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文档简介
创新问题专项训练(二)一、选择题1用c(a)表示非空集合a中的元素个数,定义a*b若ax|x2ax10,ar,bx|x2bx1|1,br,设sb|a*b1,则c(s)等于()a4b3c2d12已知集合a(x,y)|x2|y3|1,集合b(x,y)|x2y2dxeyf0,d2e24f0,若集合a,b恒满足“ab”,则集合b中的点所形成的几何图形面积的最小值是()a. b c. d.3已知数组(x1,y1),(x2,y2),(x10,y10)满足线性回归方程x,则“(x0,y0)满足线性回归方程x”是“x0,y0”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件4给出定义:若函数f(x)在d上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在d上也可导,则称f(x)在d上存在二阶导函数,记f(x)(f(x),若f(x)0在d上恒成立,则称f(x)在d上为凸函数以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是()af(x)sin xcos x bf(x)ln x2xcf(x)x32x1 df(x)xex5定义:若函数f(x)的图像经过变换t后所得图像对应函数的值域与f(x)的值域相同,则称变换t是f(x)的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换t,其中t不属于f(x)的同值变换的是()af(x)(x1)2,t将函数f(x)的图像关于y轴对称bf(x)2x11,t将函数f(x)的图像关于x轴对称cf(x)2x3,t将函数f(x)的图像关于点(1,1)对称df(x)sin(x),t将函数f(x)的图像关于点(1,0)对称二、填空题6对于非空实数集a,记a*y|任意xa,yx设非空实数集合m,p,满足mp.给出以下结论:p*m*;m*p;mp*.其中正确的结论是_(写出所有正确结论的序号)7已知x表示不超过实数x的最大整数,如1.81,1.22.x0是函数f(x)ln x的零点,则x0等于_8某同学为研究函数f(x)(0x1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形abcd和befc,点p是边bc上的一个动点,设cpx,则appff(x)请你参考这些信息,推知函数f(x)的极值点是_;函数f(x)的值域是_9.(1)如图,矩形abcd的三个顶点a,b,c分别在函数ylogx,yx,y()x的图像上,且矩形的边分别平行于两坐标轴若点a的纵坐标为2,则点d的坐标为_(2)若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足:f(x)kxb和g(x)kxb,则称直线l:ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”已知h(x)x2,(x)2eln x(其中e为自然对数的底数),根据你的数学知识,推断h(x)与(x)间的隔离直线方程为_三、解答题10已知二次函数f(x)ax2bxc和g(x)ax2bxcln x(abc0)(1)证明:当a0时,无论b为何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;(2)在同一函数图像上取任意两个不同的点a(x1,y1),b(x2,y2),线段ab的中点c(x0,y0),记直线ab的斜率为k,若f(x)满足kf(x0),则称其为“k函数”判断函数f(x)ax2bxc与g(x)ax2bxcln x(abc0)是否为“k函数”?并证明你的结论11如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮o1的半径为2r(r为常数),小飞轮o2的半径为r,o1o24r.在大飞轮的边缘上有两个点a,b,满足bo1a,在小飞轮的边缘上有点c.设大飞轮逆时针旋转,传动开始时,点b,c在水平直线o1o2上(1)求点a到达最高点时a,c间的距离;(2)求点b,c在传动过程中高度差的最大值答 案1选b显然集合a的元素个数为2,根据a*b1可知,集合b的元素个数为1或3,即方程|x2bx1|1有1个根或有3个根结合函数y|x2bx1|的图象可得,b0或1,即b0或b2.2选b集合a可以看作是由区域(x,y)|x|y|1向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的,这是一个边长为的正方形区域,集合b是一个圆形区域,如果ab且集合b中的点形成的几何图形的面积最小,则圆x2y2dxeyf0是|x2|y3|1所表示正方形的外接圆,其面积是12.3选b由于线性回归方程恒过样本点的中心(,),则由“x0,y0”一定能推出“(x0,y0)满足线性回归方程x”,反之不一定成立4选d由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f(x)的正负对于a,f(x)cos xsin x,f(x)sin xcos x,在x(0,)上,恒有f(x)0;对于b,f(x)2,f(x),在x(0,)上,恒有f(x)0;对于c,f(x)3x22,f(x)6x,在x(0,)上,恒有f(x)0.5选b选项b中,f(x)2x11的值域为(1,),将函数f(x)的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(,1),值域改变,不属于同值变换经验证,其他选项正确6解析:对于,由mp得知,集合m中的最大元素m必不超过集合p中的最大元素p,依题意有p*y|yp,m*y|ym,又mp,因此有p*m*,正确;对于,取mpy|y0,即函数f(x)在(0,)上单调递增由f(2)ln 210,知x0(2,e),x02.答案:28解析:显然当点p为线段bc的中点时,a,p,f三点共线,此时appf,且函数f(x)取得最小值,函数f(x)的图象的对称轴为x;当x0,时,函数f(x)单调递减,且值域为,1;当x,1时,函数f(x)单调递增,且值域为,1,函数f(x)的值域为,1答案:x,19解析:(1)由a点的纵坐标为2,得点a的横坐标是2,由矩形的边平行于坐标轴,得b点的纵坐标是2,从而横坐标是224,所以c点的横坐标是4,纵坐标是()4,所以点d的横坐标等于a点的横坐标,点d的纵坐标等于c点的纵坐标,即d点的坐标是(,)(2)容易观察到h(x)和(x)有公共点(,e),又(x)20,即x22xe,所以猜想h(x)和(x)间的隔离直线为y2xe,下面只需证明2eln x2xe恒成立即可,构造函数(x)2eln x2xe.由于(x)(x0),即函数(x)在区间(0,)上递增,在(,)上递减,故(x)()0,即2eln x2xe0,得2eln x2xe.故猜想成立,所以两函数间的隔离直线方程为y2xe.答案:(1)(,)(2)y2xe10解:(1)假设g(x)在定义域(0,)上为增函数,则有g(x)2axb0对于一切x0恒成立,从而必有2ax2bxc0对于一切x0恒成立又a0对于一切x0恒成立是不可能的因此当a0),不妨设x2x10,则k2ax0b.又g(x0)2ax0b,若g(x)为“k函数”,则必满足kg(x0),即有2ax0b2ax0b,也即(c0),所以.设t,则0t0,所以s(t)在t(0,1)上为增函数,s(t)s(1)0,故ln t.与矛盾,因此,函数g(x)ax2bxcln x(abc0)不是“k函数”11解:(1)以o1为坐标系的原点,o1o2所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系当点a到达最高点时,点a绕o1转过,则点c绕o2转过.此时a(0,2r),c(r,r)ac r.(2)由题意,设大飞轮转过的角度为,则小飞轮转过的角度为2,其中0,2此时b(2rcos ,2rsin ),c(4rrcos 2,rsin 2)记点b,c的高度差为d,则d|2rsin rsin 2|,即d2r|sin sin cos |.设f(
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