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DBFQ计算机数学基础(2)辅导 第12章 数值积分与微分 (2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 第12章 数值积分与微分一、重点内容n m次代数精度 求积公式 对于任意不超过m次的代数多项式都精确成立, 而至少有一个m+1次代数多项式不成立, 称该求积公式具有m次代数精度 n 牛顿科茨求积公式： (ba) .其中Ak=(k=0,1,2,n)是牛顿科茨求积公式的系数，称科茨系数，有(k=0,1,2,n)它有两条性质： 归一性，；对称性(k=0,1,n)牛顿科茨求积公式的截断误差 Rn(x)= n 常见牛顿科茨求积公式 梯形公式： 截断误差： R1f= 复化梯形公式：()截断误差：， M2 抛物线公式： 复化抛物线公式： 其中截断误差： Rnf， (, n=2m) 科茨公式： n 高斯勒让德求积公式 有n+1节点的求积公式具有2n+1次代数精度，称为高斯求积公式，其节点称高斯点 高斯点为n阶勒让德多项式的零点(高斯点)，且只限于在区间1，1的高斯型求积公式称为高斯勒让德求积公式其节点和系数可查表得到 其余项：n 微分公式 (1)等距节点两点求导公式： (2)等距节点三点求导公式 (k=1,2,n1)二、实例例1 试确定求积公式中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度依定义，对xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的k数值解 公式中只有一个待定参数a.当f(x)=1,x时，有,即h=h ,不能确定a，再令f(x)=x2, 代入求积公式，得到,即 得. 求积公式为将f(x)=x3代入上求积公式，有 可见，该求积公式至少具有三次代数精度.再将f(x)=x4代入上公式中，有 所以该求积公式具有三次代数精度注：若参数a已知时，此题改换为“求该求积公式具有几次代数精度”例2 将区间1,98等分，试用复化梯形公式求积分的近似值，计算过程中保留4位有效数字解 计算列表 k 0 1 1.000 1 2 2.646 2 3 3.606 3 4 4.359 4 5 5.000 5 6 5.568 6 7 6.083 7 8 6.557 8 9 7.000h=1, 用梯形公式 =37.819 例3 已知函数f(x)在x=0，0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875，1处的函数值为0，0.015624，0.062459，0.140162，0.247404，0.380766，0.533303，0.692988，0.841471，试用复化抛物线公式计算积分的近似值，计算过程中保留5位小数解 取m=4,即n=8，h=0,125，用复化抛物线求积公式计算积分 = =例4 用四个节点的高斯勒让德求积公式计算定积分，计算过程保留4位小数解 高斯勒让德求积公式只求积分区间为1,1上的积分问题需作变换，令，当x=1时，u=1;当x=0时，u=1于是， 例5 用三点公式计算在x=1.0,1.1,1.2处的导数值.已知函数值f(1.0)=0.250 000, f(1.1)=0.226757, f(1.2)=0.206 612解 三点导数公式为 k=1,2,3,n1本例取x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1.于是有计算 例6 选择填空题1. 将积分求积0，0.5四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为那么用科茨求积公式计算定积分dx中的系数A2( )(A) (B) (C) (D) 答案：(C)解答：科茨系数具有归一性和对称性，由，可知牛顿科茨系数与科茨系数的关系为A22. 梯形求积公式具有( )次的代数精度 (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3答案：(B).解答；由代数精度的定义，(1) 当f(x)=1,有左边, 右边(2) 当f(x)=x,有左边右边(3) 当f(x)=x2,有左边=右边=左边可见该求积公式只有1次代数精度3. 已知n=3时，科茨系数，那么 答案：解答：由科茨系数的归一性质，4. 3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的(A) 5(B) 6(C) 7(D) 3答案：(A)解答：有3个节点，即n=2，高斯型区间公式的代数精度是2n+1，故选项(A)正确5. 牛顿科茨求积公式，则 .答案：ba解答：牛顿科茨系数与科茨系数的关系为Ak三、练习题1. 求积公式，若( )，则称该公式具有m次代数精度(A) 对于m次多项式该公式精确成立，m+1次多项式不成立(B) 对于大于m次多项式该公式精确成立，m次多项式不成立(C) 对于小于m次多项式该公式精确成立，大于m次多项式不成立(D) 对于不超过m次多项式该公式精确成立，有m+1次多项式不成立2. 已知函数值f(0.7)=0.343, f(1.1)=1.331, f(1.5)=3.375，用抛物线求积公式计算定积分，那么 .3. 高斯勒让德求积公式只限于讨论积分区间为 的数值积分问题4. 高斯勒让德求积公式f(x0)+f(x1)，那么节点x0, x1分别为 5. 当n=6时，=( ). 6. 将积分求积0，0.5四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为那么用科茨求积公式计算定积分dx中的系数A3( ) (A) (B) (C) (D) 7. 以 的零点为高斯点的高斯型求积公式称为高斯勒让德求积公式8. 等距二点求导公式f(x1) ( )9. 已知函数值g(1)=1，g(2)4，g(3)=9，以及等距三点求导公式：， ，那么，g(2) 10. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式的代数精度尽可能的高.11.用复化抛物线公式计算定积分取n=4,保留4位有效数字.12. 试用四点(n=3)高斯勒让德求积公式计算积分13. 试推导n=3的科茨系数14. 已知区间a,b上的抛物线求积公式，试证明将区间a,bn=2m(整数)等分，则复化抛物线求积公式为 其中fk=f(xk), k=0,1,2,2m, .四、练习题答案1. D 2. 1.206 3. 1，1 4. 5. D 6. B 7. 勒让德多项式8. A 9. 4 10. A0=A2=, A1=