高考数学一轮复习 第十六章 圆锥曲线与方程 16.3 抛物线课件.ppt

高考数学 江苏省专用 16 3抛物线 考点一抛物线的定义和标准方程 五年高考 统一命题 省 区 市 卷题组 1 2016四川改编 3 5分 抛物线y2 4x的焦点坐标是 答案 1 0 解析 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 2 2015陕西 14 5分 若抛物线y2 2px p 0 的准线经过双曲线x2 y2 1的一个焦点 则p 答案2 解析抛物线y2 2px p 0 的准线方程为x p 0 故直线x 过双曲线x2 y2 1的左焦点 0 从而 得p 2 3 2014湖南 15 5分 如图 正方形abcd和正方形defg的边长分别为a b a0 经过c f两点 则 答案1 解析 od de b dc a ef b 故c f 因为抛物线y2 2px p 0 经过c f两点 从而有即 b2 a2 2ab 2 1 0 又 1 1 4 2013广东理 20 14分 已知抛物线c的顶点为原点 其焦点f 0 c c 0 到直线l x y 2 0的距离为 设p为直线l上的点 过点p作抛物线c的两条切线pa pb 其中a b为切点 1 求抛物线c的方程 2 当点p x0 y0 为直线l上的定点时 求直线ab的方程 3 当点p在直线l上移动时 求 af bf 的最小值 解析 1 依题意 设抛物线c的方程为x2 4cy 由题意易知 且c 0 解得c 1 所以抛物线c的方程为x2 4y 2 抛物线c的方程为x2 4y 即y x2 求导得y x 设a x1 y1 b x2 y2 则切线pa pb的斜率分别为x1 x2 所以切线pa的方程为y y1 x x1 即y x y1 即x1x 2y 2y1 0 同理可得切线pb的方程为x2x 2y 2y2 0 因为切线pa pb均过点p x0 y0 所以x1x0 2y0 2y1 0 x2x0 2y0 2y2 0 所以 x1 y1 x2 y2 为方程x0 x 2y0 2y 0的两组解 所以直线ab的方程为x0 x 2y 2y0 0 3 由抛物线定义可知 af y1 1 bf y2 1 所以 af bf y1 1 y2 1 y1y2 y1 y2 1 联立消去x整理得y2 2y0 y 0 由一元二次方程根与系数的关系可得y1 y2 2y0 y1y2 所以 af bf y1y2 y1 y2 1 2y0 1 又点p x0 y0 在直线l上 所以x0 y0 2 所以 2y0 1 2 2y0 5 2 所以当y0 时 af bf 取得最小值 且最小值为 评析本题主要考查抛物线的方程 定义 点到直线的距离 与抛物线切线有关的问题 考查用待定系数法求曲线的方程以及用函数思想求最值 考查学生基本知识的应用能力和基本运算求解能力 解答第 2 问的关键是利用导数的几何意义表示出a b两点处切线的斜率 进一步写出方程 利用方程思想表示出直线ab的方程 第 3 问的主要方法是把 af bf 表示成x0或y0的函数 利用函数思想求出其最小值 考点二抛物线的性质1 2017课标全国 文改编 12 5分 过抛物线c y2 4x的焦点f 且斜率为的直线交c于点m m在x轴的上方 l为c的准线 点n在l上且mn l 则m到直线nf的距离为 答案2 解析本题考查抛物线的方程和性质 因为直线mf的斜率为 所以直线mf的倾斜角为60 则 fmn 60 由抛物线的定义得 mf mn 所以 mnf为等边三角形 过f作fh mn 垂足为h 易知f 1 0 l的方程为x 1 所以 of 1 nh 2 所以 mf 2 即 mf 4 所以m到直线nf的距离d fh mf sin60 4 2 思路分析利用抛物线的定义得 mn mf 从而得 mnf为等边三角形 易得点m到直线nf的距离等于 fh 进而得解 解题反思涉及抛物线焦点和准线的有关问题 应充分利用抛物线的定义求解 本题中直线的倾斜角为特殊角60 通过解三角形更快捷 若联立直线和抛物线的方程求点m的坐标 然后求点n的坐标和直线nf的方程 再利用点到直线的距离公式求解 运算量会比较大 2 2017课标全国 理 16 5分 已知f是抛物线c y2 8x的焦点 m是c上一点 fm的延长线交y轴于点n 若m为fn的中点 则 fn 答案6 解析如图 过m n分别作抛物线准线的垂线 垂足分别为m1 n1 设抛物线的准线与x轴的交点为f1 则 nn1 of1 2 ff1 4 因为m为fn的中点 所以 mm1 3 由抛物线的定义知 fm mm1 3 从而 fn 2 fm 6 思路分析过m