【名师讲解】2014高校自主招生考试物理讲座力学四 万.pdf

专题四 万有引力与天体专题四 万有引力与天体 第 34页共 52页 天体运动两大模型天体运动两大模型 万有引力公式应用中几个易错的量 万有引力公式应用中几个易错的量 一是一是 M 固 定 星 球 的 质 量 还 是 转 动 星 球 的 质 量 固 定 星 球 的 质 量 还 是 转 动 星 球 的 质 量 二是二是 r 是星球半径 轨道半径还是两星距离 是星球半径 轨道半径还是两星距离 三是三是 T 是公转周期 还是自转周期 还是单摆周期 是公转周期 还是自转周期 还是单摆周期 四是四是 a 是向心加速度 还是重力加速度 是卫星的向心 是向心加速度 还是重力加速度 是卫星的向心 加速度还是地面物体的向心加速度加速度还是地面物体的向心加速度 引力势能问题引力势能问题 个质量分别为个质量分别为 m1和和 m2的质点相距为的质点相距为 r 时 其引力势能时 其引力势能 为 为 12 p Gm m E r 质量为质量为 m 的质点与质量为的质点与质量为 M 半径为半径为 R 的均匀球的球心的均匀球的球心 相距为相距为 r 时 其引力势能为 时 其引力势能为 p GMm ErR r 质量为质量为 m 的质点与质量为的质点与质量为 M 半径为半径为 R 的均匀球壳球心的均匀球壳球心 相距为相距为 r时 其引力势能为时 其引力势能为 p GMm ErR R p GMm ErR r 行星运动问题行星运动问题 1 人造地球卫星 人造地球卫星第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 v1 是在地面上发射人是在地面上发射人 造地球卫星所需的最小速度造地球卫星所需的最小速度 设设 地球质量地球质量 mE 抛体质量抛体质量 m 地球半地球半径径 RE 解 取抛体和地球为一系统解 取抛体和地球为一系统 系统的机械能 系统的机械能 E 守恒守恒 R mm G mE E E 2 1 2 1 v hR mm G m E E 2 2 1 v hR mm G m R mm G mE E E E E 22 1 2 1 2 1 vv 由牛顿第二定律和万有引力定律得由牛顿第二定律和万有引力定律得 2 2 hR mm G hR m E E E v 解得解得 hR Gm R Gm E E E E 2 1 v hR Gm R Gm E E E E 2 1 v 2 E E R Gm g hR R gR E E E 2 1 v 地球表面附近地球表面附近 hRE 故故 E gR 1 v 计算得计算得m s 3 1 1097 v 第一宇宙速度第一宇宙速度 0 2 hR Gmm E E E 2 人造行星 人造行星第二宇宙速度第二宇宙速度 第二宇宙速度第二宇宙速度 v2 是抛体脱离地是抛体脱离地 球引力所需的最小发射速度球引力所需的最小发射速度 设设 地球质量地球质量 E m 抛体质量抛体质量 m 地球半径地球半径 E R 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 系统机械能系统机械能 E 守恒守恒 当当 00 v F r 则则 R mm G mE E E 2 2 2 1 v 0 pk EE 0 2 1 2 2 R mm G mE E E v E E E gR R Gm 2 2 2 v 计算得计算得 km s 211 2 v 第二宇宙速度 第二宇宙速度 3 飞出太阳系飞出太阳系第三宇宙速度第三宇宙速度 第三宇宙速度第三宇宙速度 v3 是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速 是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速 度度 设设 地球质量地球质量 E m 抛体质量 抛体质量m 地球半径地球半径 E R 太阳质量太阳质量 S m抛体与太阳相距 抛体与太阳相距 S R E vv v 3 计算得计算得 21 12 R Gm S S v 取地球为参照系取地球为参照系 22 3 2 1 2 1 v vm R mm G m E E 计算得计算得 1 E E s 4km R m G 162 212 3 v v 第三宇宙速度 第三宇宙速度 取抛体和地球为一系统 抛体首先要脱离地球引力的束缚取抛体和地球为一系统 抛体首先要脱离地球引力的束缚 其相对于地球的速率为其相对于地球的速率为v 取地球为参考系取地球为参考系 由机械能守恒得由机械能守恒得 22 3 2 1 2 1 v vm R mm G m E E 取太阳为参考系取太阳为参考系 