常微习题讲解3.pdf

100875 2010 11 23 y p x y q x y 0 1 y u x z 2 u x 1 u x z 2u x p x u x z u x p x u x q x u x z 0 3 z 2u x p x u x 0 u x e 1 2 p x dx y ze 1 2 p x dx 4 1 z I x z 0 5 I x q x 1 4p 2 x 1 2p x I x 1 I x c x2 c 2 I x x x 3 I x const 5 1 1 I x c x2 5 5 1 2 2 I x x x z x 5 5 3 I x const 5 5 0 1 x2y xy x2 n2 y 0 6 n 0 y 1 xy 1 n2 x2 y 0 p x 1 x q x 1 n2 x2 y ze 1 2 1 xdx z x z 1 1 x2 1 4 n2 0 n 1 2 Bessel x2y xy x2 1 4 y 0 7 y z x z z 0 8 z C1sinx C2cosx 7 y 1 x C1sinx C2cosx C1 C2 3 0 2 y 2 xy y 0 y ze 1 2 p x dx z x z z 0 z C1cosx C2sinx y C1 cosx x C2 sinx x C1 C2 S L p x y q x r x y 0 R1 y R2 y 0 9 r x 0 a b 0 1 0 9 y 0 x 0 y 0 x y 0 x 0 C 6 0 y C 0 x 0 1 p x C1 a b q x r x C a b p x 0 r x 0 2 1 22 6 0 2 1 2 2 6 0 1 S L 9 0 1 k lim k k 2 k k x a b k 3 k x r x Z b a r x k x m x dx 0 k 6 m 4 4 Ri 0 i 1 2 C2 a b k x x X k 0 ak k x ak 1 k Z b a r x x k x dx k Z b a r x 2 k x dx 0 3 y y 0 y 0 0 y l 0 10 1 0 10 y C1cos x C2sin x y 0 C1 0 y l C1cos l C 2sin l 0 5 C1 C2 sin l 0 l n n n l 2 n 1 2 n x sin n l x n 1 2 0 4 y 4y f x y 0 0 y 0 11 2 4 0 1 2 2i y C1cos2x C2sin2x C1 C2 y x C1cos2x C2sin2x Z x 0 1 2 cos2s sin2x cos2x sin2s f s ds C1 C2 y 0 0 C1 0 y x 2C2cos2x Z x 0 cos2s cos2x sin2x sin2s f s ds y 0 C2 1 2 R 0 cos2sf s ds C1 C2 11 y x 1 2 sin2x Z 0 cos2sf s ds Z x 0 1 2 cos2s sin2x cos2x sin2s f s ds y x Z x 0 1 2 cos2x sin2s f s ds Z x 1 2 sin2x cos2s f s ds 6 G x s 1 2 cos2x sin2s 0 s x 1 2 sin2x cos2s x s 11 y x Z 0 G x s f s ds G x s 11 Green 0 2 6 0 G x s Sturm y x Z b a G x s f s ds G x s Sturm Green 0 5 dy dx 011 101 110 y y y1 y2 y3 dy1 dx y2 y3 dy2 dx y1 y3 dy3 dx y1 y2 d dx y1 y2 y3 2 y1 y2 y3 y1 y2 y3 3C3e2x dy1 dx y1 3C3e2x y1 C1e x C3e2x dy2 dx y2 3C3e2x 7 y2 C2e x C3e2x y3 C1 C2 e x C3e2x y C1 1 0 1 e x C2 0 1 1 e x C3 1 1 1 e 2x C1 C2 C3 det A I 11 1 1 11 1 2 2 0 1 1 2 2 1 1 1 A 1I 2r 0 A 1I 2 111 111 111 2 333 333 333 A 1I 2r 0 r10 1 0 1 r20 0 1 1 r11 A 2I r10 0 r21 A 2I r20 0 1 1 y1 x r10e2x 1 0 1 e x y2 x r20e x 0 1 1 e x 8 2 2 2 A 2I r 0 2 11 1 21 11 2 u1 u2 u3 0 r u1 u2 u3 2u1 u2 u3 0 u1 2u2 u3 0 u1 u2 2u3 0 u1 u2 u3 1 1 1 1 2 y 3 x 1 1 1 e 2x y C1 1 0 1 e x C2 0 1 1 e x C3 1 1 1 e 