n作准线的垂线 利用抛物线的定义和梯形的中位线求解 方法总结当直线过抛物线的焦点时 应充分利用抛物线的定义 同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用 3 2017天津文 12 5分 设抛物线y2 4x的焦点为f 准线为l 已知点c在l上 以c为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点a 若 fac 120 则圆的方程为 答案 x 1 2 y 2 1 解析本题主要考查抛物线的几何性质 圆的方程以及直线与圆的位置关系 由抛物线的方程可知f 1 0 准线方程为x 1 设点c 1 t t 0 则圆c的方程为 x 1 2 y t 2 1 因为 fac 120 ca y轴 所以 oaf 30 在 aof中 of 1 所以oa 即t 故圆c的方程为 x 1 2 y 2 1 方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法 根据题意列出关于三个独立参数a b r 或d e f 的方程组 从而得到参数的值 写出圆的方程 若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长 常把圆的方程设为标准形式 同时应考虑数形结合思想的运用 4 2014课标 改编 10 5分 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 o为坐标原点 则 oab的面积为 答案 解析易知直线ab的方程为y 与y2 3x联立并消去x得4y2 12y 9 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 3 y1y2 s oab of y1 y2 评析本题考查了直线与抛物线的位置关系 考查了数形结合和运算求解的能力 利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键 5 2016浙江理 9 4分 若抛物线y2 4x上的点m到焦点的距离为10 则m到y轴的距离是 答案9 解析设m x0 y0 由抛物线方程知焦点f 1 0 根据抛物线的定义得 mf x0 1 10 x0 9 即点m到y轴的距离为9 评析本题主要考查抛物线的定义以及几何性质 解决本题的关键在于抛物线定义的应用 6 2013安徽理 13 5分 已知直线y a交抛物线y x2于a b两点 若该抛物线上存在点c 使得 acb为直角 则a的取值范围为 答案 1 解析如图 以 0 a 为圆心 为半径作圆 当圆与抛物线有三个或四个交点时 c存在 联立消去x得 y a y a 1 0 即y a或y a 1 故a 1 0 即a 1 7 2017北京理 18 14分 已知抛物线c y2 2px过点p 1 1 过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m n 过点m作x轴的垂线分别与直线op on交于点a b 其中o为原点 1 求抛物线c的方程 并求其焦点坐标和准线方程 2 求证 a为线段bm的中点 解析本题考查抛物线方程及性质 直线与抛物线的位置关系 1 由抛物线c y2 2px过点p 1 1 得p 所以抛物线c的方程为y2 x 抛物线c的焦点坐标为 准线方程为x 2 由题意 设直线l的方程为y kx k 0 l与抛物线c的交点为m x1 y1 n x2 y2 由得4k2x2 4k 4 x 1 0 则x1 x2 x1x2 因为点p的坐标为 1 1 所以直线op的方程为y x 点a的坐标为 x1 x1 直线on的方程为y x 点b的坐标为 因为y1 2x1 0 所以y1 2x1 故a为线段bm的中点 方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时 常涉及弦长 中点 面积等问题 一般是先联立方程 再根据根与系数关系 用设而不求 整体代入的技巧进行求解 易错警示在设直线方程时 若要设成y kx m的形式 注意先讨论斜率是否存在 若要设成x ty n的形式 注意先讨论斜率是否为0 8 2017课标全国 文 20 12分 设a b为曲线c y 上两点 a与b的横坐标之和为4 1 求直线ab的斜率 2 设m为曲线c上一点 c在m处的切线与直线ab平行 且am bm 求直线ab的方程 解析本题考查直线与抛物线的位置关系 1 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 