【中考攻略】中考数学 专题9 几何三大变换之对称探讨.doc

【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】abcd【答案】b。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，a、不是轴对称图形，故本选项错误；b、是轴对称图形，故本选项正确；c、不是轴对称图形，故本选项错误；d、不是轴对称图形，故本选项错误。故选b。例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【 】a b c d【答案】a。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此a、是轴对称图形，符合题意；b、不是轴对称图形，不符合题意；c、不是轴对称图形，不符合题意；d、不是轴对称图形，不符合题意。故选a。例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】【答案】a。【考点】轴对称图形，中心对称图形。【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：a、是轴对称图形，不是中心对称图形；b、既是轴对称图形也是中心对称图形；c、既是轴对称图形也是中心对称图形；d、既是轴对称图形也是中心对称图形。故可得选项a与其他图形的对称性不同。故选a。例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】【答案】c。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可： a、圆有无数条对称轴，故本选项错误；b、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；c、矩形有2条对称轴，故本选项正确；d、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。故选c。例5. （2012福建三明8分）如图，已知abc三个顶点的坐标分别为a（2，1），b（3，3），c（1，3）.画出abc关于x轴对称的a1b1c1，并写出点a1的坐标；（4分）画出abc关于原点o对称的a2b2c2，并写出点a2的坐标.（4分）【答案】解：如图所示，a1（2，1）。如图所示，a2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出a1、a2的坐标。例6. （2012四川乐山9分）如图，在1010的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点abc（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出abc关于直线l对称的a1b1c1；（要求：a与a1，b与b1，c与c1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接bb1，cc1，求四边形bb1c1c的面积【答案】解：（1）如图，a1b1c1 是abc关于直线l的对称图形。（2）由图得四边形bb1c1c是等腰梯形，bb1=4，cc1=2，高是4。s四边形bb1c1c。【考点】作图（轴对称变换）。【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分作bm直线l于点m，并延长到b1，使b1m=bm，同法得到a，c的对应点a1，c1，连接相邻两点即可得到所求的图形。（2）由图得四边形bb1 c1c是等腰梯形，bb1=4，cc1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 【答案】309087。【考点】镜面对称。【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。例8. （2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】a b c d【答案】b。【考点】剪纸问题【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项b中所示。故选b。例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过abc的顶点a作高ad，将点a折叠到点d（如图2），这时ef为折痕，且bed和cfd都是等腰三角形，再将bed和cfd沿它们各自的对称轴eh、fg折叠，使b、c两点都与点d重合，得到一个矩形efgh（如图3），我们称矩形efgh为abc的边bc上的折合矩形 （1）若abc的面积为6，则折合矩形efgh的面积为 ；（2）如图4，已知abc，在图4中画出abc的边bc上的折合矩形efgh；（3）如果abc的边bc上的折合矩形efgh是正方形，且bc=2a，那么，bc边上的高ad= ，正方形efgh的对角线长为 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形efgh： （3）2a ； 。 【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形efgh的面积为abc的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。 （3）由如果abc的边bc上的折合矩形efgh是正方形，且bc=2a，那么，正方形边长为a，bc边上的高ad为efgh边长的两倍2a。 根据勾股定理可得正方形efgh的对角线长为。 例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形则下列下子方法不正确的是【 】说明：棋子的位置用数对表示，如a点在(6，3)a黑(3，7)；白(5，3) b黑(4，7)；白(6，2)c黑(2，7)；白(5，3) d黑(3，7)；白(2，6)【答案】c。【考点】利用轴对称设计图案。