数学兴趣小组1.1 数学好玩.doc

1.1 数学好玩 一. 从讲故事开始 1. 讲故事 梵塔(汉诺塔)问题 这是印度一个古老的传说. 开天辟地的神梵天在印度北部的佛教圣地贝那勒斯的圣庙里，安放着一块黄铜板，板上插着三根细细的、镶上宝石的细针，细针像韭叶般粗，高像成人手腕到肘关节的长. 在其中的一根针上，从下到上串着由大到小的六十四片圆金片环，这就是有名的梵塔（如图），或称“汉诺塔”. 天神梵天授言：不论黑夜白天，都要有一个值班的僧侣，按照规定的法则，把这些金片在三根针上移来移去，一次只能够移一片，并且要求不管在哪根针上，小片永远在大片的上面. 当所有的六十四片，都从梵天创造世界时所放的那根针，移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和芸芸众生，都将同归于尽！这，便是世界末日. 世界真有末日吗? 到底要搬多少次? 多少天? 2. 做游戏 搬板(5块板) 每人发5块事先准备好的由小到大的纸板（可以在课前准备好，也可以让学生自己用纸裁），代替金片环. 在1，2，3三处移来移去（如图），一次只能够移一片，小片永远在大片的上面. 数数看，5块纸板从一处移到另一处需要多少次？这个游戏，最先大概是在1883年的巴黎流传. 當時市面上銷售的版本上面署名發明人是N. CLAUS (DE SIAM)，看來是LUCAS DAMIENS 的化名，因此有人認為那其實是法國數學家EDOUARD LUCAS (1849-1891) 想出來的玩意。当时市面上销售的版本上面署名发明人是N. CLAUS (DE SIAM)，看来是LUCAS DAMIENS的化名，因此有人认为那其实是法国数学家EDOUARD LUCAS想出来的游戏.3. 学方法 递推与归纳把移1片的次数记作a1,移2片的次数记作a2,移3片的次数记作a3,于是我们可以把这两片粘在一起,看作一个整体,移动这个整体要3次; 又可以把这3片粘在一起,看作一个整体,移动它要7次;总之,把前面移过的看作一个整体.就有：a11 a221+1 2a1+1 3 22-1a323+1 2a2+1 7 23-1a427+1 2a3+1 15 24-1a5 215+1 2a4+1 31 25-1一般地, an2an-1+1 2n-1an+12an+1，称为递推关系式.利用递归思想来设计算法是计算机算法的核心之一. an2an-1+1,是观察、归纳得到的答案,可以证明这个答案是正确的. 当n64时,a6418,446,744,073,709,551,615,设每秒钟移1次,需要移5845亿年！按照现代的宇宙进化论,恒星、太阳、行星是在三十亿年前由不定形物质形成的.给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100150亿年.因此,太阳系的整个寿命无疑要短于二百亿年.可见远不等僧侣们完成任务,地球早已毁灭了. 练习1和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相西萨班达依尔. 国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍. 请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒. 请你计算一下，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 解：1+2+22+2 63264-1,和移完汉诺塔的次数一样.估计全世界两千年也难以生产这么多麦子！2切月饼(相当于在圆内画直线): 1刀可以切2块,2刀最多切4块,n刀最多可切多少块?解: 在实验中找规律,a12,a24,a37,a411,anan-1+n,即当切了(n-1)刀后,再切第n刀,与前an-1条刀痕有(n-1)个交点,多了n块. 再把这n个等式相加,可得n刀最多可以切块.二. 中国古典智力游戏三绝 科学出版社出版了一套好玩的数学,十本，其中介绍了很多数学游戏,凝结着中国传统文化,具有极强的趣味性.游戏中蕴涵着丰富的数学道理.对于开发人的逻辑思维能力大有好处,同时它还可以培养学习的专注精神和耐心. 1. 七巧板(誉称唐图) 宋朝已经流行,清朝有了专著. 七巧板设计精巧,7个部件的边与角关系密切. 用它们可以拼出各种不同的图案、数字、英文字母、简单的汉字.现在已经设计了立体七巧板.然而用七巧板的7个部件只能拼出13种不同的凸多边形.1942年我国数学家王福春和熊全治给出了证明.例 右面一幅画是用三副七巧板拼成的,猜,这是什么故事? 2. 九连环(誉称魔环) 据说春秋战国时期就已经诞生.九连环,外国人称为中国环.它的解法与梵塔问题类似,与美国数学家弗兰克格雷发明的无线电通讯用的循环码严格对应.数学上称为“同构”.玩九连环练脑又练手,老少皆宜.3. 华容道 源自于“三国演义”关羽与曹操的故事. 华容道是一种滑块游戏.它是由54个小正方形组成的长方形,四周有墙壁,代表华容道,内有10个棋子(如下图),只有两个小方块空着,是华容道的唯一出口. 练习1. 自己制作一付七巧板,选用七巧板的7个部件可以拼成 4 种不同的三角形;可以拼成 4 种不同的正方形.