【5年高考3年模拟】（新课标版）高考数学真题分类汇编 8.4 直线、平面垂直的判定和性质 理 (1).doc

8.4 直线、平面垂直的判定和性质考点垂直的判定与性质1.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()a.l1l4 b.l1l4c.l1与l4既不垂直也不平行 d.l1与l4的位置关系不确定答案d2.(2014课标,19,12分)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,侧面bb1c1c为菱形,abb1c.(1)证明:ac=ab1;(2)若acab1,cbb1=60,ab=bc,求二面角a-a1b1-c1的余弦值.解析(1)连结bc1,交b1c于点o,连结ao.因为侧面bb1c1c为菱形,所以b1cbc1,且o为b1c及bc1的中点.又abb1c,所以b1c平面abo.由于ao平面abo,故b1cao.又b1o=co,故ac=ab1.(2)因为acab1,且o为b1c的中点,所以ao=co.又因为ab=bc,所以boaboc.故oaob,从而oa,ob,ob1两两互相垂直.以o为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.因为cbb1=60,所以cbb1为等边三角形,又ab=bc,则a,b(1,0,0),b1,c.=,=,=.设n=(x,y,z)是平面aa1b1的法向量,则即所以可取n=(1,).设m是平面a1b1c1的法向量,则同理可取m=(1,-,).则cos=.所以二面角a-a1b1-c1的余弦值为.3.(2014福建,17,13分)在平面四边形abcd中,ab=bd=cd=1,abbd,cdbd.将abd沿bd折起,使得平面abd平面bcd,如图.(1)求证:abcd;(2)若m为ad中点,求直线ad与平面mbc所成角的正弦值.解析(1)证明:平面abd平面bcd,平面abd平面bcd=bd,ab平面abd,abbd,ab平面bcd.又cd平面bcd,abcd.(2)过点b在平面bcd内作bebd,如图.由(1)知ab平面bcd,be平面bcd,bd平面bcd,abbe,abbd.以b为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得b(0,0,0),c(1,1,0),d(0,1,0),a(0,0,1),m,则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).设平面mbc的法向量为n=(x0,y0,z0),则即取z0=1,得平面mbc的一个法向量为n=(1,-1,1).设直线ad与平面mbc所成角为,则sin =|cos|=,即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为.4.(2014广东,18,13分)如图,四边形abcd为正方形,pd平面abcd,dpc=30,afpc于点f,fecd,交pd于点e.(1)证明:cf平面adf;(2)求二面角d-af-e的余弦值.解析(1)证明:pd平面abcd,pdad,又cdad,pdcd=d,ad平面pcd,adpc,又afpc,afad=a,pc平面adf,即cf平面adf.(2)解法一:设ab=1,则rtpdc中,cd=1,dpc=30,pc=2,pd=,由(1)知cfdf,df=,cf=,又fecd,=,de=,同理,ef=cd=,如图所示,以d为原点,建立空间直角坐标系,则a(0,0,1),e,f,p(,0,0),c(0,1,0).设m=(x,y,z)是平面aef的法向量,则又令x=4,得z=,故m=(4,0,),由(1)知平面adf的一个法向量为=(-,1,0),设二面角d-af-e的平面角为,可知为锐角,cos =|cos|=,故二面角d-af-e的余弦值为.解法二:设ab=1,cf平面adf,cfdf.在cfd中,df=,cdad,cdpd,cd平面ade.又efcd,ef平面ade.efae,在def中,de=,ef=,在ade中,ae=,在adf中,af=.由va-def=sadeef=sadfhe-adf,解得he-adf=,设aef的边af上的高为h,由saef=efae=afh,解得h=,设二面角d-af-e的平面角为.则sin =,cos =.5.(2014辽宁,19,12分)如图,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120,e,f分别为ac,dc的中点.(1)求证:efbc;(2)求二面角e-bf-c的正弦值.解析(1)证法一:过e作eobc,垂足为o,连of.图1由abcdbc可证出eocfoc.所以eoc=foc=,即fobc.又eobc,因此bc面efo.又ef面efo,所以efbc.证法二:由题意,以b为坐标原点,在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴,bc所在直线为y轴,在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系,易得b(0,0,0),a(0,-1,),d(,-1,0),c(0,2,0),因而e,f,所以,=,=(0,2,0),因此=0.从而,所以efbc.图2(2)解法一:在图1中,过o作ogbf,垂足为g,连eg.由平面abc平面bdc,从而eo面bdc,又ogbf,由三垂线定理知egbf.因此ego为二面角e-bf-c的平面角.