经济数学基础讲义 第6章 积分应用.doc

第3章 积分应用3.1 积分的几何应用 积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质先讲平面图形的面积计算怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值 y x O a b x x+x将这块土地抽象成坐标系中的这个图形 （如图2_3_1），图形上端曲线方程为，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即图形的面积近似为,小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值 这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题如果用表示图形的面积，由定积分的定义可知.从这个问题的解决可以看出，当时，的几何意义就是由曲线与轴及直线 所围的平面图形的面积通过例子说明：当时，的几何意义就是表示由曲线与轴及直线所围的曲边梯形的面积再来看一般的情况，计算如下图形的面积 y x O a b图形上面的曲线为，下面的曲线为，由定积分的几何意义可知图形的面积为或表示为一个积分是在对称区间上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是这个结论可以由几何直观加以验证 y x Oa a y x Oa a y x O 1 2从上图可以看出，当是奇函数时有；当是偶函数时有例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积 y x O 1 2 2解：按三角形面积公式有:用定积分计算（如图）例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积解：按梯形面积公式有: y x O 2用定积分计算（如图）例3求半径为2的圆的面积解：按圆的面积公式有用定积分计算（如图）令，则，时；时 y x O 1 1 2例4 求由，及轴和轴围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示 y x O 1 /2例5 求由，轴在区间上围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示 y x O 1 1例6 求由，所围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示，在区间上在区间上由此得例7计算解：因为都是偶函数，是奇函数所以是偶函数，是奇函数由此得 3.2 积分在经济分析中的应用若某产品的销售曲线为，它表示该产品在单位时间里的销售额考虑从到时间段内的销售总额如果在到 时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时间间隔乘以这个常数 但现在单位时间里的销售额是个变量，不能这样简单地计算 利用定积分的思想，把时间间隔分割成很多小的时间段，将每个小段时间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为,则在到时间段内的销售总额可近似为.最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于0，得到从到时间段内的销售总额为,这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了一个定积分例1 若一年内12个月的销售额随着时间的增长而增长，具体的销售曲线为，求一年内的销售总额 解：（元）例2 若已知某企业的边际成本函数为，且固定成本 ，求产量由100增加至200时总成本增加多少 解法一：解法二：,已知，得，即3.3.1 微分方程的基本概念设总成本函数为，已知条件为且，求是未知函数，将此问题用数学语言表成:边际成本是，即固定成本是90，即这就是一个完整的数学模型，它由一个方程和一个90的等式组成在这个方程中要求的是一个未知函数，另外在方程中还出现了未知函数的导数（或微分）这样就得到第一个概念：定义3.1 含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程看下面两个方程:,这是两个微分方程第一个方程中出现未知函数的一阶导数，第二个方程中出现了未知函数的一阶导数和二阶导数这样就得到第二个概念：微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶上面所列第一个方程是一阶微分方程，第二个方程是二阶微分方程再看最初的问题这个问题的答案有:,代入方程中使之成为恒等式这样就得到第三个概念：如果函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使这个微分方程成为恒等式，则称此函数是该微分方程的解微分方程的解有很多，和80都是微分方程的解，它可以分为两种：不带任意常数的解称为特解带有任意常数（且常数的个数等于微分方程的阶数）的解称为通解是微分方程的通解，是微分方程满足的特解已知自变量取某值时，未知函数（或导数）取特定的值，这样的条件称为初始条件， 含有初始条件的微分方程称为初值问题归纳起来可知是一阶微分方程；是一个初始条件；是一个初值问题；是的通解；是的特解未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程例：已知某种产品的需求弹性恒为，且当价格为2时需求量为300，求需求函数解：设需求函数为，应满足这就是整个问题的数学模型，是一个初值问题如何求将是下面要讲的内容3.3.2 一阶微分方程什么是可分离变量的微分方程，如果一般形式的微分方程可以变形为，这种形式的微分方程叫做可分离变量的微分方程在这种情况下，可分离变量为,两边分别求不定积分，左边对求，右边对求：如果，分别是和的原函数得,即有上式就是可分离变量的微分方程的通解，其中是任意常数例1解：分离变量得两边积分得即将代入上式得，即由此得例2求的通解解：分离变量为两边积分，得方程的通解是，其中是任意常数3.3.3 一阶线性微分方程 方程称为一阶线性微分方程下面导出求解公式我们希望将的左端变为某个函数的导数，这样只需对右端求积分就可简单求解，但一般做不到，需要在方程两端乘一个函数，得,适当选择使成为某个函数的导数根据乘积的导数公式，应该有,由上式解出,称为积分因子，将其乘到方程两端，等式左端等于