用伸缩变换赏析2015年高考解析几何试题.pdf

羁 勖 6 鼢 6 勖毛 9 中学数学杂志2 0 1 5年第 7期 用伸 缩变换 赏析 2 0 1 5年 高考解析几何试题 浙江省春晖中学 杭州师范大学2 0 1 2 级教育硕士 3 1 2 3 5 3 林国夫 高考试题是课堂教学丰富而宝贵的资源 分析和 研究高考试题对于把握高考试题的命题趋势 提高课 堂教学效率具有 十分 重要 的积极作 用 纵 观 2 0 1 5年各 省市的高考解析几何试题 笔者惊奇地发现 利用伸缩 变换的不变性来赏析这些试题 不仅可以得到非常简 洁的解法 而且从一定程度上还能窥看到这些试题命 制的源泉 本文拟就此发表笔者的一些粗浅想法 供读 者参考 为了便于后续问题的探讨 我们首先不加证明 地介绍伸缩变换及其不变性 相关证明读者可以参考 相关 文献 在平 面 直 角 坐 标 系 中 给 出 变 换 尸 Y 一 P Y 其中 我们就可将椭圆中复杂的问题等价转化为单位圆中相 应的简单问题 下面我们利用该原理来赏析 2 0 1 5 年高 考中涉及椭圆的部分解析几何试题 1 利用伸缩变换赏析解析几何中的位置关系 由于伸缩变换保 持结 合性 平 行关 系和线 段 比例 关系 利用这些性质我们可以将椭圆中的位置关系转 化为单位圆中的相应位置关系 以此可以规避椭圆中 的复杂运算 例 1 2 0 1 5年全国卷 理科 第 2 0 题 已知椭 圆 c 9 Y m r n 0 直线 z 不过原点且不平行于坐 标 轴 z 与 C有两个交点 A B 线段 A B的 中点为 M 三 I 证明 直线 的斜率与f 的斜率的乘积为定 a 1 自 a 0 6 0 我们称变换 为平面直角坐标中的伸缩变换 对于给定的三点 a x Y B x Y c x Y 及直线 z f 设其在变 换 T 的 像 分 别 为 A 孕 孥 c 孕 a o a o a o 及直线 z 平 面 曲线 在 变换 下 的像 为平面 曲线 厂 则 变换 具有下列性质 性质 1 共 线 结合 性 即A 百 A A C 甘 A B A A c z l z 2 车 f z A F v A F 性质 2 若直线 A B的斜率 k 存在且非零 则直线 A B 的斜率 k 存在 且 a 性质 3 若 A 曰 c三点不共线 则 A A B C的 面积 为 s A c 的面积为 Js 则 a b 性质 4 曲线厂的方程为 厂 Y 0 则曲线 厂 的 方程 为 口 b y 0 另外为了后续行文的简洁 无特别说明 我们都默 认 点 P 直线 Z 曲线 Jr 在变换 下的像分别为点 P 直 2 2 线 z 曲线 厂 显然在伸缩变换 下 椭圆E a D 1 a b 0 的像为单元圆 Y 1 结合上述性质 1I 若z 过点 了m m 延长线段 0 与 c交于点 P 四边形 O A P B能沓为平行四边形 若 能 求此时 Z 的 斜率 若不能 请说明理 由 V A 1 一 x 图 1 证明 I 引入伸缩变换 T y 一 三 车 n m b m 则椭圆 C的像为单位圆 如图 1 所示 考虑到 0 M 上A B 则 k k 一1 从而直线 O M A B的斜 率 乘 积 B 丢 a a 一 1 一 9 为 0 定值 1 I 要使得 四边形 O A P B为平行 四边 形 则根 据 变换 的不变性 其像 0 A P B 也为平行四边形 考虑 到点 为 A B 的中点 从 而只需 M 也为 0 P 的 中点 即可 故只需原点 0 到经过点 1 1 的直线 l 的距离 本文系 2 0 1 5年绍兴 市教改项 目 架构立体式 知识体 系提升学生竞技水平的研究 L j 实践 阶段性研究成果 为 即可 设直线z 的斜率为J 则z 的方 程为 Y 一 1 0 则 求 直 线 z 的斜率 3 k 4土 从而满足条件的直 线 z 存在 其斜率为4 