【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：a、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；b、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；c、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；d、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。故选c。练习题：1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】abcd2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【 】 a b c d3. （2012贵州遵义4分）在44的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【 】 a b c d5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为ab，在把以ab的中点o为顶点的平角aob三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以o为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】a正三角形 b正方形 c正五边形 d正六边形6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标系内移动点a，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点a的横坐标仍是整数，则移动后点a的坐标为 8. （2012广东广州12分）如图，p的圆心为p（3，2），半径为3，直线mn过点m（5，0）且平行于y轴，点n在点m的上方（1）在图中作出p关于y轴对称的p根据作图直接写出p与直线mn的位置关系（2）若点n在（1）中的p上，求pn的长9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出abc关于直线mn对称的a1b1c1二、线段、角的轴对称性：典型例题：例1. （2012湖北恩施3分）如图，abcd，直线ef交ab于点e，交cd于点f，eg平分bef，交cd于点g，1=50，则2等于【 】a50 b60 c65 d90【答案】c。【考点】平行线的性质，角平分线的定义。【分析】abcd，bef+1=180（两直线平行，同旁内角互补）。1=50，bef=130（等量代换）。eg平分bef，beg=bef=65（角平分线的定义）。2=beg=65（两直线平行，内错角相等定理）。故选c。例2. （2012海南省3分）如图，在abc中，b与c的平分线交于点o. 过o点作debc，分别交ab、ac于d、e若ab=5，ac=4，则ade的周长是 .【答案】9。【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】ob是b的平分线，dbo=obc。 又debc，obc =bod。dbo=bod。do=db。 同理，eo=ec。 又ab=5，ac=4， ade的周长=addeae=addoeoae=addbecae=abac=54=9。例3.（2012广东梅州3分）如图，aoe=boe=15，efob，ecob，若ec=1，则ef= 【答案】2。【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作egoa于f，efob，oef=coe=15，aoe=15，efg=15+15=30。eg=ce=1，ef=21=2。例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉m到广场的两个入口a、b的距离相等，且到广场管理处c的距离等于a和b之间距离的一半，a、b、c的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉m的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）【答案】解：作图如下：m即为所求。【考点】作图（应用与设计作图）。【分析】连接ab，作出线段ab的垂直平分线，在矩形中标出点m的位置（以点c为圆心，ab长为半径画弧交ab的垂直平分线于点m）。例4.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇a，b，如下图电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇a，b的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔c应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点c的位置（保留作图痕迹，不要求写出画法）【答案】解：作图如下：c1，c2就是所求的位置。【考点】作图（应用与设计作图）。【分析】根据题意知道，点c应满足两个条件，一是在线段ab的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点c应是它们的交点。（1）作两条公路夹角的平分线od或oe；（2）作线段ab的垂直平分线fg。则射线od，oe与直线fg的交点c1，c2就是所求的位置。练习题：1. （2012湖南怀化3分）如图，已知abcd，ae平分cab，且交cd于点d，c=110，则eab为【 】a30 b35 c40 d452. （2012贵州黔南4分）如图，已知直线abcd，be平分abc，交cd于d，cde=1500，则c的度数是【 】a1500 b1300 c1200 d10003. （2012云南省3分）如图，在中，ad是的角平分线，则cad的度数为【 】4. （2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角abc中，c=90，ad平分bac交bc于点d，若cd=4，则点d到斜边ab的距离为 5.（2012湖南娄底4分）如图，feon，oe平分mon，feo=28，则mfe= 度三、等腰（边）三角形的轴对称性：典型例题：例1. （2012黑龙江牡丹江6分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线【答案】解：能拼成3种平行四边形，如图： 图1中，对角线的长为5； 图2中，对角线的长为3和；图3中，对角线的长为4和【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】根据平行四边形的性质拼图。