你会用所有7个部件拼出13种不同的凸多边形吗? 解：如下图，有13个.2. 玩“重排十五”.这是西方最早出现的滑块游戏.自己制作一个正方形的棋盘,等分为16个小正方形,再做15个小棋子,编号,任意摆放在小正方形中,经过平移滑动(不离开棋盘),使它有序的如图排好. 解: 可以先玩9个小正方形,8个棋子.找规律.3. 玩“华容道”.请你在长方形内滑动棋子,让出空格,用最少的步数将曹操移出来.试试看,你能行！解: 用代码表示各棋子进行实验,移动次序是: 8,4,1,7,5,9,7,5,1,6,8,5,7,9,1,8,6,5,4,7,9,1,8,6,5,4,2,0,3,6,8,5,3,0,2,4,9,7,1,3,5,9,0,6,8,9,5,3,7,0,8,6,2,4,0,8,6,9,5,3,7,8,0,4,2,6,9,5,3,0,6,9,2,4,9,6,1,8,7,0,6,9,1,8,7,0. 共81次.三. 幻方与数独 1. 河图与洛书河图是最早的组合数学,八卦是最早的二进制,洛书是最早的幻方.2幻方的构造南宋数学家杨辉是世界上首先从数学角度研究幻方的. 他于1275年总结了3阶幻方的构造方法，在他的著作里给出了4到10阶的幻方图，并且创造了许多“幻圆”.例 平移补空法(适用于奇数阶) 构造3阶幻方.3. 数独“独立的数字”是一种源自18世纪末的瑞士,后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏.因为每一个方格都填一个个位数而得名,简称为“数独”.由于数独逻辑简单,数字排列方式千变万化.被公认为是锻炼思维的好方法.目前还成立了数独联盟,举办了世界数独锦标赛. 例 在99的正方形方格里已经有了若干个数字(如图),请将1到9填入其余空格中,使整个大九宫格每行每列每个小九宫格的数字都不重复. 解：先填行、列、小九宫格数字多的交叉点，再排除交叉点不能填的数从而确定可填的数,对于还不能确定的格子,用铅笔把可以填的数填上,如果格子里只能填某一个数,或该行该列该小九宫格只有某一个数,那么这个数也就确定了,再删除同行同列同小九宫格的这个数,如是进行,必要时加以讨论.练习 1. 将9个连续的自然数填入九宫格中,使横、竖、斜三个数之和为60.那么这9个自然数中最小的是 16 .2. 如图是用1,2,4,8,16,32,64,128,256九个数组成一个三阶幻方,满足正方形行、列、对角线上三个数的积相等.则图中x、y依次是 2、64 . 3. 请你用平移补空法构造一个5阶幻方. 4. 请你构造一个简单的“幻圆”: 将1到8填入图中的小圆,使4条线上的4个数字之和相等.5. 完成下列数独: 解：从左到右,再从上到下应该填的数:(1) 349,78263,74782,987,31547968,65834,34182,45273,8;(2) 58694,4916 7,7645932,58316,4952187,21859,2537619,73982,61473;(3) 467528,154679,32691,214596,46753812,589234,18247,752341,897526.四数学兴趣小组有关问题 1原则 学生自愿 家长支持. 目的 培养兴趣 培养优秀. 2初中数学的内容 (1) 数与代数: 有理数与无理数,代数式,方程与不等式,函数及其图象. (2) 几何: 认识图形(线段,角,多边形,圆,简单几何体),图形的变换(对称,平移,旋转),简单证明.(3) 统计与概率: 收集数据,整理数据,分析数据,概率初步,估计与决策等.(4) 数学思想方法: 归纳,猜想,类比,转化,综合分析,数形结合,分类讨论等等. 3. 参考书 (1) 数学故事丛书: 学好数学的前提,要对数学有兴趣. (2) 数学竞赛辅导: 学好数学的关键,学数学思想方法.(3) 读合情推理趣引前言: (附后). 4. 约法三章(1) 不迟到,要有时间概念.(2) 课上,不讲无关的话,积极独立思考,认真笔记.(3) 课后,独立完成作业,不会的问,做错的订正,备错题集.合情推理趣引前言“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。”拿破仑这样讲。“没有数学就没有真正的智慧。”柏拉图如此道白。高斯论述：“数学是科学的女皇。”毕达哥拉斯认为：宇宙由数主宰!哈尔莫斯说：“数学是创造性的艺术。” 罗素却说：“数学是逻辑的成年时代。”人们对数学，对数学思维的评价都是这样极天极地、含情脉脉。我爱数学，因为数学美丽、数学精彩。因为爱，就编写了这本书，敢于在专家、学者、同行们面前献丑，顾不了好不好、该不该。不过，我是尽心尽力写的，写了点点“学”的心得，写了区区“教”的体会，却写不了我在学中教、教里学的欢乐与感慨。因为仅仅是个人感悟，对“合情推理”的认识就没有高度、没有深度，只是“引”的水平、“引玉”的期待。为了写出“趣”，我选编了些故事，请不要见怪，因为我的爱，也从“品”故事过来。编写这本书，只有一个愿望，用我的心换取您对数学的爱，用我的真诚换取您对合情推理的青睐；有一天，能倾听您用数学思维的音符，演奏一曲青春之歌，激昂豪迈！这本小册子，分为上、中、下三篇：品、学、教。不用多说，只要翻开目录，您就可以估计大