十三届初二中环杯决赛答案.pdf

第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 1 10 第十三届第十三届 中环杯中环杯 中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 八八年级决赛答案年级决赛答案 一 填空题 一 填空题 1 答 4y 利用中点公式 我们很容易写出正方形ABCD的中心 4 4Y 一条直线只要同时经过点 M和点Y 一定满足我们的要求 由于点M和点Y的纵坐标都是4 所以这条直线的解 析式为4y 2 答 0 4 2 4 64 33 2 84 3 6332 633 33 2 62 63326332 13 62 3263 6262 O Y 4 4 B C 5 2 M A 3 6 D x y l 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 2 10 令6262m 则 2 626226262 2 64 m 由于0m 所以2 64m 从而知道 4 64 33 2 84 32 642 642 640 6332 3 答 3 由轮换对称多项式的因式分解我们知道 222 abcbcacababbcca 所以 0abbcca 而题目告诉我们 2 22 233ababab 所以 ab 根据 0abbcca 我们知道ac 或bc 当ac 时 则 2222 222 1 3 2 abcabbccaabbccaab 当bc 时 则 2222 222 1 3 2 abcabbccaabbccaab 4 答 11 2 3 33 作MNBC 交 BC 于 N 根据勾股定理 我们只要求出 MN NC的长度 问题就能解决 了 将右上角的图形进行放大 得到如图 2 容易知道 2 11 MNMRRNMR NCFCFNFNHR 所以只要求出MR与HR即可 考虑到 30IGO 所以 22 3 33 GO IG 所以 11 3 23 IMIG 其次容易知道 13222 313 333333 GOHI IOHIIP 所以 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 3 10 31 12221 32 333 33333 13 36 MR PMIMIP PR 所以我们得 33 2 32 MNMR 31133 1111 33366 NCHRHPPR 所以 22 222 333112 13 32633 MCMNNC 图 1 图 2 5 答 2或3 2 42422 21111mmmmmmmmm 由于 2 10mm 无实 数解 所以 2 10mm 由于 2 1 110nnn n 1 当mn 时 此时2 mn nm N L M K J I O F H E G B C AD 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 4 10 2 当mn 时 此时 m n是方程 2 10 xx 的两个根 所以 1 1 mn mn 所以 2 22 2 3 mnmnmnmn nmmnmn 6 答 50abc 7 答 10 如下图 由于 AUA U 所以 BUABUA BUCABUACUA CUACUA SS SSS SS 同理 AUBCCUBCUA SSS CUABBUCBUA SSS 三个式子通加得 22 AC BA CBBUACUABUCABC SSSSS 10 8 答 20112013 2222 2222 416100393 416641611 xxxxx xxxxxx C B A A BC U C B A A BC U 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 5 10 2222 2222 222 222 22 22 2 2 416100393 416100404 416102 416164 442 484 22 44 2 xxxxx xxxxx xxxx xxxx xxx xxx xx xx x 所以不超过 A 的最大整数就是120112013x 9 答 3 若4n 时 1 当 32nk k 时 则 32 212121 221 nkkkk 显然不是素数 所 以n不能是 32k k 的形式 2 当 311nkk 时 则 3 23311221 21212121 221 nkkkkk 显然不是素数 所以n不能 是 311kk 的形式 3 当 321nkk 时 则 1 13333 21212121 k nk 所以 1 7 21 n 也不符合题意 综上所述 13n 尝试一下发现只有3n 满足要求 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 6 10 10 答 1 1 4 5 3 5 x y 2 2 3 5 4 5 x y 首先 我们容易知道定义域为11 11xy 2222 2222 11353511 1212 1111 77 1212 1111 xyyx xyyx xyyx 所以 22 2 22 22 35171 1 121211 11 yx xx yy 利用平方差公式我们得 22 7171 1 23 11 yy yy 由于11 11xy 所以 2 11 1 1 yy y y 2 11 1 1 yy y y 令 1 1 y z y 所以 2 12 7171 121491402 233 zzzzz z 代入 1 1 y z y 得 1 3 5 y 2 4 5 y 从而得到最后的解 二 动手动脑题二 动手动脑题 1 证明 设 1 0 1011 101010 nn nnn Aa aaaaaa 则 1 10110 101010 nn nnnn Ba aaaaaa 所以 01220 012 01220 012 1010101010101010 1010101010101010 nnnn n nnnn n ABaaaa ABaaaa 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 7 10 F D E I CA B 1 当n为奇数时 101011mod11 n ii n ii 由于n为奇数 而 niin 所以 ni i 这两个数肯定一奇一偶 这样都导致了 1010110 mod11 n ii n ii 所以此时11 AB 2 当n为偶数时 101011mod11 n ii n ii 由于n为偶数 而 niin 所以 ni i 这两个数肯定同奇偶 这样都导致了 1010110 mod11 n ii n ii 所以此时11 AB 综上所述 无论n是奇数还是偶数 AB AB 这两个数中至少有一个数是11的 倍数 2 证明 首先由角平分线性质我们有IDIEIF 设其为x 然后我们要求出 这个x 容易证明BDI BFI CDI CEI AEI AFI 所以 BFBD CDCE AEAF 从而我们有 2CDCEBCCAABxabc 所以 2 abc x 接下来我们要证明 39332 3 21021055 abcabc xaaabcaabc 然后用反证 法 假设 22222 244 5255 abcaabbcab 所以 2 42120 52521 abaab 而已知告诉我们ab 所以矛盾找到了 命题得证 3 证明 由于 4181 2 xx 为整数 且x为整数 所以81x 为整数 令 81xt t 为整数 则 2 1 8 t x 代入 4181 2 xx 得 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 8 10 22 2 2 11 411 4181211 82 22242 tt tt xxttt 由于 4181 2 xx 为整数 所以 1 2 t 必须为整数 所以 2 41811 22 xxt 是一个 完全平方数 补充说明 本题也可以在一开始的时候这样描述 由于81x 为奇数 所以可 以令 8121xmm 为整数 这样后面就不用再描述 1 2 t 必须为整数了 4 证明 首先 若 m n 可以满足我们的要求 若m不能整除n 将1 n这n 个数字对m取余数 如果一个小方格它所在的行除以 m的余数是0或者1 并且它所在的列除以m的余数 也是0或者1 那么就将其染成黑色 别的方格染成白 色 我们给出一个例子 下图中12 5nm 对于题 目中给出的操作 每次可以覆盖的黑色格子要么是2 个 要么是0个 而开始的时候 由于m不能整除n 那么除以m的余数是1的个数比除以m的余数是0的 个数要多1个 所以每行中有奇数个黑色格子 而且 一共有奇数行拥有黑色格子 导致总的黑色格子数是一个奇数 设灯关着的状 态为数字0 开着的状态为数字1 那么开始的时候黑色格子的状态和为0 结 束的时候黑色格子的状态和为21k 而每次操作黑色格子的状态改变是0或 2 或2 所以开始的时候为偶数 结束的时候也只能是偶数 所以若m不能整 除n 则要求不能满足 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 9 10 5 1 答案 2 当090 且18 22 5 45 时 有三个等腰三角形 3 当18 时 有四个等腰三角形 4 当22 5 或45 时 有五个等腰三角形 解答 首先很容易证明 C AB 为等腰三角形 其次由于 C MCMBMMC B 为等腰三角形 CCNM BCNM CCBC 由于 MC B 为等腰三角形 很容易证明 C FM 也是等腰三角形 所以这个图形中 至少有三个等腰三角形 接下来开始导角 设 BAC 则 90AC PBC PC AEMBCMC B 2C