高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 理.ppt

第三节导数与函数的极值 最值 总纲目录 教材研读 1 函数的极值与导数 考点突破 2 函数的最值与导数 考点二运用导数解决函数的最值问题 考点一运用导数解决函数的极值问题 考点三函数极值与最值的综合应用 教材研读 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 f x 0 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 注 极大值和 极小值统称为极值 2 函数的最值与导数一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求函数y f x 在 a b 内的 极值 2 将函数y f x 的各极值与 端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 注 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 1 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 答案d由题意可得f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 则f x f x 随x的变化情况如下表 函数f x 在x 2处取得极小值 则a 2 故选d d 2 函数y xex的最小值是 a 1b ec d 不存在 答案c y xex y ex xex 1 x ex 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 当x 1时函数取得最小值 且ymin 故选c c 3 已知f x 是定义域为r的偶函数 当x 0时 f x x 1 3ex 1 那么函数f x 的极值点的个数是 a 5b 4c 3d 2 答案c当x0时 x 4也是原函数的极值点 又因为此函数为偶函数 故y轴左 右两侧函数的单调性不一致 即x 0也是极值点 故选c c 4 函数f x x alnx a 0 的极小值为a alna 答案a alna 解析f x 的定义域为 0 易知f x 1 由f x 0 解得x a a 0 又当x 0 a 时 f x 0 函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 考点一运用导数解决函数的极值问题命题方向一求已知函数的极值典例1若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 考点突破 a 答案a 解析由题意可得f x ex 1 x2 a 2 x a 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递减 f x 极小值 f 1 1 故选a 命题方向二已知函数的极值情况求参数的值或范围 典例2已知函数f x a x lnx 1 当a 1时 试求f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 当a 0时 试求f x 的单调区间 3 若f x 在 0 1 内有极值 试求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f 1 e 1 f x 1 f 1 0 故切线方程为y e 1 2 f x 的定义域为 0 f x a 当a 0时 因为 x 0 ex ax 0恒成立 所以f x 0 x 1 f x 0 0 x 1 所以f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 3 若f x 在 0 1 内有极值 则f x 在 0 1 内有解 令f x 0 x 0 1 ex ax 0 a 设g x x 0 1 所以g x 当x 0 1 时 g x e时 f x 0在 0 1 内有解 设h x ex ax 则h x ex a0 h 1 e a 0 所以h x ex ax在 0 1 上有唯一解x0 所以有 所以当a e时 f x 在 0 1 内有极值且唯一 当a e时 f x 0在 0 1 上恒成立 则f x 在 0 1 上单调递增 不符合题意 综上 a的取值范围为 e 方法技巧 1 利用导数研究函数极值问题的一般流程 2 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 1 列式 根据极值点处导数为0和极值列方程组 利用待定系数法求解 2 验证 因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 1 1已知函数f x x2 bx b b r 1 当b 4时 求f x 的极值 2 若f x 在区间上单调递增 求b的取值范围 解析 1 当b 4时 f x x 2 2 定义域为 f x 2 x 2 x 2 2 2 令f x 0 解得x1 2 x2 0 当x0 所以f x 在 2 0 上单调递增 所以当x 2时 f x 有极小值f 2 0 当x 0时 f x 有极大值f 0 4 2 f x 在上单调递增 f x 0 且不恒等于0 对任意x 恒成立 又f x 2x b x2 bx b 2 所以 5x2 3bx 2x 0 所以b 因为 所以b 典例3 2017北京 19 13分 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 考点二运用导数解决函数的最值问题 解析 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 当x 时 h x 0 所以h x 在区间上单调递减 所以对任意x 有h x h 0 0 即f x 0 所以函数f x 在区间上单调递减 因此f x 在区间上的最大值为f 0 1 最小值为f 规律总结求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 1已知函数f x lnx 1 g x 1 求函数f x 的最小值 2 求函数g x 的单调区间 3 求证 直线y x不是曲线y g x 的切线 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x 令f x 0 得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x min f 1 0 2 g x 的定义域为 x x 1 g x 由 1 知f x 0 且当且仅当x 1时 f x 0 g x 0 g x 在 0 1 和 1 上单调递增 3 证明 假设y x是曲线y g x 的切线 切点为 x0 x0 则 即解得x0 1 但注意到定义域为 x x 1 应舍去 故 式无解 假设不成立 直线y x不是曲线y g x 的切线 典例4已知函数f x a 0 的导函数y f x 的两个零点为 3和0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 的极小值为 e3 求f x 的极大值及f x 在区间 5 上的最大值 考点三函数极值与最值的综合应用 解析 1 f x 令g x ax2 2a b x b c 因为ex 0 所以y f x 的零点就是g x ax2 2a b x b c的零点 且f x 与g x 符号相同 因为a 0 所以由题意知 当 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的单调增区间是 3 0 单调减区间是 3 0 e3 结合g 0 b c 0 g 3 9a 3 2a b b c 0 解得a 1 b 5 c 5 所以f x 因为f x 的单调增区间是 3 0 单调减区间是 3 0 所以f 0 5为函数f x 的极大值 且f x 在区间 5 上的最大值为f 5 和f 0 中的最大者 而f 5 5e5 5 f 0 所以函数f x 在区间 5 上的最大值是5e5 2 由 1 知 x 3是f x 的极小值点 所以有 方法技巧解决函数极值 最值问题的策略 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要讨论参数的大小 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值就是最值 要通过比较才能下结论 即函数在给定闭区间上存在极值 一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 3 1 2017北京海淀一模 18 已知函数f x x2 2ax 4 a 1 ln x 1 其中实数a 3 1 判断x 1是否为函数f x 的极值点 并说明理由 2 若f x 0在区间 0 1 上恒成立 求a的取值范围 解析解法一 1 由f x x2 2ax 4 a 1 ln x 1 可得函数的定义域为 1 f x 2x 2a 由f x 0得x1 1 x2 a 2 因为a 3 所以a 2 1 当a 1时 a 2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当1 a 3时 1 a 2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 综上 x 1是函数f x 的极值点 且为极小值点 2 易知f 0 0 由 1 可知 当a 2时 函数f x 在区间 0 1 上单调递减 所以有f x 0恒成立 当2f 0 0 所以不等式f x 0不能恒成立 所以a 2时有f x 0在区间 0 1 上恒成立 解法二 1 由f x x2 2ax 4 a 1 ln x 1 可得函数的定义域为 1 f x 2x 2a 令g x x2 1 a x