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文档简介
专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质一、函数性质1、函数单调性:例1:已知在上是x的减函数,则a的值取范围是 。 答案:(1, 2)2、函数图象的对称性与周期性例2:设函数,且在闭区间0,7上,只有()试判断函数的奇偶性;()试求方程在闭区间2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.解: (i)由于在闭区间0,7上,只有,故若是奇函数,则,矛盾所以,不是奇函数由,从而知函数是以为周期的函数若是偶函数,则又,从而由于对任意的(3,7上,又函数的图象的关于对称,所以对区间7,11)上的任意均有所以,这与前面的结论矛盾所以,函数是非奇非偶函数 (ii) 由第(i)小题的解答,我们知道在区间(0,10)有且只有两个解,并且由于函数是以为周期的函数,故所以在区间2000,2000上,方程共有个解在区间2000,2010上,方程有且只有两个解因为,所以,在区间2000,2005上,方程有且只有两个解在区间2010,2000上,方程有且只有两个解因为,所以,在区间2005,2000上,方程无解综上所述,方程在2005,2005上共有802个解.二、分段函数:例3:已知函数,(为常数)函数定义为:对每个给定的实数,(1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示);(2)设是两个实数,满足,且若,求证:函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为)解:(1)由的定义可知,(对所有实数)等价于(对所有实数)这又等价于,即对所有实数均成立. (*) 由于的最大值为, 故(*)等价于,即,这就是所求的充分必要条件(2)分两种情形讨论 (i)当时,由(1)知(对所有实数)oyx(a,f(a)(b,f(b)图1则由及易知, 再由的单调性可知,函数在区间上的单调增区间的长度为(参见示意图1)(ii)时,不妨设,则,于是 当时,有,从而;当时,有从而 ;当时,及,由方程oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2 解得图象交点的横坐标为 显然,这表明在与之间。由易知 综上可知,在区间上, (参见示意图2)故由函数及的单调性可知,在区间上的单调增区间的长度之和为,由于
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