【三维设计】高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第八章 抛物线教学案 新人教A版 .doc

抛_物_线知识能否忆起1抛物线定义平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形范围x0，yrx0，yr对称轴x轴顶点坐标原点o(0,0)焦点坐标准线方程xx离心率e1标准方程x22py(p0)x22py(p0)图形范围y0，xry0，xr对称轴y轴顶点坐标原点o(0,0)焦点坐标准线方程yy离心率e1小题能否全取1(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是()ax212ybx212ycy212x dy212x解析：选a3，p6，x212y.2(教材习题改编)抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是()a. bc8 d8解析：选b抛物线的标准方程为x2y.则a0且2，得a.3已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，则弦ab的长为()a4 b6c10 d16解析：选d设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则依题意得焦点f(0，1)，准线方程是y1，直线l：yx1，由消去x得y214y10，y1y214，|ab|af|bf|(y11)(y21)(y1y2)216.4(2012郑州模拟)已知斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且与y轴相交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_解析：依题意得，|of|，又直线l的斜率为2，可知|ao|2|of|，aof的面积等于|ao|of|4，则a264.又a0，所以a8，该抛物线的方程是y28x.答案：y28x5设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是_解析：其准线方程为x2，又由点p到y轴的距离为4，则p点横坐标xp4，由定义知|pf|xp6.答案：61.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点f到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助2用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用3由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可抛物线的定义及应用典题导入例1(1)(2011辽宁高考)已知f是拋物线y2x的焦点，a，b是该拋物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为()a.b1c. d.(2)(2012曲阜师大附中质检)在抛物线c：y2x2上有一点p，若它到点a(1,3)的距离与它到抛物线c的焦点的距离之和最小，则点p的坐标是()a(2,1) b(1,2)c(2,1) d(1,2)自主解答(1)如图，由抛物线的定义知，|am|bn|af|bf|3，|cd|，所以中点c的横坐标为.(2)由题知点a在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点p，使得该点到点a与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点p是直线x1与抛物线的交点，故所求p点的坐标是(1,2)答案(1)c(2)b由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解以题试法1(2012安徽高考)过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点若|af|3，则|bf|_.解析：由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又|af|3，由抛物线定义知，点a到准线x1的距离为3，点a的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知，y2，a(2,2)，直线af的方程为y2(x1)又解得或由图知，点b的坐标为，|bf|(1).答案：抛物线的标准方程及几何性质典题导入例2(1)(2012山东高考)已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py (p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2ybx2ycx28y dx216y(2)(2012四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|()a2 b2c4 d2自主解答(1)双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点m的坐标是(2，2)，|om|2.答案(1)d(2)b由题悟法1求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式2研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用以题试法2(2012南京模拟)已知抛物线x24y的焦点为f，准线与y轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且|nf|mn|，则nmf_.()解析：过n作准线的垂线，垂足为h，则|nf|nh|mn|，如图cos mnh，mnh，nmf.答案：直线与抛物线的位置关系典题导入例3(2012福建高考)如图，等边三角形oab的边长为8，且其三个顶点均在抛物线e：x22py(p0)上(1)求抛物线e的方程；(2)设动直线l与抛物线e相切于点p，与直线y1相交于点q.证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点自主解答(1)依题意，|ob|8，boy30.设b(x，y)，则x|ob|sin 304，y|ob|cos 3012.因为点b(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线e的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设p(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以q为.设m(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1)由题悟法1设抛物线方程为y22px(p0)，直线axbyc0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|ab|x1x2p(为ab的倾斜角)(3)saob(为ab的倾斜角)(4)为定值.(5)以ab为直径的圆与准线相切(6)以af或bf为直径的圆与y轴相切(7)cfd90.以题试法3(2012泉州模拟)如图，点o为坐标原点，直线l经过抛物线c：y24x的焦点f.