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文档简介

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n阶范德蒙德行列式，当这些两两互异时，这个事实有助于我们理解不少结果例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根证 设有个互异的零点，则有，即这个关于的齐次线性方程组的系数行列式，因此这个矛盾表明至多有n个互异根例2 设是n个两两互异的数证明对任意n个数，存在惟一的次数小于n的多项式：，使得，证 从定义容易看出的次数小于n，且，故只需证明唯一性即可设满足，即这个关于的线性方程组的系数行列式，故是唯一的，必须 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式例3 设是个复系数多项式，满足，证明证 设，取，分别以代入，可得这个关于的齐次线性方程组的系数行列式，因此例4 设n是奇数，是个复系数多项式，满足，证明证 注意到当n是奇数时，可按照例3的思路完成证明例5 设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关证 设是A的两两不同的r个特征值，非零向量适合，假设，那么有，即，注意到，必须，于是，这证明了线性无关例6 计算行列式，其中解 注意到下面的等式：即得例7 计算行列式，其中解 直接利用例6可得例8 设是正整数，证明n阶行列式能被整除证 直接运用例6、例7可得能被整除例9 计算n阶范德蒙德行列式，其中解 注意到当且仅当，可得，由此，的模现在来确定的幅角：令，故对于上面考虑的j和k，总有，这意味着，因此，由此可设，其中这样就求得了例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式证 按的第一行展开行列式，可得例11 设有n个常数，n个两两不同的常数以及由x的恒等式定义的一个多项式对于一个已知多项式，定义另一个多项式，它为上面的恒等式中将分别代之以所得的x的恒等式所确定证明用多项式除以所得的余式为证 由于n阶范德蒙德行列式，按题设这里的行列式的最后一列展开，可知是个次数小于n的多项式从条件知对每个，必须，由拉格朗日插值公式知同理可求出由恒等式所定义的多项式 设，其中的次数小于n为证，只需证明时，即可事实上，对每个，是易见的，因此结论成立例12 设在上连续，在内存在2阶导数，证明在上有，这里特别地，存在，使证 在上构造函数，则在上连续，在内存在2阶导数因，由中值定理存在，使，故再运用一次中值定理，存在，使，即，展开行列式即得特别地，取，则有相应的，使上式成立，即，化简即得例13 设在内存在阶导数，证明存在，使证 在上构造函数，在内存在阶导数因，反复利用微分中值定理，存在，使，即按第一行展开行列式得，左边按最后一列展
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