【中考12年】江苏省常州市2001中考数学试题分类解析 专题10 四边形 (2).doc

2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形1、 选择题1. （2001江苏常州2分）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是【】a矩形b.菱形c.梯形d.正方形【答案】d。【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】如图，等腰梯形abcd中，adbc，abcd，e、f、g、h分别是各边的中点，连接ac、bd。e、f分别是ab、bc的中点，ef=ac。同理fg=bd，gh=ac，eh=bd。又四边形abcd是等腰梯形，ac=bd。ef=fg=gh=he。四边形efgh是菱形。故选d。2. （2001江苏常州2分）下列命题中的真命题是【】a有一组邻边相等的四边形是菱形b.对角线相等的四边形是矩形c.有一组对边平行的四边形是梯形 d.对角线相等的菱形是正方形【答案】d。【考点】命题与定理，菱形、矩形、梯形、正方形的判定。【分析】根据菱形、矩形、梯形、正方形的判定作出判断：a、假命题，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；b、假命题，例如等腰梯形，对角线也相等；c、假命题，例如平行四边形的一组对边也平行；d、真命题，符合矩形的判定定理。故选d。3. （江苏省常州市2005年2分）如图，等腰梯形abcd中，abdc，ad=bc=8，ab=10，cd=6，则梯形abcd的面积是【 】 a、 b、 c、 d、【答案】a。【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。【分析】知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积：过d，c分别作高de，cf，垂足分别为e，f，等腰梯形abcd中，abdc，ad=bc=8，ab=10，cd=6，dc=ef=6，ae=bf=2。de=，梯形abcd的面积=。故选a。4. （江苏省常州市2008年2分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是【 】a.等腰梯形b.正方形c.平行四边形d.矩形【答案】d。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】先证明四边形efgh是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断：如图：菱形abcd中，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、ad的中点，ehfgbd，eh=fg=bd；efhgac，ef=hg= ac。四边形efgh是平行四边形，又acbd，ehef，hef=90。四边形efgh是矩形。故选d。二、填空题1. （江苏省常州市2002年1分）四边形的对角线互相垂直，顺次连结它的各边中点所得的四边形是 .【答案】矩形。【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，该四边形是是矩形。2. （江苏省常州市2003年1分）如图，梯形abcd中，adbc，g、f、e、h分别是边ab、bc、cd、da的中 点，梯形abcd的边满足条件 时，四边形efgh是菱形。【答案】ac=bd。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：ac=bd。如图，ac=bd，e、f、g、h分别是线段ab、bc、cd、ad的中点，则eh、fg分别是abd、bcd的中位线，ef、hg分别是acd、abc的中位线，根据三角形的中位线的性质知，eh=fg=bd，ef=hg= ac，当ac=bd，有eh=fg=fg=ef，则四边形efgh是菱形。3. （江苏省常州市2004年2分）如图，点d是rtabc的斜边ab上的一点，debc于e，dfac于f，若af=15，be=10，则四边形decf的面积是 。【答案】150。【考点】矩形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】dfac，debc，dfc=c=dec=90，四边形dfce是矩形。dfbc，则adf=b。又afd=deb，adfdbe。，即dedf=afbe=150。四边形dfce的面积=dedf=150。4. （江苏省常州市2005年2分）如图，正方形abcd的周长为16cm，顺次连接正方形abcd各边的中点，得到四边形efgh，则四边形efgh的周长等于 cm，四边形efgh的面积等于 cm2. 【答案】；8。【考点】正方形的性质，三角形中位线定理。【分析】根据已知可求得abcd的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到efgh的边长，从而可求得其周长及面积：正方形abcd的周长为16cm，则它的边长为4，对角线是 ，顺次连接正方形abcd各边的中点，得到四边形efgh，所以利用中线性质可得四边形efgh的边长为。四边形efgh的周长等于 。由正方形的定义可知四边形efgh是正方形，所以面积等于8。5. （江苏省2009年3分）如图，已知是梯形abcd的中位线，def的面积为，则梯形abcd的面积为 cm2【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知def的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，ef是梯形abcd的中位线，def的高为 。def的面积为，。梯形abcd的面积为。三、解答题1. （江苏省常州市2002年8分）已知：在菱形abcd中，bad=600，把它放在直角坐标系中，使ad边在y轴上，点c的坐标为（）（1） 画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。（2） 写出a，b两点的坐标。