十二届八年级中环杯决赛答案.pdf

第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 1 6 第十第十二二届届 中环杯中环杯 中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 八八年级年级决赛决赛答案答案 一 填空题一 填空题 1 答案 503 2013 解答 容易知道 1 111 11 2242 k S k kkk 所以 1352011 111 111 11111 1 434 354 574 20112013 11 1 42013 503 2013 SSSS 2 答案 20009 解答 设 20002001 2000 2001ab 则一方面 2000200120012001 101020010 abab A abab 另一方面 10 2001 102001020010 120009 aa A abab 3 答案 1 3 解答 由题意得 BFBF 90B FC 即 BB F 是等腰直角三角形 所以 BOF 和 B OF 都是等腰直角三角形 45OBF 因为75ABC 所以 30EBO 在Rt BOE 中 1 3EO BO 所以 1 3EO FO 4 答案 3 解答 考虑到最不利情况 如果乙写出了12 那么甲最少要有一个数比12小且 和12互质 考察11 13 172431 那么只要甲写出11 13 17这三个数 一定能保 证有一个数满足比乙写的小而且和乙互质 5 答案 2 3 解答 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 2 6 3 2 33 33 3 33333 333 33 3 333333 1 32 32 32964 92 64 32 92 64964 6 y 令 77 66 22 m 则 2 7777 66266 2222 5 72 2 12 m 所以 77 2 3 22 yy 6 答案 6 解答 因为 1229 02 303030 aaa 所以 1229 303030 aaa 等于0或1 由题设知 其中有18个式子等于1 因 此有 1112 0 1 3030 aa 即有 111219 01 12183019610 10 6 30303 aaaaa 7 答案 15 8 解答 如图 1 11 22 ABCDBADCA SSSDE ABDF AC 由角平分线性质我们知道 DEDF 所以 1 4 2 ABC SDEABACDE 而 32213 33 23346 ABCABC DE ADDESS AD 所以接下来我们只要求出 ABC S 问题就搞定了 如图2 容易知道 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 3 6 33153 33 22222 ABC CEACSAB CE 所以 335315 3 66228 ABC ADS F E D C B A E D C B A 图 1 图 2 8 答案 36 解答 通过奇偶性分析 易知2y 此时 2120 x xz 即 2 21201012xxzzxx z为质数 101x 此时11 23xz 9 答案 当0b 时 没有交点 所以不构成三角形 当0b 时 面积为 2 b 解答 此题去绝对值非常麻烦 我们可以考虑通过函数平移的知识来解决 函数yxab 的图像可以通过函数yx 的图像平移得到 yx 向左 0a 或者向右 0a 平移a个单位 可以得到yxa 再 将yxa 的图像向上 0b 或者向下 0b 平移b个单位 然后将所得 图像x轴下方的部分翻转到x轴上方 即可得到函数yxab 的图像 显然当0b 时 图像与x轴不可能有交点 当0b 时 令0 xab 得到 12 xab xab 2ABababb C 点坐标为 a b 2 1 2 2 ABC Sb bb 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 4 6 C D B A x y O 10 答案 10000 解答 设k是1 100中任意一个数 如果100 k a 且100 k b 那么在第一组中不 大于100的数至少有 12 k a aa 这k个数 在第二组中不大于100的数至少有 1100 kk b bb 这 101 k 个数 则不大于100的数至少有101101kk 个 这不可 能 因此 k a与 k b这两个数当中较大的一个一定大于100 所以代数式 1122100100 ababab 101 102200 12100 101 1 1022 200 100 100 10010000 二 动手动脑题二 动手动脑题 1 证明 构造函数 111111f xxyyzzxyzxyzyz 故 01110fyzyzyz 10fyz 由于一次函数 f x的图 像为一条直线 所以当01x 时 恒有 0f x 成立 故原不等式成立 2 答案 1 1 1 2 1 4 1 3 1 3 2 3 4 3 8 3 5 4 1 1 1 2 1 4 1 3 2 3 4 3 8 3 5 3 10 3 20 3 40 3 37 3 37 6 31 6 25 6 50 6 100 6 200 6 2 3 不可能 解答 a和b的公共奇约数等于a和2b的公共奇约数等于2a和b的公共奇约数 由规则 知 跳跃不改变前后两数的公共奇约数 如果 ab a 和b的最大公约数等于 ab 和b的最大公约数 如果 ab a 和b的最大公约数等于 ba 和a的最大公约数 由规则 知 跳跃不改变前后两数的最大公约数 从而按规则 和规则 跳跃 均不改变坐标前后两数的公共奇约数 1和1的公共奇约数为1 而12和60的公共奇约数为3 及200和5的公共奇约数 为5 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 5 6 从 1 1 出发不可能到达给定点 12 60 和 200 5 3 证明 假设这 5 条线段为0abcde 接下来准备用反证法 假如所有的三角形都不是锐角三角形 那么我们有 222 222 222 abc bde cde 所以 222 22222 2abcdededede 从而推出ade 也就是 说 a d e无法构成三角形 矛盾 问题得证 4 答案 101022 101022 223 103 10 221010 xxxx yyyy 一共四组解 解答 22 44 4422 432234 4322344 44 2222 22 1 15232 152232 154640 46416 2 220 2220 xy xyxyxy xyxyxxyy xx yx yxyy xx yx yxyyx xyx xyxxyx xyxxyxxyx 所以2xyxyx 或23xyxyx 或 22 200 xyxxy 当yx 时 代入 22 22 22 1 22 22 xx xy yy 当3yx 时 代入 22 1010 1010 1 3 103 10 1010 xx xy yy 当0 xy 时 显然不是原方程组的根 所以舍弃 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 6 6