y1 y2 x1 x2 4 于是直线ab的斜率k 1 2 由y 得y 设m x3 y3 由题设知 1 解得x3 2 于是m 2 1 设直线ab的方程为y x m 故线段ab的中点为n 2 2 m mn m 1 将y x m代入y 得x2 4x 4m 0 当 16 m 1 0 即m 1时 x1 2 2 2 从而 ab x1 x2 4 由题设知 ab 2 mn 即4 2 m 1 解得m 7 所以直线ab的方程为y x 7 方法总结 1 直线与抛物线的位置关系点差法 在已知 x1 x2 或 y1 y2 的值 求直线l的斜率时 利用点差法计算 在很大程度上减少运算过程中的计算量 2 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交 求参数时 一般联立直线与圆锥曲线的方程 消元后利用韦达定理 结合已知列方程求解参数 求弦长时 可通过弦长公式 ab x1 x2 或 ab y1 y2 k 0 求解 9 2016课标全国 20 12分 在直角坐标系xoy中 直线l y t t 0 交y轴于点m 交抛物线c y2 2px p 0 于点p m关于点p的对称点为n 连接on并延长交c于点h 1 求 2 除h以外 直线mh与c是否有其他公共点 说明理由 解析 1 由已知得m 0 t p 又n为m关于点p的对称点 故n on的方程为y x 代入y2 2px整理得px2 2t2x 0 解得x1 0 x2 因此h 所以n为oh的中点 即 2 2 直线mh与c除h以外没有其他公共点 理由如下 直线mh的方程为y t x 即x y t 代入y2 2px得y2 4ty 4t2 0 解得y1 y2 2t 即直线mh与c只有一个公共点 所以除h以外直线mh与c没有其他公共点 10 2016浙江 19 15分 如图 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 抛物线上的点a到y轴的距离等于 af 1 1 求p的值 2 若直线af交抛物线于另一点b 过b与x轴平行的直线和过f与ab垂直的直线交于点n an与x轴交于点m 求m的横坐标的取值范围 解析 1 由题意可得 抛物线上点a到焦点f的距离等于点a到直线x 1的距离 由抛物线的定义得 1 即p 2 2 由 1 得 抛物线方程为y2 4x f 1 0 可设a t2 2t t 0 t 1 因为af不垂直于y轴 可设直线af x sy 1 s 0 由消去x得y2 4sy 4 0 故y1y2 4 所以 b 又直线ab的斜率为 故直线fn的斜率为 从而得直线fn y x 1 直线bn y 所以n 设m m 0 由a m n三点共线得 于是m 所以m2 经检验 m2满足题意 综上 点m的横坐标的取值范围是 0 2 2013江西理 14 5分 抛物线x2 2py p 0 的焦点为f 其准线与双曲线 1相交于a b两点 若 abf为等边三角形 则p 教师专用题组 答案6 解析如图 在正三角形abf中 df p bd p b点坐标为 又点b在双曲线上 故 1 解得p 6 一 填空题 每题5分 共30分 1 2017江苏六市3月联考 6 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线y2 4x上一点p到焦点的距离为3 则点p的横坐标是 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 30分钟分值 40分 答案2 解析设p m n 由y2 4x得准线方程为x 1 由抛物线的定义得1 m 3 所以m 2 所以m 2 2 2017扬州高三上学期期中 抛物线x2 2py p 0 的准线方程为y 则抛物线的方程为 答案x2 2y 解析由准线y 得 即p 1 从而所求抛物线的方程为x2 2y 3 2016江苏南京 盐城一模 7 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线c的顶点在坐标原点 焦点在x轴上 若曲线c经过点p 1 3 则其焦点到准线的距离为 答案 解析由题意设抛物线方程为y2 2px 因为抛物线过点p 1 3 所以p 所以焦点到准线的距离为 4 2016江苏扬州中学周测 4 抛物线y 2x2的准线方程为 答案y 解析抛物线的标准方程为x2 y 所以2p 则 所以其准线方程为y 5 2016江苏南京调研 8 如图 抛物线形拱桥的顶点距水面4米时 测得拱桥内水面宽为16米 当水面升高3米后 拱桥内水面的宽度为米 答案8 