数据的波动情况 方差.docx

20.2数据的波动(2) 厦门六中 卓越一、教学目标：1、 经历分析数据的探索过程，了解处理数据的方法;2、 体会刻画数据离散程度的意义，调整方案探究刻画数据波动程度的量;3、 了解数据方差的意义，对一些简单的数据波动问题，知道如何用方差刻画;4、 在探究方差公式的过程中发展发展统计观念，培养数据处理能力。二、教学重难点 重点：学会简单应用方差概念判断数据的稳定性。难点：方差的意义三、教学内容：（一）新课引入复习引入：上一节我们已学过用极差与散点图分析数据的波动情况。今天我们继续已经数据的波动。问题1：已知甲、乙两个同学6次飞镖的训练成绩分别如下：1,9,1,9,1,9； 0,4,5,4,5,9；问哪一个成绩更稳定？分别作出甲、乙两同学飞镖的训练成绩的散点图，如图所示： 生1：从散点图看出，甲同学的飞镖成绩较分散，乙同学的飞镖成绩较集中。 生2：甲的极差较小：9-1=8。但是极差大：10-1=9，所以乙同学的飞镖成绩较分散，而甲同学的飞镖成绩较集中。师：甲乙两个同学分别用不同的评价工具得出了两个相反的结论。为什么呢？将上述两组数据改造。【设计意图】利用学生熟悉的飞镖，进行情景创设，激发学生求知欲。问题2：已知两组数据：1,9,1,9,1,9； 1,3,4,5,9,9；这两组数据哪一组更稳定？生3：极差相等。但明显后一个数据稳定。师：极差在一定程度上可以反映波动情况，但是由于极差是由最大值和最小值确定的，其他值都不被考虑，因此用极差来表示数据的波动情况是不够全面的。说明研究波动性时，全面考虑数据是必要的。再改造数据。问题3：已知两组数据：0,4,7,4,6,9； 0,3,5,5,8,9，这两组数据哪一组更稳定？生4：极差相等，但从散点图不好看出哪个稳定。师：散点图只是依靠观察，带有个人的主观因素，当两组数据波动差异明显时，有效，但当两组数据的波动比较靠近时，会出现公说公有理婆说婆有理，显得不够精确。问题4.请总结用散点图与极差分析稳定性的优缺点。结论：在分析数据的稳定性时，极差比较方便，但不够全面；散点图比较直观，但不够精确。【设计意图】在使用散点图与极差两个工具得出相反的结论下，引发认知冲突，从而引导学生积极思考、主动探索。（二）合作探究师：考虑到散点图与极差各有利弊。因此，我们需要换一种新的方式来刻画数据的波动情况，量化研究，做到全面地考虑每个数据。问题5：如何全面的刻画数据的波动情况？师：百科全书对波动的解释是“波浪式地涨落或起伏式地运动”。这里的起与伏是相对于平衡位置来说的，比如，平时说的浪高10米，是指浪距离风平浪静时的水面高度为10米。类似地，每组数据都有平均数，每个数据与平均数都有“距离”，因此我们可以用这种“距离”来表示数据的波动情况。我们先看数据：（1）1,9,1,9,1,9, （2）0,4,5,4,5,9；前者的平均数是5，后者的平均数是4.5。方法1师：可不可以把与平均数的差都想加起来作为刻画波动的量？数据1中：=0数据2中：=0生：差值相加时，数据的正数与负数会被抵消，即“波动”被抵消了，无法反映数据的波动情况。 师：如何不让“波动”被抵消掉？把符号的影响消除就好，可以怎么消除？绝对值或者偶次方都可以。方法2师：可不可以把与平均数的距离都加起来作为刻画波动的量？数据1中：=24数据2中：=11生：绝对值相加时，数据会被累加，可以反映数据的波动情况。方法3师：可不可以把数据与平均数的差的平方都加起来作为刻画波动的量？数据1中：=96数据2中：=41.5生：差值的平方相加时，数据会被累加，可以反映数据的波动情况。数据（1）：191919-44-44-44444444161616161616数据（2）045459-4.5-0.50.5-0.50.54.54.50.50.50.50.54.520.250.250.250.2502520.25结论：方法2与3均可刻画波动。【设计意图】注重揭示概念的形成过程。数学概念的学习，不仅仅是一种知识的学习，也是数学思想方法的学习。如果仅是教给学生一个公式，背公式，并会算，似乎也可以解题，但这是死记硬背，知其然而不知其所以然。教师通过暴露定义的获得过程，把数学讲懂，使学生在头脑中形成一个具有“活性”的数学知识结构，促进学生数学能力的发展。师：仅是这样就足够了吗？我们来看以下两组数据，如果就利用这个公式，你计算出来的结果和两组数据的实际情况是怎样的？（1）9，5，7；（2）3，5，3，5，3，5，3，5，3，5.