（3） 设菱形abcd的对角线的交点为p，问：在y轴上是否存在一点f，使得点p与点f关于菱形abcd的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点f的坐标；如果不存在，请说明理由。（第37题不必写出计算过程）【答案】解：（1）本题有两种情况。画图，如图所示： 图1 图2（2）图1时：a（0，2），b（）；图2时：a（0，14），b（）（3）图1时：f（0，8）；图2时：f（0，4）。【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。【分析】（1）本题可分两种情况，如图。（2）情况一，如图1，过c作cfy轴于f，cdf=60，cf= ，。oa=ofaf=8（42）=2。a点坐标为（0，2）。又菱形的边长为4，因此将c点坐标向下平移4个单位就是b点的坐标（）。情况二，如图2，过c作cfy轴于f，cdf=60，cf= ，。oa=ofaf=8（42）=14。a点坐标为（0，14）。又菱形的边长为4，因此将c点坐标向上平移4个单位就是b点的坐标（）。（3）在（2）中所作的f点其实就是p点关于cd的对称点，理由如下：设cd与fp相交于点e，根据菱形的性质可知：fac=30，在rtfac中，fc=ac=pc。而dcf=dcp=30，ce=ce，cfecpe（sas）。cd垂直平分pf，即可得出p、f关于cd对称。由（2）即可得到两种情况下的点f 为（0，8）和（0，4）。2. （江苏省常州市2003年6分）如图，在平行四边形abcd中，efbc，ghab，ef、gh的交点p在bd上图中有 对四边形面积相等；他们是 。【答案】解： 3；saepg=sphcf、sabhg=sebcf、saefd=scdgh。【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质即可推出3对四边形的面积相等。在平行四边形abcd中，bd是对角线，sabd=sdbc，sbep=sbhp，sgpd=sdpf。让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得：，都加上sebhp可得sabhg=sebcf，再都加上sgpfd可得：saefd=scdgh。s四边形abpg=sabdsgpd=sbcdspfd=s四边形cbpf；s四边形adpe=sabd-sepb=scbd-shpb=s四边形cdph。图中有3对四边形面积相等，即：saepg=sphcf、sabhg=sebcf、saefd=scdgh。3. （江苏省常州市2004年7分）已知：四边形abcd的对角线ac、bd相交于点o，给出下列5个条件：abcd；oa=oc；ab=cd；bad=dcb；adbc。（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形abcd是平行四边形的有（用序号表示）：如与、 。（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形abcd是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明。4. （江苏省常州市2005年5分）如图，在abc中，点d、e、f分别在ab、ac、bc上，debc，efab，且f是bc的中点求证：de=cf【答案】证明：debc，efab， 四边形bdef是平行四边形 。 de=bf 。f是bc的中点，bf=cf。 de=cf。 【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形bdef是平行四边形；再根据平行四边形的对边相等可得de=bf，由中点的定义可得bf=cf；由等量代换可得de=c f。5. （江苏省常州市2006年5分）已知：如图，在四边形abcd中，ac与bd相交与点o，abcd，ao=co，求证：四边形abcd是平行四边形。【答案】证明： abcd，bao=dco。ao=co，aob=cod ， abocdo（asa）。ab=cd。四边形abcd是平行四边形。 【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】要证四边形abcd是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证ab=cd，继而需求证abocdo，由已知条件很快确定asa，即证。6. （江苏省常州市2006年6分）在平面直角坐标系中描出下列各点a（2，1），b（0，1），c（），d（6，），并将各点用线段一次连接构成一个四边形abcd。（1）四边形abcd是什么特殊的四边形？答：（2）在四边形abcd内找一点p，使得apb、bpc、cpd、apd都是等腰三角形，请写出p点的坐标。【答案】解：画图如下： （1）等腰梯形。 （2）p点的坐标为，（），（），。【考点】坐标与图形性质，等腰梯形的判定，线段中垂线的性质，勾股定理。【分析】（1）由a（2，1），b（0，1），c（），d（6，）得abdc，bc不平行于ad, 四边形abcd是梯形。 又由勾股定理可得 ， bc=ad。四边形abcd是等腰梯形。（2）如图，作ab和bc的中垂线，二者交点p即为所求。 由线段中垂线的性质和等腰梯形的对称性，得pa=pb=pc=pd， apb、bpc、cpd、apd都是等腰三角形。 此时，由点p在ab的中垂线上，点p的横坐标为1。 设点p的坐标为（1，y），由勾股定理，得 ，。 ，解得。 p的坐标为（1，4）。 如图，以点b为圆心bc长为半径交ab的中垂线于点p， 点p即为所求，此时有两点。 由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性， 得pa=pb=bc=ad，pc=pd，apb、bpc、cpd、apd都是等腰三角形。 此时，由点p在ab的中垂线上，点p的横坐标为1。 设点p的坐标为（1，y），由勾股定理，得 ，。 ，解得。 p的坐标为（）或（）。 如图，以点c为圆心bc长为半径交ab的中垂线于点p， 点p即为所求，此时有两点。 由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性， 得pc=pd=bc=ad，pa=pb，apb、bpc、cpd、apd都是等腰三角形。 