高中数学 第五章 推理与证明 5.1 合情推理和演绎推理 5.1.3 演绎推理 5.1.4 合情推理与演绎推理的关系课件 湘教版选修12.ppt

5 1 3演绎推理5 1 4合情推理与演绎推理的关系 课标要求 1 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 2 并能运用演绎推理进行一些简单推理 3 掌握合情推理和演绎推理的联系和差异 4 了解合情推理和演绎推理在数学发现中的作用 自学导引 1 演绎推理 是由一般到特殊 按照严格的逻辑法则得到的一种必然性结论的推理过程 它的主要形式是 2 三段论常用格式为 m是p s是p 其中 是 它提供了一个一般性原理 是 它指出了一个特殊对象 是 它根据一般原理 对特殊情况作出的判断 3 在演绎推理中 只要大前提 小前提都是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必是的 4 数学成果的发现往往是由给出的 再由给予证明 三段论 s是m 大前提 小前提 结论 真实 合情推理 演绎 推理 自主探究 探究1 三段论的基本格式是什么 提示m p m是p 大前提 s m s是m 小前提 s p s是p 结论 探究2 三段论推理的依据 用集合的观点怎样来理解 提示若集合m的所有元素都具有性质p s是m的一个子集 那么s中所有元素也都具有性质p 探究3 合情推理与演绎推理有什么联系 提示从合情推理与演绎推理在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑 二者是紧密联系的 合情推理的结论需要演绎推理的论证 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的 就数学而言 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 但数学结论 证明思路等的发现 主要靠合情推理 因此 我们不仅要学会证明 也要学会猜想 预习测评 1 下面说法正确的有 演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理得到的结论一定是正确的 演绎推理一般模式是 三段论 形式 演绎推理的结论的正误与大前提 小前提和推理形式有关a 1个b 2个c 3个d 4个 解析演绎推理是由一般到特殊的推理 只要大前提 小前提和推理形式正确 得到的结论一定正确 三段论 是演绎推理的一般形式 故 正确 错误 答案c 解析两条直线平行 同旁内角互补 大前提 a与 b是两条平行直线的同旁内角 小前提 a b 180 结论 答案a 3 用演绎推理证明 y x2 x 0 是增函数 时的大前提为 答案增函数的定义 名师点睛1 演绎推理的含义 数学理论都是用演绎推理组织起来的 每一个数学理论都是一个演绎体系 演绎推理是由一般到特殊的推理 是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系 即演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必是真实的 但是错误的前提可能导致错误的结论 2 三段论的含义 我们在解答题和证明题中所用到的推理 一般都是演绎推理 它的基本模式是三段论 1 大前提 已知的一般原理 例如数学中的公理 定理 性质等 物理中的定律 性质等 凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提 2 小前提 所研究的特殊情况 即在大前提范围内的某一特殊情形 3 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 注意 三段论推理的根据 用集合的观点来讲就是 若集合m中所有元素都具有性质p s是m的子集 那么s中所有元素都具有性质p 演绎推理是一个必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要大前提 小前提都是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必是真实的 但错误的前提可能导致错误的结论 3 合情推理与演绎推理的关系 合情推理包括归纳推理和类比推理 而演绎推理的主要形式是 三段论式推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 特殊到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理所得的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在大前提 小前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 典例剖析题型一用三段论的形式表示演绎推理 例1 把下列推理写成三段论的形式 1 所有的金属都能导电 铀是金属 所以 铀能够导电 2 一切奇数都不能被2整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被2整除 3 三角函数都是周期函数 y tan 是三角函数 所以y tan 是周期函数 解 1 所有的金属都能导电 大前提 一般原理 铀是金属 小前提 特殊情况 所以铀能够导电 结论 对特殊情况的判断 2 一切奇数都不能被2整除 大前提 2100 1 是奇数 小前提 所以 2100 1 不能被2整除 结论 3 大前提 三角函数都是周期函数 小前提 y tan 是三角函数 结论 y tan 是周期函数 方法点评用三段论写推理过程中 关键是明确大前提 小前提 有些推理有时省略了大前提 寻找大前提时 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 训练1 把 函数y x2 x 1的图象是一条抛物线 写成三段论的形式 解二次函数的图象是一条抛物线 大前提 函数y x2 x 1是二次函数 小前提 所以 y x2 x 1的图象是一条抛物线 结论 题型二演绎推理的运用 例2 证明函数f x x4 x3 x2 x 1的图象恒在x轴的上方 证明当x0 当x 1时 f x x3 x 1 x x 1 1 0综上所述 函数f x 的图象恒在x轴的上方 方法点评对x所有可能的取值都给出了f x 为正数的证明 所以断定f x 恒为正数 训练2 若a b是正实数 且a b 试比较aabb与abba的大小 题型三用合情推理与演绎推理解决问题 例3 在平面内 已知直线l与两点a b 在直线l上求一点p 使 1 a b在直线l同侧时 pa pb最小 2 a b在直线l两侧时 pa pb 最大 线段ab中点不在l上 解 1 pa pb可以看作是从点a发出光线经l反射后经过点b 此时应有pa pb最小 因为光走的路线最短 根据光的反射原理 点a关于l的对称点在反射光线所在的直线上 所以 作点a关于直线l的对称点a 连接a b交直线l于点p 则p为所求 如图 以上结论用演绎法证明如下 在直线l上任取异于p点的一点p 连接p a p a pa p b 则p a p b p a p b 在 p a b中 p b p a a b pa pb pa pb p a p b pa pb 点p是使pa pb最小的点 2 与 1 类似 作点a关于直线l的对称点a 连接a b并延长交l于点p 则点p就是使 pa pb 最大的点 下面用演绎法证明在直线l上任取异于点p的一点p 连接p a p a p b ap 则 p a p b p a p b 在 p a b中 p a p b a b pa pb pa pb p a p b pa pb 点p是使 pa pb 最大的点 方法点评在处理探究性问题时 先通过合情推理得到猜想 然后用演绎推理的方法证明结论的正确性 证明如下图 延长ah交bc于d 连结vd va vb va vc va 平面vbc va bc va vd vh 平面abc vh bc bc 平面vad bc vd 误区警示小前提错误导致结论错误 例4 因为过不共线的三点有且仅有一个平面 大前提 而a b c为空间三点 小前提 所以过a b c三点只能确定一个平面 结论 上述推理的结论正确吗 为什么 错解 符合三段论推理形式证明 故命题正确 错因分析 只有