(1)若点o到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)设点a是直线l与抛物线c在第一象限的交点点b是以点f为圆心，|fa|为半径的圆与x轴的交点，试判断ab与抛物线c的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点f(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k.故直线l的方程为：y(x1)，即xy10.(2)直线ab与抛物线相切，证明如下：设a(x0，y0)，则y4x0.因为|bf|af|x01，所以b(x0,0)所以直线ab的方程为：y(xx0)，整理得：xx0把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线ab与抛物线相切1(2012济南模拟)抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()ax24yby24xcx24y dy24x解析：选a由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.抛物线焦点坐标为(0，)，抛物线方程为x24y.2(2012东北三校联考)若抛物线y22px(p0)上一点p到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()a2 b18c2或18 d4或16解析：选c设p(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.3(2013大同模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为()a2 b1c. d.解析：选a注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3,0)，半径为4的圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2.4(2012郑州模拟)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()a.或 b.或c.或 d.解析：选b由焦点弦长公式|ab|得12，所以sin ，所以或.5(2012唐山模拟)抛物线y22px的焦点为f，点a、b、c在此抛物线上，点a坐标为(1,2)若点f恰为abc的重心，则直线bc的方程为()axy0 bxy0c2xy10 d2xy10解析：选c点a在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点f(1,0)设点b(x1，y1)，点c(x2，y2)，则有y4x1，y4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kbc.又0，y1y22，kbc2.又1，x1x22，bc中点为(1，1)，则bc所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.6(2013湖北模拟)已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于a、b两点，且oaob，odab于d.若动点d的坐标满足方程x2y24x0，则m()a1 b2c3 d4解析：选d设点d(a，b)，则由odab于d，得则b，abk；又动点d的坐标满足方程x2y24x0，即a2b24a0，将abk代入上式，得b2k2b24bk0，即bk2b4k0，4k0，又k0，则(1k2)(4m)0，因此m4.7(2012乌鲁木齐模拟)过抛物线y24x的焦点f的直线交y轴于点a，抛物线上有一点b满足, (o为坐标原点)，则bof的面积是_解析：由题可知f(1,0)，可设过焦点f的直线方程为yk(x1)(可知k存在)，则a(0，k)，b(1，k)，由点b在抛物线上，得k24，k2，即b(1，2)，sbof|of|yb|121.答案：18(2012渭南模拟)已知抛物线c：yx2，则过抛物线焦点f且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为_解析：由题意得l的方程为yx1，即x2(y1)代入抛物线方程得y(y1)2，即y23y10.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1y2p5.答案：59(2012广州模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x相交于a，b两点，f为抛物线的焦点，若|fa|2|fb|，则k的值为_解析：直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点f(2,0)，由可得ky28y16k0，因为|fa|2|fb|，所以ya2yb，则yayb2ybyb，所以yb，yayb16，所以2y16，即yb2，又k0，故k2.答案：210已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)的准线的距离为.点m(t,1)是c上的定点，a，b是c上的两动点，且线段ab被直线om平分(1)求p，t的值；(2)求abp面积的最大值解：(1)由题意知得(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段ab的中点为q(m，m)，设直线ab的斜率为k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线ab的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|ab| |y1y2|.设点p到直线ab的距离为d，则d，设abp的面积为s，则s|ab|d|12(mm2)|.由4m4m20，得0m1.令u，0u，则su2u3，s(u)16u2.由s(u)0，得u，所以s(u)maxs.故abp面积的最大值为.1(2012北京高考)在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y24x的焦点f，且与该抛物线相交于a，b两点，其中点a在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为_解析：直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得ya2(yb0，舍去)，故oaf的面积为12.答案：2(2012东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点a，a点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设m(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过m作抛物线的两条相互垂直的弦mp，mq，求证：pq恒过定点(x02，y0)；(3)直线xmy10与抛物线交于e，f两点，问在抛物线上是否存在点n，使得nef为以ef为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由解：(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由抛物线的定义可得1，即p1，所以该抛物线的方程为y22x. (2)由题意知直线pq与x轴不平行，设直线pq的方程为xmyn，代入y22x得y22my2n0.所以y1y22m，y1y22n，其中y1，y2分别是p，q的纵坐标，x1，x2分别是p，q的横坐标因为mpmq，所以kmpkmq1.即1，又由x1，x2，x0，代入上式得1，所以(y1y0)(y2y0)4.即y1y2(y1y2)y0y40，所以(2n