此时，由点p在ab的中垂线上，点p的横坐标为1。 设点p的坐标为（1，y），由勾股定理，得，。 ，解得。 p的坐标为（）或（）。 当apb是以ab为腰或cpd是以cd为腰的等腰三角形时，bpc和apd都不可能是等腰三角形（可以验证）。 综上所述，满足条件的点p的坐标为，（），（），。7. （江苏省常州市2007年5分）已知，如图，在平行四边形abcd中，bad的平分线交bc边于点e求证：be=cd【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，ab=cd。dae=bea。ae平分bad，bae=dae。bae=bea。ab=be。又ab=cd，be=cd。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定。【分析】先根据平行四边形的性质，求出ab=cd，dae=bea，再根据角平分线的性质，确定bae=dae，结合等腰三角形等角对等级边的判定证出be=cd。8. （江苏省常州市2007年6分）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于 ；当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义【答案】解：（1）40。0。（2）不合理。例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等。合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。【考点】新定义，菱形、矩形和正方形的判定和性质。【分析】（1）由菱形的一个内角为700，则另一个内角为1100。“接近度”。 根据正方形的判定，有一个角是直角的菱形是正方形，则由得。（2）不合理。合理定义方法不唯一。9. （江苏省常州市2007年9分）已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，连接（1）当时，求的面积；（2）设，用含的代数式表示的面积；（3）判断的面积能否等于，并说明理由【答案】解：（1）正方形的边长为6，。又，即菱形的边长为。在和中，。，。，菱形是正方形。同理可以证明。，即点在边上，同时可得。（2）作，为垂足，连结。，。，。在和中，。无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2。（3）若，由，得。此时，在中，。相应地，在中，即点已经不在边上。故不可能有。【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，反证法的应用。【分析】（1）由已知可用证得和，从而此时菱形是正方形。同理可以证明，从而证得点在边上，同时可得。面积可求。（2）通过的证明，得到无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2的结论。的面积可求。（3）用反证法，先假设，得出与已知条件矛盾的结论。从而证明。10. （江苏省常州市2008年7分）已知:如图，在矩形abcd中，e、f分别是边bc、ab上的点，且ef=ed，efed.求证:ae平分bad.【答案】证明：四边形abcd是矩形，b=c=bad=90，ab=cd。bef+bfe=90。efed，bef+ced=90。bfe=ced。bef=cde。又ef=ed，ebfdce（asa）。be=cd。be=ab。bae=bea=45。ead=45。bae=ead。ae平分bad。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。【分析】要证ae平分bad，可转化为abe为等腰直角三角形，得ab=be，又ab=cd，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定asa即求可得证。11. （江苏省2009年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形【答案】解：（1）ad=bc。理由如下：adbc，abde，afdc，四边形abed和四边形afcd都是平行四边形。ad=be,ad=fc，又四边形aefd是平行四边形，ad=ef。ad=be=ef=fc。ad=bc。（2）证明：四边形abed和四边形afcd都是平行四边形，de=ab,af=dc。ab=dc，de=af。又四边形aefd是平行四边形，四边形aefd是矩形。【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）由题中所给平行线，不难得出四边形abed和四边形afcd都是平行四边形，而四边形aefd也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边ad，所以可得出ad=bc的结论。（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形只要证明de=af即可得出结论。12. （江苏省常州市2010年7分）如图，在abc中，abac，d为bc中点。四边形abde是平行四边形。求证：四边形adce是矩形。13. （2011江苏常州7分）已知：如图，在梯形abcd中，abcd，bc=cd，adbd，e为ab的中点。求证：四边形bcde是菱形【考点】梯形, 等腰三角形，直角三角形，平行，菱形。15. （2012江苏常州7分）如图，在四边形abcd中，adbc，对角线ac的中点为o，过点o作ac的垂直平分线分别与ad、bc相交于点e、f，连接af。求证：ae=af。【答案】证明：连接ce。adbc，aeo=cfo，eao=fco，。 又ao=co，aeocfo（aas）。ae=cf。四边形aecf是平行四边形。又efac，平行四边形aecf是菱形。ae=af。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由已知，根据aas可证得aeocfo，从而得ae=cf。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判