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数值计算方法教学要求与教学建议 数值计算方法课程是信息与计算科学、计算机科学与技术、数学与应用数学专业学生一门专业基础课，是信息与计算科学专业的KCP课程，它是为培养学生科学计算能力，也是用计算机处理各种实际问题的桥梁和纽带。（一）误差分析 4学时要求：1 了解数值计算方法的主要研究内容。2 理解误差的概念和误差的分析方法。3 熟悉在数值计算中应遵循的一些基本原则。建议：1 重点介绍绝对误差、相对误差、有效数字等概念，把握相对误差与有效数字间的关系。 2 详细介绍数值计算中应遵循的基本原则：避免相近两数相减，防止有效数字丢失；防止大数吃掉小数；绝对值相对太小的数不宜作除数；尽量简化运算步骤，减少运算次数；要选取数值稳定的算法。（二）插值法 12学时要求：1.了解插值的一般概念和多项式插值的存在唯一性。2.熟练掌握Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、分段低次插值及三次样条插值的求解。3.熟悉曲线拟合的最小二乘法，能熟练地求矛盾方程组的最小二乘解。4.能对Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、三次样条插值、曲线拟合的最小二乘法等编程上机调试和运行。建议：1 区分插值与拟合。2 重点介绍Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、分段低次插值及三次样条插值的求解以及对Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、三次样条插值、曲线拟合的最小二乘法等的计算机实现上。3 详细介绍曲线拟合的最小二乘法和矛盾方程组的最小二乘解。（三）数值逼近 10学时要求：1 了解函数逼近的基础知识。2 熟悉几种正交多项式。3 能熟练地用切比雪夫定理求函数的最佳一致逼近多项式。4 能求一些简单函数的最佳平方逼近多项式。建议： 根据教材的具体情况，可以将这部分内容换为矩阵的特征值问题。先介绍矩阵的初等变换和QR分解，后介绍幂法、反幂法、QR方法等。（四）数值微分与数值积分 10学时要求： 1 了解数值积分的基本思想，能够熟练地确定具体求积公式的代数精度及确定求积公式的节点和系数。2 熟练地用Newton-cotes公式,Romberg公式，Gauss公式等进行数值积分3 了解数值微分的中点方法、插值法、五点法、样条法。建议：1 重点介绍求积公式的代数精度、Newton-cotes公式、复合求积公式与,Romberg公式。 2 对高斯求积公式，只要求掌握两点、三点公式即可。 3 简单介绍数值微分。（五）线性方程组的解法 18学时要求：1 熟练掌握高斯消去法2 熟练地实现矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。3 掌握线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。4能熟练地求向量和矩阵的1-范数、2-范数、 -范数和条件数。5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收敛的基本定理。6 掌握解线性方程组的雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法、逐次超松驰（SOR）迭代法。7能写出线性方程组的各种直接解法和间接解法的算法，并能编程上机运行。建议：1 重点分析矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法和线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。详细列出各种算法。2 详细介绍向量及矩阵范数、条件数和误差分析。3 重点讲解迭代法的思想和迭代收敛的基本定理，线性方程组的雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。（六）非线性方程组的求根 10学时要求：1 理解方程求根的逐步搜索法的含义和思路2 掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法及简化牛顿法、劈因子法、非线性方程组求根的牛顿法3 熟悉各种求根方法的算法步骤，并能编程上机调试和运行。建议：1 重点讲授迭代方法及其收敛条件、局部收敛问题、牛顿迭代方法及其简化牛顿法。 2 分析算法。（七）常微分方程的数值解 8学时要求：1 理解常微分方程的数值解的含义2 掌握常微分方程的各种数值解法并能用以解决一些简单的实际问题，理解其算法思想。3 能够编程上机运行求出常微分方程的数值解建议：1 重点介绍欧拉方法及其变式、龙格库塔方法和线性多步法 2 分析计算机实现的龙格库塔方法。三、课程的其他教学环节数值计算方法上机实习要求：（一）插值方法 12学时1 分析Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值、多元线性拟合的算法并编拟计算机程序。2 观察拉格朗日插值的龙格现象。3 观察最小二乘法的数值不稳定现象。4 探索改善最小二乘法的数值不稳定的可能。5 探索对于非光滑函数多项式插值的可能性。（二）方程求根 2学时1 分析二分法、牛顿法、弦截法求根的算法并编拟计算机程序。2 学会估计迭代法收敛的阶，比较牛顿法对于收敛的性态。（三）线性方程组的解法 3学时1 写出矩阵三角分解的算法和计算机程序2 分析用Dolittle法、Crout方法、Cholesky方法、LDR方法、追赶法解线性方程组的算法并完成计算机程序。写出列主元消元法的算法与程序。3写出求解线性方程组的雅可比算法、高斯赛德尔算法和SOR算法并编制计算机程序。4 研究处理病态问题可能遇到的困难。5 了解SOR迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系。（四）数值积分 3学时1 分析变步长的梯形公式、抛物线公式和龙贝格公式求数值积分的算法与程序。2 查看数值积分公式对于某些函数类的计算结果。3 研究计算多重积分的蒙特卡罗（随机抽样）方法。（五）常微分方程的数值解法 3学时1 分析改进欧拉方法、龙格库塔方法、线性多步法的算法和写出计算机程序。2 比较不同方法用于“非光滑”问题的解的结果。3 利用实际例子“筛选”有效算法。四、说明1 本课程的先选课程为数学分析、高等代数、C语言程序设计等。2 在完成数值实验的基础上，有条件的可以安排一次课程设计，以便对今后的毕业设计作前期准备。五、课程使用的教材和主要参考书使用教材：数值计算方法与算法，张韵华等编著.科学出版社.2001主要参考书：1.数值计