抛体相对于太阳的速度为抛体相对于太阳的速度为 3 v 第 35页共 52页 则则 E vvv 3 地球相对于太阳的速度 地球相对于太阳的速度 如如 v 与与 E v 同向 有同向 有 E vvv 3 例例 1 09 华约华约 T1 天体运动 下列说法正确的是 天体运动 下列说法正确的是 A 卫星运行速度总不超过卫星运行速度总不超过 7 9km s B 卫星轨道必为圆形卫星轨道必为圆形 C 卫星运行速度与卫星质量无关卫星运行速度与卫星质量无关 例例 2 07 北约北约 T1 8 分 在地球 月球质量不变的情况分 在地球 月球质量不变的情况 下 使地球 月球半径及地月距离缩短为原来的下 使地球 月球半径及地月距离缩短为原来的 0 1 倍倍 1 地球上的重力与原来相比改变了多少 地球上的重力与原来相比改变了多少 2 月亮的周期变化了多少 月亮的周期变化了多少 例例 3 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察 者 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星 试问 者 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星 试问 春分那天 太阳光直射赤道 在春分那天 太阳光直射赤道 在 日日落落 12小时内有多长时间该观察小时内有多长时间该观察 者看不见此卫星 已知地球半径者看不见此卫星 已知地球半径 为为 R 地球表面处的重力加速度 地球表面处的重力加速度 为为 g 地球自转周期为地球自转周期为 T 不考虑不考虑 大气对光的折射 大气对光的折射 解 解 r3 GMT2 4 2 GMm R2 mg GM R2g r3 R2gT2 4 2 sin R r 4 2R gT2 1 3 的折射 的折射 例例 4 2000 年年 1 月月 26 日我国发射了一颗同步卫星 其定日我国发射了一颗同步卫星 其定 点位置与东经点位置与东经 98 的经线在同一平面内的经线在同一平面内 若把甘肃嘉峪关处若把甘肃嘉峪关处 的经度和纬度近似取为东经的经度和纬度近似取为东经 98 和北纬和北纬 40 已知地球半已知地球半 径径 R 地球自转周期地球自转周期 T 地球表面重力加速度地球表面重力加速度 g 视为常量视为常量 和光速和光速 c 试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的 接收站所需的时间接收站所需的时间 要求用要求用 题 给 的 已 知 量 的 符 号 表题 给 的 已 知 量 的 符 号 表 示示 解 解 由由 GMm r2 m 2r 4m 2r T2 又又 GM R2g 可得可得 例 例 5 交大真题 设想宇航员完成了对火星表面的科学 交大真题 设想宇航员完成了对火星表面的科学 考察任务考察任务 乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱 如图所示 为了安全 返回舱与轨道舱对接时 必须具有如图所示 为了安全 返回舱与轨道舱对接时 必须具有 相同的速度 已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做相同的速度 已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做 功功 W mgR 1 R r 返回舱与人 返回舱与人 的总质量为的总质量为 m 火星表面的重力加 火星表面的重力加 速度为速度为 g 火星的半径为 火星的半径为 R 轨道 轨道 舱到火星中心的距离为舱到火星中心的距离为 r 不计火星不计火星 表面大气对返回舱的阻力和火星自表面大气对返回舱的阻力和火星自 转的影响 则该宇航员乘坐的返回转的影响 则该宇航员乘坐的返回 舱至少需要获得多少动能才能返回舱至少需要获得多少动能才能返回 轨道舱 轨道舱 解 解 轨道舱轨道舱 GMm0 r2 m0v2 r 对返回舱 对返回舱 W mv2 2 Ek0 Ek0 mv2 2 W mGM 2r mgR 1 R r mR2g 2r mgR 1 R r mgR 1 R 2r 例 例 6 华约真题 华约真题 12 分 卫星携带一探测器在半径分 卫星携带一探测器在半径为为 3R R 为地球半径为地球半径 的圆轨道上绕地球飞行的圆轨道上绕地球飞行 在在 a 点点 卫星上卫星上 的辅助动力装置短暂工作 将探测器沿运动方向射出 设的辅助动力装置短暂工作 将探测器沿运动方向射出 设 辅助动力装置喷出的气体质量可忽略辅助动力装置喷出的气体质量可忽略 若探测器恰能完全若探测器恰能完全 