在eoc中,eo=ec=bccos 30=,由bgobfc知,og=fc=,因此tanego=2,从而sinego=,即二面角e-bf-c的正弦值为.解法二:在图2中,平面bfc的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面bef的法向量为n2=(x,y,z),又=,=,由得其中一个n2=(1,-,1).设二面角e-bf-c的大小为,且由题意知为锐角,则cos =|cos|=,因此sin =,即所求二面角的正弦值为.6.(2014湖南,19,12分)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长都相等,acbd=o,a1c1b1d1=o1,四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形.(1)证明:o1o底面abcd;(2)若cba=60,求二面角c1-ob1-d的余弦值.解析(1)证明:因为四边形acc1a1为矩形,所以cc1ac.同理dd1bd,因为cc1dd1,所以cc1bd,而acbd=o,因此cc1底面abcd.由题设知,o1oc1c,故o1o底面abcd,(2)解法一:如图,过o1作o1hob1于h,连结hc1.由(1)知,o1o底面abcd,所以o1o底面a1b1c1d1,于是o1oa1c1.又因为四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长都相等,所以四边形a1b1c1d1是菱形,因此a1c1b1d1,从而a1c1平面bdd1b1,所以a1c1ob1,于是ob1平面o1hc1,进而ob1c1h,故c1ho1是二面角c1-ob1-d的平面角,不妨设ab=2,因为cba=60,所以ob=,oc=1,ob1=.在rtoo1b1中,易知o1h=2,而o1c1=1,于是c1h=.故cosc1ho1=.即二面角c1-ob1-d的余弦值为.解法二:因为四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长都相等,所以四边形abcd是菱形,因此acbd,又由(1)知o1o底面abcd,从而ob、oc、oo1两两垂直.如图,以o为坐标原点,ob,oc,oo1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系o-xyz,不妨设ab=2,因为cba=60,所以ob=,oc=1,于是相关各点的坐标为o(0,0,0),b1(,0,2),c1(0,1,2).易知,n1=(0,1,0)是平面bdd1b1的一个法向量.设n2=(x,y,z)是平面ob1c1的法向量,则即取z=-,则x=2,y=2,所以n2=(2,2,-),设二面角c1-ob1-d的大小为,易知是锐角,于是cos =|cos|=.故二面角c1-ob1-d的余弦值为.7.(2014江西,19,12分)如图,四棱锥p-abcd中,abcd为矩形,平面pad平面abcd.(1)求证:abpd;(2)若bpc=90,pb=,pc=2,问ab为何值时,四棱锥p-abcd的体积最大?并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值.解析(1)证明:abcd为矩形,故abad.又平面pad平面abcd,平面pad平面abcd=ad,所以ab平面pad,故abpd.(2)过p作ad的垂线,垂足为o,过o作bc的垂线,垂足为g,连结pg.故po平面abcd,bc平面pog,bcpg.在rtbpc中,pg=,gc=,bg=.设ab=m,则op=,故四棱锥p-abcd的体积v=m=.因为m=,故当m=,即ab=时,四棱锥p-abcd的体积最大.此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为o(0,0,0),b,c,d,p.故=,=(0,0),=.设平面bpc的法向量为n1=(x,y,1),则由n1,n1得解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面dpc的法向量为n2=.从而平面bpc与平面dpc夹角的余弦值为cos =.8.(2014浙江,20,15分)如图,在四棱锥a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=.(1)证明:de平面acd;(2)求二面角b-ad-e的大小.解析(1)证明:在直角梯形bcde中,由de=be=1,cd=2,得bd=bc=,由ac=,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc,又平面abc平面bcde,从而ac平面bcde,所以acde.又dedc,从而de平面acd.(2)解法一:作bfad,与ad交于点f,过点f作fgde,与ae交于点g,连结bg,由(1)知dead,则fgad.所以bfg是二面角b-ad-e的平面角.在直角梯形bcde中,由cd2=bc2+bd2,得bdbc,又平面abc平面bcde,得bd平面abc,从而bdab.由于ac平面bcde,得accd.在rtacd中,由dc=2,ac=,得ad=.在rtaed中,由ed=1,ad=,得ae=.在rtabd中,由bd=,ab=2,ad=,得bf=,af=ad.从而gf=.在abe,abg中,利用余弦定理分别可得cosbae=,bc=.在bfg中,cosbfg=.所以,bfg=,即二面角b-ad-e的大小是.解法二:以d为原点,分别以射线de,dc为x轴,y轴的正半