=15cm，那么等腰梯形abcd的周长等于= cm2如图，在直角，坐标系中a、b的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则rtabo内心的坐标是 3如图，梯形abcd中，adbc， dcbc，ab=8，bc=5，若以ab为直径的o与dc相切于e，则dc= (云南省曲靖市中考题)4如图，o为abc的内切圆，c=90，ao的延长线交bc于点d，ac=4，cd=1，则o的半径等于( ) a b c d (重庆市中考题)5如图，在梯形abcd中，adbc，bcd=90，以cd为直径的半圆o切ab于点e，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆o的半径为( ) a3cm b7cm c 3cm或7cm d 2cm 6如图，abc中，内切圆o和边b、ca、ab分别相切于点d、ef，则以下四个结论中，错误的结论是( ) a点o是def的外心 bafe=(b+c) cboc=90+a ddfe=90一b7如图，bc是o的直径，ab、ad是o的切线，切点分别为b、p，过c点的切线与ad交于点d，连结ao、do (1)求证：aboocd； (2)若ab、cd是关于x的方程的两个实数根，且sabo+ socd=20，求m的值8如图，已知ab是o的直径，bc是o的切线，oc与o相交于点d，连结ad并延长，bc相交于点e (1)若bc=，cd=1，求o的半径； (2)取be的中点f，连结df，求证：df是o的切线； (3)过d点作dgbc于g，og与dg相交于点m，求证：dmgm9如图，在直角梯形abcd中，adbc，b=90，ad=13cm，bc=16cm，cd=5cm，ab为o的直径，动点p沿ad方向从点a开始向点d以1cm秒的速度运动，动点q沿cb方向从点c开始向点b以2cm秒的速度运动，点p、q分别从a、c两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动(1)求o的直径；(2)求四边形pqcd的面积y关于p、q运动时间t的函数关系式，并求当四边形pqcd为等腰梯形时，四边形pqcp的面积；(3)是否存在某时刻t，使直线pq与o相切，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由 (2002年烟台市中考题)10已知在abc中，c=90，ac=4，bc=3，cd为ab上的高，ol、o2分别为acd、bcd的内心，则olo2= 11如图，在abc中，c=90，a和b的平分线相交于p点，又peab于点e，若bc=2，ac=3，则aeeb= 12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的( ) a内心 b外心 c圆心 d重心13如图，ad是abc的角平分线，o过点ab和bc相切于点p，和ab、ac分别交于点e，f，若bd=ae，且be=a，cf=b，则af的长为( ) a b c d14如图，在矩形abcd中，连结ac，如果o为abc的内心，过o作oead于e，作ofcd于f，则矩形ofde的面积与矩形abcd的面积的比值为( ) a b c d不能确定 (学习报公开赛试题) 15如图，ab是半圆的直径，ac为半圆的切线，ac=ab在半圆上任取一点d，作decd，交直线ab于点f，bfab，交线段ad的延长线于点f (1)设ad是x的弧，并要使点e在线段ba的延长线上，则x的取值范围是 ；(2)不论d点取在半圆什么位置，图中除ab=ac外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明16如图，abc的三边满足关系bc=(ab+ac)，o、i分别为abc的外心、内心， bac的外角平分线交o于e，ai的延长线交o于d，de交bc于h求证：(1)ai=bd；(2)oi=ae 17如图，已知ab是o的直径，bc是o的切线，oc平行于弦ad，过点d作deab于点e，连结ac，与de交于点f，问ep与pd是否相等?证明你的结论 18如图，已知点p在半径为6，圆心角为90的扇形oab的ab(不含端点)上运动，p