用函数观点看一元二次方程.doc

用函数观点看一元二次方程教学设计与教学反思（初中数学九年级）一、学情分析：大部分学生上课能够积极发言，认真完成作业，学习态度端正，但缺乏一定的学习方法，也缺少学习毅力，在某种程度上还是不能够严格要求自己。二、教学内容分析：1、教学目标知识与技能：总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。情感态度价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想。2、重点、难点分析：重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。三、教学过程设计：（一）创设情境、导入新课问题1 如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t-5t2。考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程 1520t-5t2。t2-4t+3=0。t11，t23。当球飞行1s和3s时，它的高度为 15m。分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程 1520t-5t2。t2-4t+3=0。t11，t23。答：当球飞行1s和3s时，它的高度为 15m。(2)解方程 2020t-5t2。t2-4t+40。t1t22。答：当球飞行2s时，它的高度为 20m。（3）解方程 20.520t-5t2。t2-4t+4.10。因为(4)244.10。所以方程无解。答：球的飞行高度达不到 20.5m。（4）解方程 020t-5t2。t2-4t0。t10，t24。答：当球飞行0s和4s时，它的高度为 0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。画出二次函数h=20t-5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案。从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y-x2+4x的值为3，求自变量x的值。可以解一元二次方程-x2+4x3(即x2-4x+30)。反过来，解方程x2-4x+30又可以看作已知二次函数yx2-4x+3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数yax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c0。（二）尝试练习、互助纠错1、二次函数(1)yx2+x-2；(2) yx2-6x+9；(3) yx2-x+1的图象如下图所示（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y-x2+4x的值为3，求自变量x的值。可以解一元二次方程-x2+4x3(即x2-4x+30)。反过来，解方程x2-4x+30又可以看作已知二次函数yx2-4x+3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数yax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c0。2、二次函数(1)yx2+x-2；(2) yx2-6x+9；(3) yx2-x+1的图象如下图所示（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可以看出：（1）抛物线yx2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1；当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2+x-2 = 0的根是-2，1。（2）抛物线yx2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x3时，函数的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。（3）抛物线yx2-x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2-x+1 = 0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y = ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。（三）归纳总结一般地，从二次函数yax2+bx+c的图象可知，（1）如果抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于