图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为。例2.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点a在第一象限，点p在x轴上，若以p，o，a为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点p共有【 】a 2个 b 3个 c4个 d5个【答案】c。【考点】等腰三角形的判定。【分析】如图，分op=ap（1点），oa=ap（1点），oa=op（2点）三种情况讨论。 以p，o，a为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点p共有4个。故选c。例3. （2012湖北荆门3分）如图，abc是等边三角形，p是abc的平分线bd上一点，peab于点e，线段bp的垂直平分线交bc于点f，垂足为点q若bf=2，则pe的长为【 】a 2 b 2 c d 3【答案】c。【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】abc是等边三角形，点p是abc的平分线，ebp=qbf=30，bf=2，fqbp，bq=bfcos30=2。fq是bp的垂直平分线，bp=2bq=2。在rtbef中，ebp=30，pe=bp=。故选c。例4. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 【答案】4。【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：， 它们的一边重合时（图1），重心距为2，解得a=3。当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。例5. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形abcd中，ab=10，bc=3，e为ab边的中点，p为cd边上的点，且aep是腰长为5的等腰三角形，则dp= 【答案】4或1或9。【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，根据题意， ab=10，bc=3，e为ab边的中点， ae=5，ad=3。 若ae=ap=5，则在rtadp1中， 由勾股定理，得dp1=4。 若ae=pe=5，a作efcd于点f，则ef=3，df=5在rtefp2中，p2f=4，dp2=dfp2f=1：在rtefp3中，p3f=4，dp3=dfp3f=9。另ap=ep=5不成立。综上所述，dp=4或1或9。例6. （2012湖北随州8分）如图,在abc中，ab=ac，点d是bc的中点，点e在ad上.求证：（1）abdacd；(2)be=ce【答案】证明：（1）d是bc的中点，bd=cd。 在abd和acd中，bd=cd，ab=ac，ad=ad(公共边)，abcacd（sss）。（2）由（1）知abdacd，bad=cad，即bae=cae。在abe和ace中， ab=ac，bae=cad，ae=ae，abeace （sas）。be=ce（全等三角形的对应边相等）。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据全等三角形的判定定理sss可以证得abdacd。（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知bae=cae；根据全等三角形的判定定理sas推知abeace；由全等三角形的对应边相等知be=ce。练习题：1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，abc为等边三角形，点e在ba的延长线上，点d在bc边上，且ed=ec若abc的边长为4，ae=2，则bd的长为【 】a2 b3 c d2. （2012湖北孝感3分）如图，在abc中，abac，a36，bd平分abc交ac于点d若ac2，则ad的长是【 】3. （2012江苏淮安3分）如图，abc中，ab=ac，adbc，垂足为点d，若bac=700，则bad= 0。4. （2012四川泸州5分）如图，abc是等边三角形，d是ab边上的一点，以cd为边作等边三角形cde，使点e、a在直线dc的同侧，连结ae。求证：aebc5. （2012甘肃白银10分）如图，已知abc是等边三角形，点d、f分别在线段bc、ab上，efb=60，dc=ef（1）求证：四边形efcd是平行四边形；（2）若bf=ef，求证：ae=ad四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：典型例题：例1. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，则图中的等腰直角三角形有【 】a4个 b6个 c8个 d10个【答案】c。【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。【分析】正方形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，ab=bc=cd=ad，oa=ob=oc=od，四个角都是直角，acbd。图中的等腰直角三角形有aob、aod、cod、boc、abc、bcd、acd、bda八个。故选c。例2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为【 】a.2 b. 3 c. 4 d.5【答案】a。【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：。故选a。例3. （2012山西省2分）如图，已知菱形abcd的对角线acbd的长分别为6cm、8cm，aebc于点e，则ae的长是【 】a b c d【答案】d。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】四边形abcd是菱形，co=ac=3，bo=bd=，aobo，。又，bcae=24，即。