7 2 利用伸缩变换 赏析解 析几何中的弦长关 系 设线段 A B在伸缩变换 下的像为线段 A 曰 显然 在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系 但 是我们 可以利用斜率 的不 变关系 即性 质 2 寻找 I 日I I 曰 l的关系 即设线段 A B所在直线斜率为 篙 一 利用这个关系我们可以将椭圆中的弦长问题转化 为单 位圆中的弦长问题 例 2 2 0 1 5年陕西省高考理科数学第 2 0题 已 2 2 知椭 圆 E 1 6 0 的半焦距为 c 原点 0 b 1 0到经过两点 c 0 0 b 的直线的距离为 c 二 I 求椭圆 E的离心率 1I 女 图2 A B是圆g 2 Y一1 的一条直径 若椭圆E经过A B两点 求椭圆E的方程 l 一 j V l 一 9 图 2 解 I 过点 c 0 0 6 的直线为 b x c y b c 0 则 原 点 到 此 直 线 N N d 号 故 2 b 即2 6 z 4 1 3 故 椭 圆 E 的 离 心 率 为 拿 I I 设椭 圆 E的方程为 Y I A 0 引 入 伸 缩 变 换7 1 一 车 2 A 6 A 则椭圆 E在变换 下的像为单元圆 如图2所示 由于点 一2 1 为 A 日的中点 故 一 1 1 为 A B 的中点 则在单位 圆中 I A B I 2 2 且 从 而 在 椭 圆 E 中 一 一 1 从 而 厂 l 船I 一 2 A 寺 J A B 0 l J J 2 J 一 v 厂 A 一2 又由于 I A l v 厂 而 故 而 A 一2 v 厂 而 求得A 3 故所求的椭圆E的方程 为 1 3 利用伸 缩变换赏析解析几何 中的面积关 系 由于 在 伸 缩 变换 下 AA B C的 面积 与其 像 A B G 的面积间具有非常好的不变性 垒 a b 而 B C 圆中的内接三角形面积的计算远比椭圆中的内接三角 形 面积的计 算要简单 因此利 用伸缩 变 换来 处理 椭 圆 中的三角形 的面积会 比用常规方法求解要简单很多 例 3 2 0 1 5年上海市高考数学第 2 1 题 已知椭 圆 2 y 1 过原点的两条直线 Z 和 Z 分别与椭 圆交 于 A 曰和 C D 记得到 的平行 四边形 A C B D的面积为 S I 设A Y C X 2 Y 用A C的坐标表示点 C到直线 l 的距离 并证明 s 2 l X 1 Y 一x z Y I 1 1I 设z 与z 的斜率之积为 一 求面积S 的值 解 I 显然点 C Y 到直线 Z 的距离 d即 为0 C Y 在直线 A 曰的法 向量 y 一 方 向 上 的 投 影 的 绝 对 值 即 d 1 Y2一 2 Yl Y xl y2 一 2 y1 而 S l A B I d 2 引 入 伸缩 变 换T y 车 1 b D 5 2 则椭 圆在变换 T 下的像为单位 圆 如 图 3 所示 由 4 7 于直线 l 与 l 的斜率之积为 k 一 1 则直线 l 与 l 的像z 与z z 的斜率之积 k 后 2 一 一 1 也 即 A B 上 c D 从 而 平 行 四 边 形 A B C D 是边长为 的正方形 其面积为 2 故平行四 边形 A B C D 的面积 S a b S 4 fiz S 一 j j 图 3 例 4 2 0 1 5年湖北省 高考理科数 学第 2 1 题 一 种作 图工具如 图 4所示 0是 滑槽 A B的 中点 短杆 O N 可绕 0转动 长杆 MN通过 处铰链与 O N连接 MN上 的栓子D可沿滑槽 A B滑动 且D N O N 1 MN 3 当 栓子 D在滑槽 A B内作往复运动时 带动 绕 0转 动一 周 D不动时 也不动 处的笔尖画出的曲线记为 c 以0为原点 A B 所在的直线为 轴建立如图4 所示的 平面直 