脱离地球的引力脱离地球的引力 而卫星沿新的椭圆轨道运动而卫星沿新的椭圆轨道运动 其近地点其近地点 b 距地心的距离为距地心的距离为 nR n 略小于略小于 3 求卫求卫 星与探测器的质量比星与探测器的质量比 质量分别为质量分别为 M m的两个质点相距的两个质点相距为为r时的引力势能为时的引力势能为 GMm r 式中 式中 G 为引力常量 为引力常量 解 解 设地球质量为设地球质量为 M 卫星质量为 卫星质量为 m 探测器质量为 探测器质量为 m 当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时 由万有引力定当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时 由万有引力定 律和牛顿第二定律得律和牛顿第二定律得 R v mm R mm GM 33 2 2 R GM v 3 2 设分离后探测器速度为设分离后探测器速度为 v 探测器刚好脱离地球引力应满足探测器刚好脱离地球引力应满足 0 32 1 2 R mGM vm v R GM v2 3 2 设分离后卫星速度为设分离后卫星速度为 u 由机械能守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 R GMm mu nR GMm mv 32 1 2 1 22 近 由开普勒第二定律有由开普勒第二定律有 nRv近 近 3Ru 联立解得联立解得 v n n u 3 2 由分离前后动量守恒可得由分离前后动量守恒可得 m m v mu m v 联立联立 式得式得 第 36页共 52页 n nm m 3 2 1 12 本题考查了天体运动的知识 开普勒第二定律 角动量守本题考查了天体运动的知识 开普勒第二定律 角动量守 恒恒 第二宇宙速度 引力势能 第二宇宙速度 引力势能 动量守恒 不在高考范 动量守恒 不在高考范 围内围内 例 例 7 北约真题 北约真题 答案 答案 BD 例 例 8 卓越真题 卓越真题 我国于我国于 2011 年发射的年发射的 天宫一号天宫一号 目标飞行器与目标飞行器与 神舟八神舟八 号号 飞船顺利实现了对接 在对接过程中飞船顺利实现了对接 在对接过程中 天宫一号天宫一号 与与 神舟八号神舟八号 的相对速度非常小的相对速度非常小 可以认为具有相同速率可以认为具有相同速率 它们的运动可以看作绕地球的匀速圆周运动 设它们的运动可以看作绕地球的匀速圆周运动 设 神舟八神舟八 号号 的质量为的质量为 m 对接处距离地球中心为对接处距离地球中心为 r 地球的半径地球的半径为为 R 地球表面处的重力加速度为地球表面处的重力加速度为 g 不考虑地球自转的影响不考虑地球自转的影响 神舟八号神舟八号 在对接时在对接时 例 例 9 天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果 银河银河 系中可能存在一个大系中可能存在一个大 黑洞黑洞 距 距 黑洞黑洞 60 亿千米的星体亿千米的星体以以 2000km s 的速度绕其旋转 接近的速度绕其旋转 接近 黑洞黑洞 的所有物质即使速的所有物质即使速 度等于光速也被度等于光速也被 黑洞黑洞 吸人 试计算吸人 试计算 黑洞黑洞 的最大半径 的最大半径 解 根据题意 星体能绕其旋转 它绕解 根据题意 星体能绕其旋转 它绕 黑洞黑洞 作圆周运动作圆周运动 的向心力 显然是万有引力提供的 据万有引力定律 可的向心力 显然是万有引力提供的 据万有引力定律 可 知知 黑洞黑洞 是一个有质量的天体 是一个有质量的天体 设黑洞和转动星体的质量分别为设黑洞和转动星体的质量分别为 M 和和 m 两者距离为 两者距离为 R 利用万有引力定律和向心力公式列式 利用万有引力定律和向心力公式列式 GMm R2 mv2 R 得到 得到GM v2R 题中还告诉一个信息 即使是等于光速的物体也被题中还告诉一个信息 即使是等于光速的物体也被 黑洞黑洞 吸入 据此信息 可以设想速度等于光速的物体恰好未被吸入 据此信息 可以设想速度等于光速的物体恰好未被 黑洞黑洞 吸入 可类比近地卫星绕地球作圆周运动 吸入 可类比近地卫星绕地球作圆周运动 设设 黑洞黑洞 半径为半径为 r 用类比方法得到用类比方法得到 G M c2 r c 为光速为光速 所以所以 r v2 R c2 2 7 108m 例例 10 根据对某一双星系统的光学测量确定根据对某一双星系统的光学测量确定 该该 双星系统中每个星体的质量都是双星系统中每个星体的质量都是 M 两者间相距两者间相距 L 它们正围绕两者连线的中点做圆周运动它们正围绕两者连线的中点做圆周运动 试计算试计算 该