故选d。例4. （2012江苏南通3分）如图，矩形abcd的对角线ac8cm，aod120，则ab的长为【 】acm b2cm c2cm d4cm【答案】d。【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。【分析】在矩形abcd中，ao=bo=ac=4cm，aod=120，aob=180120=60。aob是等边三角形。ab=ao=4cm。故选d。例5. （2012湖北恩施3分）如图，菱形abcd和菱形ecgf的边长分别为2和3，a=120，则图中阴影部分的面积是【 】a b2 c3 d【答案】a。【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，设bf、ce相交于点m，菱形abcd和菱形ecgf的边长分别为2和3，bcmbgf，即。解得cm=1.2。dm=21.2=0.8。a=120，abc=180120=60。菱形abcd边cd上的高为2sin60=2，菱形ecgf边ce上的高为3sin60=3。阴影部分面积=sbdm+sdfm=0.8+0.8。故选a。例6. （2012广东深圳3分）如图，rtabc中，c= 90o，以斜边ab为边向外作正方形 abde，且正方形对角线交于点d，连接oc，已知ac=5，oc=6，则另一直角边bc的长为 例7. （2012上海市12分）己知：如图，在菱形abcd中，点e、f分别在边bc、cd，baf=dae，ae与bd交于点g（1）求证：be=df；（2）当时，求证：四边形befg是平行四边形【答案】证明：（1）四边形abcd是菱形，ab=ad，abc=adf，baf=dae，bafeaf=daeeaf，即：bae=daf。baedaf（asa）。be=df。（2）四边形abcd是菱形，adbc。adgebg。又be=df ，。gfbc。dgf=dbc=bdc。df=gf。又be=df ，be=gf。四边形befg是平行四边形。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定。【分析】（1）由菱形的性质和baf=dae，证得abf与afd全等后即可证得结论。（2）由adbc证得adgebg，从而；由和be=df即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得fgbc，进而得到dgf=dbc=bdc，根据等腰三角形等角对等边的判定和be=df ，证得be=gf。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。例8. （2012湖南娄底9分）如图，在矩形abcd中，m、n分别是adbc的中点，p、q分别是bm、dn的中点（1）求证：mbandc；（2）四边形mpnq是什么样的特殊四边形？请说明理由【答案】解：（1）证明：四边形abcd是矩形，ab=cd，ad=bc，a=c=90。 在矩形abcd中，m、n分别是adbc的中点，am=ad，cn=bc。am=cn。在mab和ndc中，ab=cd，a=c=90，am=cn mabndc（sas）。（2）四边形mpnq是菱形，理由如下：连接an，易证：abnbam，an=bm。mabndc，bm=dn。p、q分别是bm、dn的中点，pm=nq。dm=bn，dq=bp，mdq=nbp，mqdnpb（sas）。mq=pn。 四边形mpnq是平行四边形。m是ab中点，q是dn中点，mq=an，mq=bm。又mp=bm，mp=mq。四边形mqnp是菱形。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用sas判定mbandc。（2）四边形mpnq是菱形，连接an，由（1）可得到bm=cn，再有中点得到pm=nq，再通过证明mqdnpb得到mq=pn，从而证明四边形mpnq是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：mp=mq，从而证明四边形mqnp是菱形。例9.（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形abcd 中，对角线ac、bd 相交于点o，e、f 分别在od、oc 上，且de=cf，连接df、ae，ae 的延长线交df于点m. 求证：amdf.【答案】证明：abcd是正方形，od=oc。 又de=cf，odde=occf，即of=oe。在rtaoe和rtdof中，ao=do ，aod=dof， oe=of ，aoedof（sas）。oae=odf。oae+aeo=90，aeo=dem，odf+dem=90。amdf。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】由de=cf，根据正方形的性质可得出oe=of，从而证明aoedof，得出oae=odf，然后利用等角代换可得出dme=90，即得出了结论。例10.（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形abcd中，等边三角形aef的顶点e、f分别在bc和cd上（1）求证：ce=cf；（2）若等边三角形aef的边长为2，求正方形abcd的周长练习题：1. （2012陕西省3分）如图，在菱形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，oeab，垂足为e，若adc=1300，则aoe的大小为【 】a75 b65 c55 d502. （2012江苏苏州3分）如图，矩形abcd的对角线ac、bd相交于点o，cebd，deac.若ac=4，则四边形code的周长是【 】a.4 b.6 c.8 d. 103. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形abcd中，e是cd的中点，点f在bc上，且fc=bc。图中相似三角形共有【 】a1对 b2对 c3对 d4对4. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形abcd中，以a为顶点作等边aef，交bc边于e，交dc边于f；又以a为圆心，ae的长为半径作。