解析以抛物线的顶点为坐标原点 平行于水面的直线为x轴建立直角坐标系 设抛物线方程为x2 my 由题意得抛物线过点 8 4 所以m 16 即x2 16y 令y 1得 x 4 从而水面的宽度为8米 6 2015江苏盐城三模 4 若抛物线y2 8x的焦点f与双曲线 1的一个焦点重合 则n的值为 答案1 解析由题知f 2 0 c 2 n 1 二 解答题 共10分 7 2015江苏连云港五校联考 18 已知抛物线c y2 2px p 0 过点a 1 2 1 求抛物线c的方程与其准线方程 2 是否存在平行于oa o为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线c有公共点 且直线oa与l的距离等于 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解析 1 将 1 2 代入y2 2px p 0 得p 2 故所求的抛物线方程为y2 4x 其准线方程为x 1 2 假设存在符合题意的直线l 设其方程为y 2x t 由得y2 2y 2t 0 因为直线l与抛物线c有公共点 所以 22 4 1 2t 4 8t 0 解得t 由直线oa与直线l的距离等于可得 t 1 由于t 所以t 1 所以符合题意的直线l存在 其方程为y 2x 1 评析本题考查直线 抛物线等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 第 1 问用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程 第 2 问依题意设直线l的方程为y 2x t 联立直线方程与抛物线的方程 利用判别式限制参数t的范围 再由直线oa与直线l的距离等于列出方程 求出t的值 注意判别式对参数t的限制 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017南京 盐城二模 8 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y2 6x的焦点为f 准线为l p为抛物线上一点 pa l a为垂足 若直线af的斜率k 则线段pf的长为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 45分 答案6 解析由题意可设p x 则a 易求得f kaf 解得x 由抛物线定义可得 pf x 6 思路分析求抛物线上一点到焦点的距离 由抛物线定义知只要求出该点的横坐标即可 设p x 则a 易得f 由kaf 可求得x 进而求解 2 2017江苏南京师范大学附属中学期初调研 11 设f为抛物线x2 4y的焦点 该抛物线在点p 4 4 处的切线与x轴的交点为q 则三角形pfq的外接圆方程为 答案 x 2 2 解析由x2 4y可得y x2 所以y x 抛物线在点p 4 4 处的切线斜率为k 2 切线方程为y 4 2 x 4 即y 2x 4 从而可得q 2 0 设三角形pfq的外接圆方程为x2 y2 dx ey f 0 将点q 2 0 f 0 1 p 4 4 代入 可得解得d 4 e 5 f 4 从而可得所求圆的方程为x2 y2 4x 5y 4 0 即 x 2 2 方法总结要求三角形外接圆方程 可以求出三角形的三个顶点的坐标 利用圆的一般方程求相关系数即可 3 2016江苏扬州中学月考 12 已知抛物线的顶点在坐标原点 焦点在x轴上 abc的三个顶点都在抛物线上 并且 abc的重心是抛物线的焦点 bc边所在的直线方程为4x y 20 0 则抛物线的方程为 答案y2 16x 解析设抛物线的方程为y2 2px 由可得2y2 py 20p 0 由 0得p 0或p 160 设b x1 y1 c x2 y2 则y1 y2 故x1 x2 5 5 10 y1 y2 10 设a x3 y3 由三角形重心为f 可得 0 所以x3 10 y3 因为a在抛物线上 所以 2p 从而p 8 所以所求抛物线方程为y2 16x 4 2015江苏南京 盐城二模 9 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线c x2 4y的焦点为f 定点a 2 0 若射线fa与抛物线c相交于点m 与抛物线c的准线相交于点n 则fm mn 答案 解析设准线与y轴的交点为p 由题意得 由f 0 1 a 2 0 得直线fa y 1 当y 1时 x 4 即n 4 1 所以 所以fm mn的值是 二 解答题 共25分 5 2016江苏扬州期末 18 某隧道