高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课件 苏教版选修11.ppt

3 3 1单调性 第3章 3 3导数在研究函数中的应用 1 结合实例 直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 并能够利用单调性证明一些简单的不等式 3 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一函数的单调性与导数的关系 1 在区间 a b 内函数的导数与单调性有如下关系 增 减 答案 2 在区间 a b 内函数的单调性与导数有如下关系 增 减 答案 思考在区间 a b 内 函数f x 单调递增是f x 0的什么条件 答案必要不充分条件 知识点二利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤 1 确定定义域 2 求导数f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一利用导数判断函数的单调性 则cosx 0 xcosx sinx 0 反思与感悟 反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 0 或 0 则f x 为单调递增 或递减 函数 但要特别注意 f x 为单调递增 或递减 函数 则f x 0 或 0 解析答案 又0 x e lnx lne 1 故f x 在区间 0 e 上是增函数 解析答案 题型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间 1 f x 2x3 3x2 36x 1 解f x 6x2 6x 36 由f x 0得6x2 6x 36 0 解得x2 由f x 0解得 3 x 2 故f x 的增区间是 3 2 减区间是 3 2 解析答案 2 f x sinx x 0 x 解f x cosx 1 因为0 x 所以cosx 1 0恒成立 故函数f x 的单调递减区间为 0 解析答案 3 f x 3x2 2lnx 解函数的定义域为 0 解析答案 4 f x x3 3tx 解f x 3x2 3t 令f x 0 得3x2 3t 0 即x2 t 当t 0时 f x 0恒成立 函数的增区间是 反思与感悟 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤 1 优先确定f x 的定义域 2 计算导数f x 3 解f x 0和f x 0的区间为增区间 定义域内满足f x 0的区间为减区间 解析答案 解方法一函数f x 的定义域为 0 0 由f x 0 解得x 1或x 1 由f x 0 解得 1 x 1 且x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 1 1 单调递减区间为 1 0 0 1 解析答案 方法二函数f x 的定义域为 0 0 所以函数f x 的单调递增区间为 1 1 单调递减区间为 1 0 0 1 解析答案 反思与感悟 要使f x 在 2 上是单调递增的 则f x 0在x 2 时恒成立 x2 0 2x3 a 0 a 2x3 min x 2 时 y 2x3是单调递增的 a 2x3在x 2 上恒成立 2x3 min 16 a 16 a的取值范围是 16 反思与感悟 反思与感悟 已知函数的单调性 求函数解析式中参数的取值范围 可转化为不等式恒成立问题 一般地 函数f x 在区间i上单调递增 或减 转化为不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 再用有关方法可求出参数的取值范围 解析答案 跟踪训练3若函数f x x3 x2 mx 1是r上的单调函数 求实数m的取值范围 解f x 3x2 2x m 因为f x 是r上的单调函数 所以f x 0恒成立或f x 0恒成立 因为二次项系数3 0 所以只能有f x 0恒成立 解析答案 返回 解后反思 例4已知a b为实数 且b a e 其中e为自然对数的底 求证 ab ba 分析观察ab ba 两边取对数即有blna alnb 从函数角度考虑blna与alnb 解题技巧 构造法的应用 证明当b a e时 要证ab ba 只要证blna alnb 故ab ba 构造 是一种重要而灵活的思维方式 应用好构造思想解题的关键是 一要有明确的方向 即为什么目的而构造 二是要弄清条件的本质特点 以便重新进行逻辑组合 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 函数f x x lnx在 0 6 上是 函数 填 增 或 减 函数在 0 6 上单调递增 增 解析答案 1 2 3 4 5 2 f x 是函数y f x 的导函数 若y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是 解析由导函数的图象可知 当x0 即函数f x 为增函数 当02时 f x 0 即函数f x 为增函数 通过观察易知 符合 1 2 3 4 5 3 若函数f x x3 ax2 x 6在 0 1 内单调递减 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 2ax 1 又f x 在 0 1 内单调递减 不等式3x2 2ax 1 0在 0 1 内恒成立 f 0 0 且f 1 0 a 1 解析答案 1 解析答案 1 2 3 4 5 4 函数y x2 4x a的增区间为 减区间为 解析y 2x 4 令y 0 得x 2 令y 0 得x 2 所以y x2 4x a的增区间为 2 减区间为 2 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 因为函数f x 存在单调递减区间 所以f x 0有解 又因为函数f x 的定义域为 0 所以ax2 2x 1 0在 0 内有解 当a 0时 y ax2 2x 1为开口向上的抛物线 ax2 2x 1 0在 0 内恒有解 当a 0时 y ax2 2x 1为开口向下的抛物线 若ax2 2x 1 0在 0 内恒有解 1 2 3 4 5 当a 0时 显然符合题意 综上所述 a的取值范围是 1 答案 1 课堂小结 返回 1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性 导数