若aef的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】（参考数据：，取3.14）a. 0.64 b. 1.64 c. 1.68 d. 0.365. （2012安徽省5分）如图，p是矩形abcd内的任意一点，连接pa、pb、pc、pd，得到pab、pbc、pcd、pda，设它们的面积分别是s1、s2、s3、s4，给出如下结论： s1+s2=s3+s4 s2+s4= s1+ s3 若s3=2 s1，则s4=2 s2 若s1= s2，则p点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）.6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段ac=n+1（其中n为正整数），点b在线段ac上，在线段ac同侧作正方形abmn及正方形bcef，连接am、me、ea得到ame当ab=1时，ame的面积记为s1；当ab=2时，ame的面积记为s2；当ab=3时，ame的面积记为s3；当ab=n时，ame的面积记为sn当n2时，snsn1= 7. （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形abcd中，f为边bc的中点，df与对角线ac交于点m，过m作mecd于点e，1=2（1）若ce=1，求bc的长；（2）求证：am=df+me8. （2012四川凉山7分）如图，在矩形abcd中，ab=6，ad=12，点e在ad边上，且ae=8，efbe交cd于f（1）求证：abedef；（2）求ef的长9.（2012四川内江9分）如图，矩形abcd中，e是bd上的一点，bae=bce，aed=ced，点g是bc、ae延长线的交点，ag与cd相交于点f。（1） 求证：四边形abcd是正方形；（2） 当ae=2ef时，判断fg与ef有何数量关系？并证明你的结论。10. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形abcd中，点e、f分别是bc、cd边上的点，且aeef，be=2（1）求ec：cf值；（2）延长ef交正方形bcd的外角平分线cp于点p（图2），试判断ae与ep大小关系，并说明理由；（3）在图2的ab边上是否存在一点m，使得四边形dmep是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。五、等腰梯形的轴对称性：典型例题：例1. （2012广东广州3分）如图，在等腰梯形abcd中，bcad，ad=5，dc=4，deab交bc于点e，且ec=3，则梯形abcd的周长是【 】a26b25c21d20【答案】c。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。【分析】bcad，deab，四边形abed是平行四边形。be=ad=5。ec=3，bc=be+ec=8。四边形abcd是等腰梯形，ab=dc=4。梯形abcd的周长为：ab+bc+cd+ad=4+8+4+5=21。故选c。例2. （2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，ab=dc，b=80o，则d的度数是【 】 a120o b110o c100o d80o【答案】c。【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。【分析】adbc，b=80，a=180b=18080=100。四边形abcd是等腰梯形，d=a=100。故选c。例3. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，对角线acbd相交于点o，下列结论不一定正确的是【 】aac=bdbob=occbcd=bdcdabd=acd【答案】c。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】a四边形abcd是等腰梯形，ac=bd，故本选项正确。b四边形abcd是等腰梯形，ab=dc，abc=dcb，在abc和dcb中，ab=dc，abc=dcb，bc=cb，abcdcb（sas）。acb=dbc。ob=oc。故本选项正确。cbc和bd不一定相等，bcd与bdc不一定相等，故本选项错误。dabc=dcb，acb=dbc，abd=acd。故本选项正确。故选c。例4. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形abcd的下底在x轴上，且b点坐标为（4，0），d点坐标为（0，3），则ac长为【 】a4b5c6d不能确定【答案】b。【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】如图，连接bd，由题意得，ob=4，od=3，根据勾股定理，得bd=5。又abcd是等腰梯形，ac=bd=5。故选b。例5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形abcd中，adbc，acbd，ad=3，bc=7，则梯形的面积是【 】a25 b50 c d【答案】a。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】 过点d作deac交bc的延长线于点e，作dfbc于f。adbc，deac，四边形aced是平行四边形。ad=ce=3，ac=de。在等腰梯形abcd中，ac=db，db=de。acbd，acde，dbde。bde是等腰直角三角形。df=be=5。s梯形abcd=（ad+bc）df=（3+7）5=25。故选a。例6. （2012江苏南京8分）如图，梯形abcd中，ad/bc，ab=cd，对角线ac、bd交于点o，acbd，e、f、g、h分别为ab、bc、cd、da的中点（1）求证：四边形efgh为正方形；（2）若ad=2，bc=4，求四边形efgh的面积。【答案】（1）证明：在abc中，e、f分别是ab、bc的中点，ef=ac。同理fg=bd，gh=ac，he=bd。在梯形abcd中，ab=dc，ac=bd。ef=fg=gh=he，四边形efgh是菱形。设ac与eh交于点m，在abd中，e、h分别是ab、ad的中点，则ehbd，同理ghac。又acbd，boc=90。ehg=emc=90。四边形efgh是正方形。（2）解：连接eg。在梯形abcd中，e、f分别是ab、dc的中点，。在rtehg中，eh2+gh2=eg2，eh=gh，即四边形efgh的面积为。