量子力学讲义第5、6章.doc

第二篇 定态问题 定态问题（本篇）量子力学处理的实际问题 跃迁问题（第四篇）散射问题（第四篇） 定态问题的任务 - 找出体系的稳定状态： 对束缚态 - 求能级和波函数 对非束缚态 - 求反射和透射几率第五章 一维定态问题的严格解（着重物理分析，不细讲运算过程）方程：5.1一维方势阱 束缚态一、阱外波函数的形式 令 ，则方程为 。满足有界条件的解为 对无限深势阱，。二、阱内波函数的形式令 ，则方程为 。有确定的宇称。三、能级用连续条件定E, 我们采用在连续的方法，这样可以自动消除待定系数。 偶宇称态的能级偶宇称态 引入参数 ，同时 联立求解,采用图解法（见教材P190）,交点为解。由图知，至少有一个解至少有一个束缚态，偶宇称基态。 奇宇称态的能级同上方法，奇宇称态 在一定条件下才出现奇宇称态。（归一化和有关讨论请同学们自学）5.2 一维方势垒 隧道效应 一、的情况 - 非束缚态易得 （无反射波）由在x=0, x=a 处连续，可得用A 表示的C和（见教材P194）。几率流密度 入射波 的几率流密度为 反射波 的几率流密度为 透射波 的几率流密度为 反射和透射系数反射系数， 透射系数 。具体结果见教材P195。 讨论：在经典力学中，粒子越过势垒而过，无反射；在量子力学中，粒子存在反射的几率，且D+R=1 - 几率守恒；能量可以取连续值，这是非束缚态粒子的特征。二、的情况不必重新计算，只须做代换 ，即 。（具体计算见教材）注意到 隧道效应。低能入射近似公式 。对非方势垒，有 。三、的情况下粒子在方势阱的运动（自学）四、量子隧道效应的实例（我们列出题目，请同学们自己查阅有关文献，如赵凯华的量子物理等） 衰变； 热核聚变； 扫描遂道显微镜纳米技术等（可自学教材，并根据教材所列的物理课题阅读有关文献，以了解量子力学的现代应用）。*5.3 一维周期势场 固体能带（不讲）只有量子理论才能对固体性质给出正确的解释和描述。作业：习题5.1、1，3，6；习题5.2、1。第六章 三维定态问题的严格解方程：6.1 氢原子与类氢原子（原子物理中已有初步讨论，着重讲要点）一、定态S-方程 化二体问题为单体问题电子 ；核 二体问题仿经典力学（太阳-行星运动）可把它转化成单体问题：相对位矢 总质量 质心坐标 折合质量 质心作自由运动 电子相对于核运动（）。我们关心的是 二、粒子在库仑场中的运动 取力学量完全集，已知的共同本征函数利用 得到关于的方程。令 。（束缚态），令 ，。数学上可解此方程（见教材附录7， 略讲，重点放在物理上）： 能量取分立值（否则波函数不满足有限性条件） - 玻尔半径， 缔合拉盖尔多项式（见教材）。 径向波函数是归一化的， 前几项见教材P213。最终的波函数为 ，满足归一化要求： 。三、解的物理意义1、 能级：氢原子的基态能 ，电离能 。 简并度：给定 n n 个l (2l+1)个m。简并的来由（与对称性有关）：对m的简并（与m 无关），来源于球对称（几何对称）；对l的简并（与l 无关），来源于库仑场（动力学对称）。对非有心力场 ，无简并；对非库仑场，对l无简并。例如，对碱金属中价电子而言，由于原子实的势场并非严格库仑场：。巴耳末公式辐射光的频率：可由理论给出里德伯常数R，与实验符合得很好，微小的差异是未考虑自旋等。2、径向分布：。电子在的球壳内出现的几率为参见教材P216图 ：玻尔半径是最可几半径。3、角分布：参见教材P218图 ：“电子云”。4、电流分布：。5、氢原子的磁矩 如图，将空间分成环绕极轴的、横截面积为、半径为的环形体元：。它对磁矩的贡献是环形电流与该电流所围面积的积：。处于态的氢原子的磁矩为： 可见磁矩是量子化的。考虑到电子质量是质子质量的（电子质量），有 - 玻尔磁子。回转磁比率（“轨道”磁矩与“轨道”角动量之比）：。作业：习题6.1、3，4，6。6.2 粒子在电磁场中的运动 简单塞曼效应一、 有电磁场情况下的S-方程（只讲要点 ，详细说明请同学们自学）由电动力学： 量子力学： 。取库仑规范，S-方程可化简为二、 简单（正常）塞曼效应（1896年） 强磁场原子光谱分裂取 。由电动力学知，磁矩为m的磁偶极子在外场的势能为，与上式比较可得电子的磁矩为。取强磁场B10特斯拉，（教材有误）中的第二项可以忽略，中的第三项也可以忽略，有显然是相互对易的守恒量，可取为力学量的完全集。 以表示的本征值，为力学量完全集的共同本征函数。可见加入磁场后，能级为。这表明，加入磁场后，对m的简并被消除，原来的能级分裂成(2l+1)个能级，相邻两能级的间隔为其中为玻尔磁子，为拉摩频率。由选择定则（第十一章11.3）知，简单（正常）塞曼效应，光谱分裂成三条：。6.3 朗道能级 量子霍尔效应一、朗道能级与朗道波函数（二维）问题：带电粒子在均匀恒定强磁场中运动的能级（朗道能级）与波函数？取 设 。引入 。这是线性谐振子的能量本征值方程，其角频率为，平衡位置为： 称为朗道能级。由此可见，沿x方向的运动是平面行波，沿y方向的运动是简谐振动。二、几率密度与几率流密度（略，自学）三、 朗道能级的简并度1、无界平面情况：与k无关，k可以取任意实数无穷度简并。而任意一点都可以作为平衡位置。2、 有界平面情况：在x方向上被限制在范围内运动，由周期条件为整数。平衡位置为整数。如果在y方向上被限制在范围内运动本征值和本征函数都将发生变化。我们考虑的情况 ，仍取前面的本征值和本征函数作为近似。但y有界将导致只能取有限个值。的取值个数可以近似为（长度/间隔状态数取值数） 为平面面积（范围）。 的取值个数 = k的取值个数 = 能级的简并度。四、在正交均匀恒定磁场和电场中的二维运动 朗道能带 取 。令 ，仿前讨论可得（自学）当时，能量简并度 就是 k的取值个数。当时，每条朗道能级分裂成d条分立的能级：。这样就构成了一条能带 - 朗道能带。朗道能带的概念是解释整数量子霍尔效应的理论基础。五、霍尔效应与量子霍尔效应简介（只列出课题，不具体讲，请同学们阅读有关参考文献）经典霍尔效应（1879） 导体或半导体在纵向电场和横向磁场的作用下，在垂直它们的方向上出现异号电荷的堆积，从而在该方向形成电势差。整数量子霍尔效应（1970-1980；1985诺贝尔奖）霍尔电阻是量子化