角坐标 系 I 求曲线 C的方程 I I 设动直线 z 与两定直线 z 一2 y 0 和z 2 y 0 分别交于P Q两点 若直线 f 总与曲线 C有且只 有一 个公 共点 试探 究 O P Q的 面积是 否存 在 最小 值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 y v o 支 图 4 解 I 略 曲线 c的方程为 4 y 1 6 即 V 1 4 1 z 4 2 r l r2 r l r2 r1 r2 故 0 P Q 的面积S q r r 的最小值为 1 当点日 在 坐标轴上 故 AO P Q的面积 s a b S 8 S 的最小值 为 8 此时直线 l 与椭圆 C的切点在坐标轴上 例 5 2 0 1 5年山东省高考理科数学第2 0题 平 面直角坐标系中 已知椭圆 c y 1 b 0 的离心率为 其左 右焦点分别是 F F 以 F 为圆 心以 3 为半径 的 圆与 以 F 为 圆心 以 1为半径 的 圆相 交 且交点在椭 圆 C上 I 求椭圆 C的方程 设椭 圆 E 4 a 24 a 4 b 6 0 点 P为 椭 圆 C上任意一点 过点 P的直线 Y k x m交椭圆 E 于A 两点 射线 0 P交椭圆E于点 Q i 求 的值 i i 求 AA B Q面积 的最大 值 解 I 由题得 2 a 4 故 2 又 e 从而 b 1 即椭 圆 C的方程 为 Y 1 1 I i 椭 圆 E的方程为 4 1 引入伸缩 变 换T y 一 善 4 b 2 则 椭圆 E 的 像 为 单位 圆E 椭圆 c的像 为圆 c 2 t I 如图 6 所示 一 i 图 6 一 j 显然 x o a x 2 e l x Q I 丽w O Q I 故 l O Q I l 0 Q 1 一 一 一 I OP f l 0 P I 1 2 i i 在单位圆中 设 Q 0 到直线 A B 的距离为 d d 由条件得 Q 3 d 故 AA B Q 的面积 S 踟 I A I l I d 0 3 3 4 1 一 d 由于 0 l O P l 1 从而d E O 1 故当 1时 s 有最大值 故 A B Q的 面积 S 伽Q a b S 即 8 S 叫 有最大值 6 5 综合上 述 AA B Q面积的最大值为 6 例 6 2 0 1 5年浙江省高考理科数学第 1 9题 已 知椭圆 y 2 1 上两个不同的点A B 关于直线Y 2 对称 I 求实数 m的取值范围 求 A O B面积的最大值 0为坐标 原点 1 y j t 一 f o 图 7 y 2 测 邮 暑 另 一 方 面 点 在 直 线 y V 2 m x 上 故 Y O 1 由此 可求得点 的坐标为 c 一 一 考虑到点M 一 1 一 1 在单位圆内部 从 而 v 2m 2 一 一 求 得 m 一 或 一 综合上述 所求的实数 m的取值范 为 一 U 显 然 在 单 位 圆 中 A 的 面 积 s I I B I s i n A 1 当且仅当 A t 取等 油 于M 一 蒋 譬 艄m E 一 一 由此 AA O 的 解 I 引人伸缩变换T Y 一 兰 a D 6 1 则椭圆 y 1 的像为单位圆 如图7 所示 直线 z y 似 1 m 0 的像为 直线 z 舭 由于点 为 中点 从而 点 M 为A B 的中点 故 k k 枷 一1 又 A B上z 故 k 佃 k 一1 从而直线A B 的斜率 k 枷 与直线 l 的斜 率 一 满足 枷一 r a 仰 a a 6 k 0 0 一 2 考虑 到直线 z 的斜率为 m 则直线 一 直线 D 的斜率 k 面积的 最大 值为 故A A O B 的面积S a b S s 的 二 最 大值 为 Z 综合上述 利用伸缩变换来求解椭圆中的问题不 仅可以回避复杂的解析代数运算 而且还能从根源上 发现试题的