高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念课件 新人教版必修1.ppt

第一章 1 2函数及其表示 1 2 1函数的概念 1 理解函数的概念 了解构成函数的三要素 2 能正确使用区间表示数集 3 会求一些简单函数的定义域 函数值 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一函数的概念 1 函数的定义 设a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的 在集合b中都有和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作 2 函数的定义域与值域 函数y f x 中 x叫做 叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做 函数值的集合叫做函数的值域 显然 值域是集合b的 答案 子集 任意一个数x 唯一确定的数f x y f x x a 自变量 x的取值范围a 函数值 f x x a 知识点二函数的三要素函数的三个要素 定义域 对应关系 值域 1 定义域定义域是自变量x的取值集合 有时函数的定义域可以省略 如果未加特殊说明 函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合 2 对应关系对应关系f是核心 它是对自变量x进行 操作 的 程序 或者 方法 是连接x与y的纽带 按照这一 程序 从定义域集合a中任取一个x 可得到值域 y y f x 且x a 中唯一确定的y与之对应 3 值域函数的值域是函数值的集合 通常一个函数的定义域和对应关系确定了 那么它的值域也会随之确定 思考 1 符号 y f x 中 f 的意义是什么 答符号 y f x 中 f 表示对应关系 在不同的具体函数中 f 的含义不一样 例如y f x x2中 f 表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方 从而f a a2 f x 1 x 1 2 而函数y f x 2x中 f 表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍 从而f a 2a f x 1 2 x 1 答案 2 有人认为 y f x 表示的是 y等于f与x的乘积 这种看法对吗 答这种看法不对 符号y f x 是 y是x的函数 的数学表示 应理解为x是自变量 它是关系所施加的对象 f是对应关系 它可以是一个或几个解析式 可以是图象 表格 也可以是文字描述 y是自变量的函数 当x允许取某一具体值时 相应的y值为与该自变量值对应的函数值 y f x 仅仅是函数符号 不表示 y等于f与x的乘积 在研究函数时 除用符号f x 外 还常用g x f x g x 等来表示函数 3 f x 与f a 有何区别与联系 答f x 与f a 的区别与联系 f a 表示当x a时 函数f x 的值 是一个常量 而f x 是自变量x的函数 一般情况下 它是一个变量 f a 是f x 的一个特殊值 如一次函数f x 3x 4 当x 8时 f 8 3 8 4 28是一个常数 答案 答案 知识点三函数相等如果两个函数的相同 并且完全一致 我们就称这两个函数相等 思考函数y x2 x与函数y t2 t相等吗 答相等 这两个函数定义域相同 都是实数集r 而且这两个函数的对应关系也相同 因此这两个函数相等 函数相等与否与自变量用什么字母没有关系 只是习惯上自变量用x表示 对应关系 定义域 知识点四区间概念区间的定义 名称 符号及数轴表示如下表 答案 返回 思考 1 对于区间 a b 而言 区间端点a b应满足什么关系 答若a b为区间的左右端点 则a b 2 区间是数集的另一种表示方法 那么任何数集都能用区间表示吗 答不是任何数集都能用区间表示 如集合 0 就不能用区间表示 3 是数吗 如何正确使用 答 读作 无穷大 是一个符号 不是数 以 或 作为区间一端时 这一端必须是小括号 题型探究重点突破 题型一函数概念的应用例1设m x 0 x 2 n y 0 y 2 给出下列四个图形 其中能表示从集合m到集合n的函数关系的有 a 0个b 1个c 2个d 3个解析 错 x 2时 在n中无元素与之对应 不满足任意性 对 同时满足任意性与唯一性 错 x 2时 对应元素y 3 n 不满足任意性 错 x 1时 在n中有两个元素与之对应 不满足唯一性 解析答案 反思与感悟 b 1 判断一个对应关系是不是函数关系的方法 1 a b必须都是非空数集 2 a中任意一个数在b中必须有并且是唯一的实数和它对应 注意 a中元素无剩余 b中元素允许有剩余 2 函数的定义中 任意一个x 与 有唯一确定的y 说明函数中两变量x y的对应关系是 一对一 或者是 多对一 而不能是 一对多 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1下列对应关系式中是a到b的函数的是 a a r b