数据1中：=8数据2中：=10师：通过计算会发现虽然我们从数据上很直观看出来第一组波动更大，但是计算出来却发现第二组的值更大，是什么原因导致的？是数据的个数。因此我们还需要考虑数据的个数，如何在这个量中体现，我们可以象求平均数那样在前面除以个数n.师：平均数能说明所有数据的集中位置，极差也可以简单的刻画数据的波动情况，类似的，你能给出一个用来刻画波动的大小的数量吗？生：用数量刻画。【设计意图】平均数与方差的表达式中都有“除以n”，因此采用“类比”的方式，启发学生思维。通过类比，找到知识间的联系，有利于学生理解和掌握新知识。通过这样的教学设计，学生收获的不仅仅是数学知识，同时还收获了比知识本身更重要的数学方法：“类比思想”。（三）方差的定义我们把这个数叫做方差记作。记为指导学生看书。解释方差：方差的方就是平方，差指的是与平均数作差。在统计学中方差是用来刻画数据波动的一个量。从这个计算公式上来看，你认为方差越大，数据的波动应该越大还是越小？【设计意图】通过分析，学生经历了批判和相互推翻的过程，体验了方差概念的发现历程，从而正确把握方差概念，体会方差的内涵。现在，请大家再解答问题3。 （四）方差的应用例1.在一次芭蕾舞比赛中，甲乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖，参加表演的女演员的身高如下所示：甲163164164165165166166167乙163165165166166167168168哪个芭蕾舞团女演员身高更整齐？【分析】分析身高的整齐即分析数据的稳定性，因此可从散点图、极差、方差分析。但由于甲、乙两组数据变化不大，故不宜从散点图观察。【解法1】甲组最低163 cm，最高167 cm,:极差是1671634 cm；乙组最低163 cm，最高168 cm, 极差是1681635 cm，故甲组更整齐.【解法2】 。 故甲组更整齐.【点评】两种方法得出的答案相同。但解法2用了所有数据，更全面，比解法1好。【备用】例2.一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已知算得两个组的人均分数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由【分析】这是一道开放型问题，答案不唯一，但必须能自圆其说。1. 题目要求从所学过的统计知识分析，说明要从集中趋势与稳定性，及频数进行分析2.要确定竞赛成绩优、次的标准。【解答】 (1)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，说明两组的成绩总体相当。甲组成绩高于90分的人数为146=20(人)，乙组成绩高于90分的人数为1212=24(人)，说明乙组的高分段人数多。但低于5分的低分段人数乙组为5，甲组为1人，说明乙组的低分段人数多，即乙组同学的成绩两极分化严重。 (2) 2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(90-80)26(10080)2=172，同理可算出=256因为，所以乙组成绩不稳定，再次说明乙组同学的成绩两极分化严重。【点评】(1)解这类题目要用数据说话，即恰当的用平均数、众数、中位数、方差进行比较，进行必要的计算，而不能跟着感觉走。 (2)统计数字算出来后，要恰当地用生活语言作出评估结论，即把数学语言翻译成生活语言。 【设计意图】刻画数据的集中趋势与稳定性的统计数字分别有哪些，有何区别，如何应用，是本课的重点内容之一。本题引导学生把有关概念串起来，综合应用，从而使学生对所学概念有个全面、系统的理解。（五）课堂小结（六）布置作业教学反思数学概念大都有着各自产生的背景和发展演变的过程，它们并非凭空而来，而是其间凝聚着数学家的心血和智慧。正如莫里斯克莱因在古今数学思想的序言中所写：“课本中的斟字酌句的叙述，都不能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家们所经历的艰苦漫长的道路。”笔者在设计本节课教学的时遵循这一理念：对数学概念的教学，力争建构“生态课堂”，即以学生已有的认知基础为出发点，去创设能让学生经历概念的发生、发展过程的教学情境。本设计按照这样的思路展开。但是教然后知不足，我发现了如下几个问题：1讲课语言啰嗦繁复，不够生动、精炼，感觉准备得不够充分。所以，我以后要花时间多磨课，努力做到语不惊人死不休。2.课堂教学采用讲解法，教师导的多，学生被动接受的多，总体感觉比较传统，师生互