2x C1 C2 C3 0 6 dx dt 4 3 2 1 x e2t e3t det A I 2 3 2 0 1 1 2 2 1 1 1 1I A r1 0 1 43 2 1 1 u1 u2 0 r1 u1 u2 9 3u1 3u2 0 2u1 2u2 0 r1 1 1 2 2 2 2I A r2 0 2 43 2 2 1 u1 u2 0 r2 u1 u2 2u1 3u2 0 2u1 3u2 0 r2 3 2 X t et3e2t et2e2t X 1 t 2e t3e t e 2t e 2t x X t C Z X 1 t f t dt x C1 1 1 et C2 3 2 e2t 2e2t 3te2t 3 2e 3t 2e2t 2te2t 1 2e 3t C1 C2 0 7 tdx dt x ty t2 dy dt 2x ty t e dx d dx dt dt d tdx dt dx d x e y e dy d 2x e y 10 z e y dz d e y e dy d dx d x z dz d 2x 2z d d z 2x 0 z 2x C1 dx d x C1 x C1 C2e z C1 2C2e x C1 C2t y 1 t C1 2C2 C1 C2 0 8 A 0010 0001 2300 4 200 y y1 y2 y3 y4 R4 dy dt Ay y 0 y t lim t y t 0 11 det A I 010 0 01 23 0 4 20 01 3 0 20 0 1 230 4 2 4 16 0 1 2 2 2 3 4 2i 1 2 A 1I r 2010 0201 2320 4 202 u1 u2 u3 u4 0 2u1 u3 0 2u2 u4 0 2u1 3u2 2u3 0 4u1 2u2 2u4 0 u2 2 3u1 u3 2u1 u4 2 3u1 r 3 2 6 4 T y1 y3 y2 y4 y3 2y1 3y2 y4 4y1 2y2 y1 2y1 3y2 y2 4y1 2y2 1 12 1 y1 y2 2y2 4 1 y 4 2 16y2 0 2 2 4 16 0 1 2 2 2 3 2i 4 2i y2 x C1e 2x C2e2x C3cos2x C4sin2x lim t y t 0 lim t y2 t 0 C2 C3 C4 0 y2 C1e 2x y1 y2 2y2 4 3 2C2e 2x y3 y1 3C2e 2x y4 y2 2C2e 2x C2 2 3 2 6 4 y x 3 2 6 4 e 2x 0 x 0 9 a a a 0 p q 1 y1 x x2sinx 2 y2 x 1 cosx y p x y q x y 0 13 y1 x y2 x Wronsky W x y1 x y2 x y 1 x y 2 x x2sinx1 cosx 2xsinx x2cosxsinx x2 2xsinx 1 cosx a a W 0 0 W x 6 0 p q W x Wronsky W x 0 W x 6 0 0 10 y y sin x 0 2 1 0 1 i 2 i y C1cosx C2sinx C1 C2 1 6 1 i 2 1 i i 1 6 1 i y Acos x B sin x y A sin x B cos x y A 2cos x B 2sin x A 1 2 cos x B 1 2 sin x sin x A 0 B 1 1 2 14 y C1cosx C2sinx 1 1 2 sin x 12 C1 C2 12 C1 C2 12 2 1 i y Axcosx Bxsinx y A Bx cosx B Ax sinx y 2B Ax cosx 2A Bx sinx 2B cosx 2Asinx sinx B 0 A 1 2 y C1cosx C2sinx 1 2xcosx C1 C2 1 6 1 1 0 11 x 8x 7x f t f t 0 t a f t 0 t 0 t b t f t 0 t t 0 t 15 2 8 7 0 1 1 2 7 x C1e t C2e 7t C1 C2 C 1 t e t C 2 t e 7t 0 C 1 t e t 7C 2 t e 7t f t C1 t 1 6 Z t 0 esf s C2 t 1 6 Z t 0 e7sf s ds x C1e t C2e 7t 1 6e t Z t 0 esf s ds 1 6e 7t Z t 0 e7sf s ds C1 C2 1 f t 0 f t M e t Z t 0 esf s ds Me t Z t 0 esds M 2 limt f t 0 limt e t Rt 0 esf s ds limt t 0 esf s ds et 0 R 0 esf s ds limt etf t et 0 R 0 esf s ds limt e 7t Rt 0 e7tf s ds 0 t 0 12 t 1 3 d 2x dt2 3 t 1 2 dx dt t 1 x