r x2 y2 1b a 1 0 1 b 1 2 f x y x 1 对于b 符合函数的定义 对于c 2 a 但在集合b中找不到与之相对应的数 故不符合 对于d 1 a 但在集合b中找不到与之相对应的数 故不符合 b 解析答案 题型二判断是否为同一函数例2判断下列函数是否为同一函数 解f x 的定义域中不含有元素0 而g x 的定义域为r 定义域不相同 所以二者不是同一函数 解f x 的定义域为 0 而g x 的定义域为 1 0 定义域不相同 所以二者不是同一函数 解析答案 反思与感悟 3 f x x2 2x 1与g t t2 2t 1 解尽管两个函数的自变量一个用x表示 另一个用t表示 但它们的定义域相同 对应关系相同 对定义域内同一个自变量 根据表达式 都能得到同一函数值 因此二者为同一函数 4 f x 1与g x x0 x 0 解f x 的定义域为r g x 的定义域为 x x 0 因此二者不是同一函数 反思与感悟 判断两个函数是否相同 只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同 1 定义域和对应关系都相同 则两个函数相同 2 定义域不同 则两个函数不同 3 对应关系不同 则两个函数不同 4 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 也不一定相同 例如y x和y 2x 1的定义域和值域都是r 但不是同一函数 5 两个函数是否相同 与自变量用什么字母表示无关 跟踪训练2下列各组函数中 表示同一函数的是 c 答案 解析答案 反思与感悟 题型三求函数的定义域例3求下列函数的定义域 所以函数的定义域为 x x 1 且x 1 解要使函数有意义 必须满足 x x 0 即 x x x 0 函数的定义域为 x x 0 反思与感悟 1 当函数是由解析式给出时 求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合 必须考虑下列各种情形 1 负数不能开偶次方 所以偶次根号下的式子大于或等于零 2 分式中分母不能为0 3 零次幂的底数不为0 4 如果f x 由几部分构成 那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合 5 如果函数有实际背景 那么除符合上述要求外 还要符合实际情况 2 求函数的定义域 一般是转化为解不等式或不等式组的问题 注意定义域是一个集合 其结果必须用集合或区间来表示 解析答案 跟踪训练3求下列函数的定义域 解由于00无意义 故x 1 0 即x 1 又x 2 0 x 2 所以x 2且x 1 解析答案 解析答案 反思与感悟 题型四求函数值 1 求f 2 g 2 的值 又 g x x2 2 g 2 22 2 6 2 求f g 3 的值 解 g 3 32 2 11 反思与感悟 求函数值时 首先要确定出函数的对应关系f的具体含义 然后将变量代入解析式计算 对于f g x 型的求值 按 由内到外 的顺序进行 要注意f g x 与g f x 的区别 解析答案 1 求f 2 2 求f f 1 抽象函数定义域理解错误致误 易错点 解析答案 易错警示 例5已知函数f 3x 1 的定义域为 1 7 求函数f x 的定义域 错解因为f 3x 1 的定义域为 1 7 即1 3x 1 7 解得0 x 2 所以f x 的定义域为 0 2 正解令3x 1 t 则4 t 22 即f t 中 t 4 22 故f x 的定义域为 4 22 易错警示 解析答案 返回 跟踪训练5若f x 的定义域为 3 5 求 x f x f x 的定义域 解得 3 x 3 所以函数 x 的定义域为 3 3 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 下列图象中能表示函数y f x 图象的是 解析由函数的概念知答案为b b 1 2 3 4 5 解析答案 2 下列各组函数中表示同一函数的是 d 解析选项a b c中两个函数的定义域均不相同 故选d 1 2 3 4 5 解析答案 x x 1且x 2 解析答案 1 2 3 4 5 4 函数f x 对任意自然数x满足f x 1 f x 1 f 0 1 则f 5 解析f 1 f 0 1 1 1 2 f 2 f 1 1 3 f 3 f 2 1 4 f 4 f 3 1 5 f 5 f 4 1 6 6 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知函数f x x2 x 1 解f 2 22 2 1 5 2 若f x 5 求x的值 解 f x x2 x 1 5 x2 x 6 0 x 2 或x 3 课堂小结 1 对函数相等的概念的理解 1 函数有三个要素 定义域 值域 对应关系 函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域 因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时 这两个函数才是同一个函数 2 定义域和值域都