【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由acbd入手，进行正方形的判断。（2）连接eg，利用梯形的中位线定理求出eg的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形ehgf的面积。例7. （2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，点e、f、g分别在边ab、bc、cd上，且ae=gf=gc求证：四边形aefg为平行四边形【答案】证明：梯形abcd是等腰梯形，adbc，b=c（等腰梯形底角相等）。gf=gc，gfc=c（等边对等角）。gfc=b（等量代换）。abgf（同位角相等，两直线平行）。又ae=gf，四边形aefg是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。【分析】由等腰梯形的性质可得出b=c，再根据等边对等角的性质得到c=gfc，所以b=gfc，故可得出abgf，再由ae=gf即可得出结论。练习题：1. （2012江苏无锡3分）如图，梯形abcd中，adbc，ad=3，ab=5，bc=9，cd的垂直平分线交bc于e，连接de，则四边形abed的周长等于【 】a17b18c19d202. （2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，对角线ac 与bd相交于点o，若ob3，则oc 3. （2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，过点d作dfbc于f若ad=2，bc=4，df=2，则dc的长为 4. （2012江苏苏州6分）如图，在梯形abcd中，已知adbc，ab=cd，延长线段cb到e，使be=ad，连接ae、ac. 求证：abecda； 若dac=40，求eac的度数.5. （2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形abcd中，点e为底边bc的中点，连结ae、de求证：ae=de6. （2012四川南充6分）如图，等腰梯形abcd中，adbc，点e是ad延长线上的一点，且ce=cd，求证：b=e六、圆的轴对称性：典型例题：例1. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆o中，ab，cd是互相垂直的两条弦，垂足为p，且ab=cd=8，则op的长为【 】a3 b4 c d例2. （2012江苏泰州3分）如图，abc内接于o，odbc于d，a=50，则ocd的度数是【 】a40 b45 c50 d60【答案】a。【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。【分析】连接ob， a和boc是弧所对的圆周角和圆心角，且a=50，boc=2a=100。又odbc，根据垂径定理，doc=boc=50。ocd=1800900500=400。故选a。例3. （2012四川内江3分）如图，ab是o的直径，弦cda，cdb=300，cd=，则阴影部分图形的面积为【 】 a. b. c. d.【答案】d。【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。【分析】连接od。cdab，cd=，ce=de=（垂径定理）。阴影部分的面积等于扇形obd的面积。又cdb=30，cob=bod，bod=60（圆周角定理）。oc=2。，即阴影部分的面积为。故选d。例4. （2012山东泰安3分）如图，ab是o的直径，弦cdab，垂足为m，下列结论不成立的是【 】acm=dmbcacd=adcdom=md【答案】d。【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。【分析】ab是o的直径，弦cdab，垂足为m，m为cd的中点，即cm=dm，选项a成立；b为的中点，即，选项b成立；在acm和adm中，am=am，amc=amd=90，cm=dm，acmadm（sas），acd=adc，选项c成立。而om与md不一定相等，选项d不成立。故选d。例5. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口ab的长度为 mm【答案】8。【考点】垂径定理的应用，勾股定理。【分析】连接oa，过点o作odab于点d，则ab=2ad，钢珠的直径是10mm，钢珠的半径是5mm。钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，od=3mm。在rtaod中，mm，ab=2ad=24=8mm。例6. （2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知ad垂直平分bc，ad=bc=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm 【答案】30。【考点】垂径定理的应用，勾股定理。【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于abc；连接外心与b点，可通过勾股定理即可求出圆的半径：如图，连接ob， 当o为abc的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。ad垂直平分bc，ad=bc=48cm，o点在ad上，bd=24cm。在rt0bd中，设半径为r，则ob=r，od=48r。r2=（48r）2242，解得r=30。圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm。例7. （2012青海省2分）如图，已知点e是圆o上的点，b、c分别是劣弧ad的三等分点，boc=46，则aed的度数为 度【答案】69。【考点】圆周角定理。【分析】b、c分别是劣弧ad的三等分点，boc=46，aod=138（等弧所对圆心角相等）。aed=1382=69（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。例8. （2012江苏南通8分）如图，o的半径为17cm，弦abcd，ab30cm，cd16cm，圆心o位于ab、cd的上