【三维设计】高考数学一轮复习 第7节 立体几何中的向量方法我来演练.doc

【三维设计】2013高考数学一轮复习 第7节 立体几何中的向量方法我来演练一、选择题1若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为 ()a10b10c. d解析：，ab0.x10.答案：b2已知平面内有一个点a(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点p中，在平面内的是()a(1，1,1) b.c. d.解析：对于选项a，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除a；对于选项b，则n(3,1,2)0，验证可知c、d均不满足n0.答案：b3(2012马鞍山联考)长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成的角的余弦值为()a. b.c. d.解析：如图，以d为坐标原点，建系如图，则b(1,2,0)，c1(0,2,2)，a(1,0,0)，e(0,2,1)，(1,0,2)，(1,2,1)则cos，故异面直线bc1与ae所成的角的余弦值为.答案：b4如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a. b.c2 d.解析：如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)，d(1,0,1)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面b1cd的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60，得，即a，故ad.答案：a5.已知四棱柱abcda1b1c1d1的侧棱aa1垂直于底面，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc，adabaa12bc，e为dd1的中点，f为a1d的中点则直线ef与平面a1cd所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：ab，ad，aa1两两垂直，故以ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设bc1，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，c(2,1,0)，d(0,2,0)，e(0,2,1)，f(0,1,1)，(0,1,0)，设平面a1cd的一个法向量为n(1，y，z)，则，故n(1,2,2)，则sin|cosn，|，故直线ef与平面a1cd所成的角的正弦值为.答案：c二、填空题6已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上当apc最大时，三棱锥pabc的体积为_解析：以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设，可得p(，)，再由cosapc可求得当时，apc最大，故vpabc11.答案：7空间中有两个正方形abcd与adef，其公共边为ad，设m，n分别是bd，ae的中点，给出如下命题：admn；mn平面cde；mnce；mn，ce异面，则所有的正确命题为_解析：如图所示，设a，b，c，则|a|c|且abcb0. (bc)(ab)(ca)，(ca)b(cbab)0，故admn；ca2 ，故mnce，故mn平面cde，故正确；一定不正确答案：三、解答题8.(2011福建高考改编)如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd.四边形abcd中，abad，abad4，cd，cda45.(1)求证：平面pab平面pad；(2)设abap.若直线pb与平面pcd所成的角为30，求线段ab的长解：(1)证明：因为pa平面abcd，ab平面abcd，所以paab.又abad，paada，所以ab平面pad.又ab平面pab，所以平面pab平面pad.(2)以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz(如图)在平面abcd内，作ceab交ad于点e，则cead.在rtcde中，decdcos451，cecdsin451.设abapt，则b(t,0,0)，p(0,0，t)由abad4得ad4t，所以e(0,3t,0)，c(1,3t,0)，d(0,4t,0)，(1,1,0)，(0,4t，t)设平面pcd的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面pcd的一个法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直线pb与平面pcd所成的角为30得cos60|，即，解得t或t4(舍去，因为ad4t0)，所以ab.9.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad4，ab2，以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m.(1)求证：平面abm平面pcd；(2)求直线pc与平面abm的夹角的正弦值解：(1)证明：依题设，m在以bd为直径的球面上，则bmpd，因为pa平面abcd，则paab，又abad，paada，所以ab平面pad，则abpd.又bmabb，因此有pd平面abm.因为pd 平面pcd，所以平面abm平面pcd.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，p(0,0,4)，b(2,0,0)，c(2,4,0)，d(0,4,0)，m(0,2,2)，所以(2,4，4)，设平面abm的一个法向量n(x，y，z)，由n，n可得：令z1，则y1，即n(0,1，1)设直线pc与平面abm的夹角为，则sin|，故所求角的正弦值为.10(2012北京东城区模拟)正三角形abc的边长为4，cd是ab边上的高，e、f分别是ac、bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角adcb.(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；(2)求二面角edfc的余弦值；(3)在线段bc上是否存在一点p，使apde？证明你的结论解：(1)ab平面def.在abc中，e、f分别是ac、bc的中点，efab，又ab 平面def，ef 平面def，ab平面def.(2)由题易知，ad、db、dc两两垂直，则以点d为坐标原点，直线db、dc、da分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则d(0,0,0)，a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)易知平面cdf的一个法向量为(0,0,2)，设平面edf的一个法向量为n(x，y，z)，则，即，令y，则n(3，3)cosn，二面角edfc的余弦值为.(