【三维设计】高考数学大一轮复习 创新问题专项训练(二) 理 苏教版 (1).doc

创新问题专项训练(二)一、填空题1用c(a)表示非空集合a中的元素个数，定义a*b若ax|x2ax10，ar，bx|x2bx1|1，br，设sb|a*b1，则c(s)等于_解析：显然集合a的元素个数为2，根据a*b1可知，集合b的元素个数为1或3，即方程|x2bx1|1有1个根或有3个根结合函数y|x2bx1|的图像可得，b0或1，即b0或b2.答案：32已知集合a(x，y)|x2|y3|1，集合b(x，y)|x2y2dxeyf0，d2e24f0，若集合a，b恒满足“ab”，则集合b中的点所形成的几何图形面积的最小值是_解析：集合a可以看作是由区域(x，y)|x|y|1向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为的正方形区域，集合b是一个圆形区域，如果ab且集合b中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x2y2dxeyf0是|x2|y3|1所表示正方形的外接圆，其面积是12.答案：3在平面直角坐标系xoy中，设点p(x1，y1)，q(x2，y2)，定义：d(p，q)|x1x2|y1y2|.已知点b(1,0)，点m为直线x2y20上的动点，则使d(b，m)取最小值时点m的坐标是_解析：由条件知可设点m(2y12，y1)，从而d(b，m)|2y121|y1|很显然当y1时，d(b，m)取最小值，此时点m的坐标是.答案：4给出定义：若函数f(x)在d上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在d上也可导，则称f(x)在d上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在d上恒成立，则称f(x)在d上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是_f(x)sim xcos xf(x)ln x2xf(x)x32x1 f(x)xex解析：由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f(x)的正负对于a，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，在x(0，)上，恒有f(x)0；对于b，f(x)2，f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)0；对于c，f(x)3x22，f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)0.答案：5若对任意的xd，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间d上的“折中函数”已知函数f(x)(k1)x1，g(x)0，h(x)(x1)ln x，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1,2e上的“折中函数”，则实数k的取值范围为_解析：法一：依题意可知当x1,2e时，恒有0(k1)x1(x1)ln x成立当x1,2e时，由(k1)x10恒成立，可知k1恒成立，又x1,2e时，max2，此时x1，从而k2.当x1,2e时，由(k1)x1(x1)ln x恒成立，可知k1恒成立，记m(x)ln x，其中x1,2e从而m(x)ln x，易知当x1,2e时，xln x(可以建立函数再次利用导数证明，)所以当x1,2e时，m(x)0，所以m(x)在x1,2e上是单调递增函数，所以km(x)min1m(1)12.综上所述可知k2，所以实数k的取值范围为2法2由于本题的特殊性，可看出g(1)0，h(1)0，由题知g(1)f(1)h(1)，显然f(1)0，即k2.h(x)1ln x在1,2e上，h(x)1f(x)，故k2.答案：26对于非空实数集a，记a*y|xa，yx设非空实数集合m，p，满足mp.给出以下结论：p*m*；m*p；mp*.其中正确的结论是_(写出所有正确结论的序号)解析：对于，由mp得知，集合m中的最大元素m必不超过集合p中的最大元素p，依题意有p*y|yp，m*y|ym，又mp，因此有p*m*，正确；对于，取mpy|y0，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，x02.答案：28某同学为研究函数f(x)(0x1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形abcd和befc，点p是边bc上的一个动点，设cpx，则appff(x)请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是_；函数f(x)的值域是_解析：显然当点p为线段bc的中点时，a，p，f三点共线，此时appf，且函数f(x)取得最小值，函数f(x)的图像的对称轴为x；当x0，时，函数f(x)单调递减，且值域为，1；当x，1时，函数f(x)单调递增，且值域为，1，函数f(x)的值域为，1答案：x，19若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l：ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”已知h(x)x2，(x)2eln x(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与(x)间的隔离直线方程为_解析：容易观察到h(x)和(x)有公共点(，e)，又(x)20，即x22xe，所以猜想h(x)和(x)间的隔离直线为y2xe，下面只需证明2eln x2xe恒成立即可，构造函数(x)2eln x2xe.由于(x)(x0)，即函数(x)在区间(0，)上递增，在(，)上递减，故(x)()0，即2eln x2xe0，得2eln x2xe.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y2xe.答案：y2xe二、解答题10已知二次函数f(x)ax2bxc和g(x)ax2bxcln x(abc0)(1)证明：当a0对于一切x0恒成立，从而必有2ax2bxc0对于一切x0恒成立又a0对于一切x0恒成立是不可能的因此当a0)，不妨设x2x10，则k2ax0b.又g(x0)2ax0b，若g(x)为“k函数”，则必满足kg(x0)，即有2ax0b2ax0b，也即(c0)，所以.设t，则0t0，所以s(t)在t(0,1)上为增函数，s(t)s(1)0，故ln t.与矛盾，因此，函数g(x)ax2bxcln x(abc0)不是“k函数”11.如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮o1的半径为2r(r为常数)，小飞轮o2的半径为r，o1o24r.在大飞轮的边缘上有两个点a，b，满足bo1a，在小飞轮的边缘上有点c.设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点b，c在水平直线o1o2上(1)求点a到达最高点时a，c间的距离；(2)求点b，c在传动过程中高度差的最大值解：(1)以o1为坐标系的原点，o1o2所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系当点a到达最高点时，点a绕o1转过，则点c绕o2转过.此时a(0,2r)，c(r，r)ac r.(2)由题意，设大飞轮转过的角度为，则小飞轮转过的角度为2，其中0,2此时b(2rcos ，2rsin )，c(4rrcos 2，rsin 2)记点b，c的高度差为d，则d|2rsin rsin 2|，即d2r|sin sin cos |.设f()sin sin cos ，