九年级数学上册 1.2 第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用课件 （新版）湘教版.ppt

1 2反比例函数的图象与性质 第1章反比例函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第3课时反比例函数图象与性质的综合应用 学习目标 1 归纳总结反比例函数的图象与性质 重点 2 理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义 重点 难点 观察与思考 导入新课 x 问题如图所示 对于反比例函数 在其图象上任取一点p 过p点作轴于q点并连接op 试着猜想的面积与反比例函数的关系 并探讨反比例函数中k值的几何意义 想一想 讲授新课 思考 已知反比例函数中的某个点的坐标 可以确定该反比例函数的解析式吗 例1 已知反比例函数的图象经过点p 2 4 1 求k的值 并写出该函数的表达式 2 判断点a 2 4 b 3 5 是否在这个函数的图象上 3 这个函数的图象位于哪些象限 在每个象限内 函数值y随自变量x的增大如何变化 解 1 因为反比例函数的图象经过点p 2 4 即点p的坐标满足这一函数表达式 因而 解得k 8 因此 这个反比例函数的表达式为 2 把点a b的坐标分别代入 可知点a的坐标满足函数表达式 点b的坐标不满足函数表达式 所以点a在这个函数的图象上 点b不在这个函数的图象上 用待定系数法确定反比例函数的解析式 已知反比例函数上一点的坐标 要求解析式 只要把这点的坐标代入即可求得 3 因为k 0 所以这个反比例函数的图象位于第一 三象限 在每个象限内 函数值y随自变量x的增大而减小 方法归纳 合作探究 1 在反比例函数的图象上分别取点p q向x轴 y轴作垂线 围成面积分别为s1 s2的矩形 填写表格 4 4 s1 s2 s1 s2 k q p s1 s2 2 若在反比例函数中也用同样的方法分别取p q两点 填写表格 4 4 s1 s2 s1 s2 k s1 s2 由前面的探究过程 可以猜想 若点p是图象上的任意一点 作pa垂直于x轴 作pb垂直于y轴 矩形aobp的面积与k的关系是s矩形aobp k 合理猜想 s 我们就k 0的情况给出证明 设点p的坐标为 a b a b 点p a b 在函数的图象上 即ab k s矩形aobp pb pa a b ab k 若点p在第二象限 则a0 若点p在第四象限 则a 0 b 0 s矩形aobp pb pa a b ab k 综上 s矩形aobp k 自己尝试证明k 0的情况 方法归纳 点q是其图象上的任意一点 作qa垂直于y轴 作qb垂直于x轴 矩形aobq的面积与k的关系是s矩形aobq 推理 qao与 qbo的面积和k的关系是s qao s qbo q 对于反比例函数 a b k 反比例函数的面积不变性 典例精析 例2 如图 在函数的图像上有三点a b c 过这三点分别向x轴 y轴作垂线 过每一点所作的两条垂线与x轴 y轴围成的矩形的面积分别为sa sb sc 则 a sa sb scb sa sb scc sa sb scd sa sc sb c 例3 如图 过反比例函数图象上的一点p 作pa x轴于a 若 poa的面积为6 则k 12 分析 先设点a的坐标 然后用a的坐标表示 aoc的面积 进而求出k的值 解 a在反比例函数的解析式上 反比例函数的表达式为 方法归纳 过双曲线上任意一点与原点所连的线段 坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于的一半 问题 回顾一下前两课中所学的反比例函数的图象与性质 并完成下表 图象位于第一 三象限 图象位于第二 四象限 在每个象限内 y随x的增大而减小 在每个象限内 y随x的增大而增大 例5 下图是反比例函数的图象 根据图象 回答下列问题 1 k的取值范围是k 0还是k 0 说明理由 2 如果点a 3 y1 b 2 y2 是该函数图象上的两点 试比较y1 y2的大小 解 1 由图可知 反比例函数图象的两支曲线分别位于第一 三象限内 在每个象限内 函数值y随自变量x的增大而减小 因此 k 0 2 因为点a 3 y1 b 2 y2 是该图象上的两点 且 3 0 2 0 所以点a b都位于第三象限 又因为 3 2 由反比例函数图象的性质可知 y1 y2 问题 回顾正比例函数与反比例函数的性质 完成下表 过原点的直线 双曲线 图象过一 三象限y随x的增大而增大 图象位于一 三象限在每个象限里y随x的增大而减小 图象过二 四象限y随x的增大而减小 图象位于二 四象限在每个象限里y随x的增大而增大 例6 在同一直角坐标系中 函数与的图象大致是 d x y o x y y x b x y o d o o 例7 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点p 3 4 试求出它们的表达式 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象 由于这两个函数的图象交于点p 3 4 则点p 3 4 是这两个函数图象上的点 即点p的坐标分别满足这两个表达式 因此 解得 解 设正比例函数 反比例函数的表达式分别为和 其中k1 k2为常数 且均不为零 因此 这两个函数表达式分别为和 它们的图象如图所示 p 例8 如图 一次函数y ax b的图象与反比例函数的图象交于m n两点 1 求反比例函数与一次函数的表达式 2 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围 解 1 由反比例函数定义可知k 1 4 4 y 而m 2 m 在反比例函数图象上 m 2 m 2 2 即在一次函数图象上有 y 2x 2 2 由图中观察可知 满足题设x的取值范围为x 1或0 x 2 1 如图 函数y x与函数的图象相交于a b两点 过点a b分别作y轴的垂线 垂足分别为c d 则四边形acbd的面积为 a 2b 4c 6d 8 当堂练习 d 解析 过反比例函数图象上的点a b分别作y轴的垂线 垂足分别为c d k 2 由直线和双曲线的对称性可知oc od ac bd 2 四边形acbd的面积为 4 2 8 故选d 2 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交于a x1 y1 b x2 y2 两点 那么 x2 x1 y2 y1 的值为 24 3 如图所示 反比例函数 k 0 的图象上有一点a ab x轴交y轴于点b abo的面积是1 则反比例函数的表达式是 a b c d y x o a b c 4 已知直线l平行于直线y 2x 1 并与反比例函数的图象交于点a a 1 求直线l的函数表达式 解 反比例函数的图象过点a a 1 a 1 点a的坐标为 1 1 直线l平行于直线y 2x 1 可