探究勾股定理与面积之间的关系.docx

数学课后作业改编案例 探究勾股定理的证明 南浔锦绣实验学校 郭斌斌背景： 勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么，若a、b、c都是正整数，则(a,b,c)叫做勾股数组。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。新浙教版2.7探索勾股定理（1）中，只介绍了一种证明方法，介于勾股定理证明的趣味性和学生对于证明方法的理解性而言，我觉得有必要对勾股定理的证明方法进行拓展、延伸和提炼。原题：作业本2.7探索勾股定理（1）第7题如图1，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面ABCD横倒后的位置设AB=a,BC=b,AC=c,利用梯形面积的不同算法可以说明勾股定理请你试一试，看能不能推导出勾股定理.改编：如图1，将一个直立的火柴盒在桌面上横向倒下，火柴盒的一个侧面ABCD横倒后的位置（1） 请你利用4个全等的直角三角形，来验证勾股定理，要求：1.所得图形不同于图1；2.以4人一小组为单位进行合作讨论，画出所得图形，并写出证明过程.（2） 请你利用2个全等的直角三角形，来验证勾股定理，以4人一小组为单位进行合作讨论，画出所得图形，并写出证明过程.（3） 请你利用直角三角形和正方形的组合，来验证勾股定理，以4人一小组为单位进行合作讨论，画出所得图形，并写出证明过程.设计意图： 主观上：曾经看到过这样一则故事，内容大致是：1876年一天的傍晚，当时美国共和党议员伽菲尔德正在散步，他走着走着，突然发现附近的小石凳上有两个小孩正在谈论着什么。由于好奇心驱使，他向两个小孩走去，只见其中一个正用树枝在地上画着一个直角三角形，于是便问他们在干什么。那小孩说：“先生，如果两条直角边长为5和7，那么斜边长是多少？”他不假思索地回答：“斜边的平方等于5的平方加上7的平方。”小孩又说：“你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，心里很不是滋味。于是他立即回家潜心探讨，经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理。（后来我们知道伽菲尔德成为了美国第21届总统，他证明勾股定理的方法取名为“总统证法”）由此可见勾股定理有着很大的魅力，所以我觉得有必要对勾股定理的证明方法进行拓展、延伸和提炼，好让学生能够进一步体会勾股定理之美。客观上：数学课上不仅要进行知识的传授，而且要重视数学思维能力的培养及个性品质的形成。就需要学生积极参与课堂教学，变被动接受为主动探究，真正发挥学生的主体作用，为了达到这样的教学效果，我们教师除了要根据教学内容精心设计例题之外，还需要对习题进行改编或者原创，只有这样才能起到事半功倍的作用。在提高学生学习积极性，培养参与意识和学习兴趣的同时，还能促进知识的迁移，沟通知识的内在联系，从而形成知识的网络结构。实施策略：小组合作学习基本步骤如下：1.以4人一小组为单位进行合作讨论，小组成员的构成包含不同学习程度的学生，小组成员间的座位是采用面对面和相邻的形式，这样有利于互相学习、讨论；2.组内成员分工明确，第1位学生要集合大家的智慧，利用所给的直角三角形或者直角三角形和正方形（直角三角形、正方形课前发给每一个小组），要摆出正确的图形，第2位学生要根据所摆出的图形快速的在白纸上画出该图形，第3位学生需要集合大家的智慧记录下利用证明过程，第4位学生作为小组发言人展示小组的合作学习成果；3.完成习题的（1）之后，每个小组内部成员之间的角色要相互转换一次，在完成习题的（2）之后，每个小组内部成员之间的角色再相互转换一次，尽可能的使每个成员都能从不同的位置和角色上得到体验、锻炼和提高。4.由于小组中的每个成员都有自己的认知结构和自己思想方法的局限性，所以课后请每个小组成员记录下在合作讨论中的收获。学生答题情况由于学生已经学过新浙教版2.7探索勾股定理（1），所以对于勾股定理证明的思想方法有了一定的成功体验和积累，就是利用面积法，即用两种不同的方法表示出同一块图形的面积，根据等量关系从而完成对勾股定理的证明。但是此题显然不是简单的按部就班，而是需要学生的创新精神和数学构造思想的一种结合，不仅如此，此题还要求学生的发散思维，追求图形构造的多样化，综上所述，这题应该具有一定的难度，对学生的数学综合运用能力要求比较高。第（1）题的答题情况：所有小组都能构造出如图2的图形，少部分小组还能构造出如图3的图形，但当老师加以适当的引导：1.图2能成功的验证勾股定理的关键点你认为是什么；2.要产生就需要做到四个直角三角形的斜边互相垂直，这样引导之后所有小组都能构造出如图3的图形。第（2）题的答题情况：所有小组都能构造出如图4的图形，也都能想到需要连结DE,并且能借助图4完成勾股定理的证明，方法如下： 当追求所摆图形的多样化时，却遇到了一定的困难，只有少数小组能构造出如图5或如图6的图形，只有个别小组能构造出如图5和如图6的两个图形。但当老师加以适当的引导：1.我们已经从第（1）题获得了哪些成功的经验；2.如何做到两个直角三角形的斜边互相垂直，这样引导之后大部分小组都能构造出如图5、如图6的一个或者两个图形。对于利用已经构造出的如图5和如图6的两个图形来完成勾股定理的证明，显然对于学生而言并非易事，也只有2个小组能胜利完成证明过程，因此老师作了适当的引导：1.观察如图4的图形，为什么会想到连结DE,是因为能够产生，事实上产生的是面积；2.居然如此，那么我们能不能用类比思想来解决问题，能不能在如图5和如图6的图形中产生面积，这样引导之后大部分小组都能想到连结如图7、图8中的DB,从而能进一步利用图形来完成勾股定理的证明，学生的具体证明过程如下：如图7证明过程：如图8证明过程：第（3）题的答题情况：有了第（2）题完成对于勾股定理证明的基础，大部分小组能够构造出至少1个图形，而且也能够利用面积法完成对于勾股定理的证明，学生所画出的具体图形如下：评价建议：小组合作的评价：1.小组合作学习为学生创设了一种民主、平等、和谐的课堂氛围，学生在合作中享受愉悦、自由的感觉，学习的压力和畏惧的心理消除了，学生寻找到了学习的乐趣，体验到了参与合作的快乐，因此在整个探究勾股定理证明的过程中，每一位小组成员参与学习的积极性都非常高；2.合作学习最大的优势是充分发掘和利用了人际资源。在合作中懂得了“一花独放不是春，百花齐放春满园” ，“众人拾柴火焰高”的道理。也明白了只有大家同心协力，精诚合作，才能把事情做好，所以在一个小组里的每个成员都能够主动思考，各司其职，互相帮助，共同完成构造图形 画出图形写出证明过程展示小组学习成果的目标；3.学生在合作讨论中思维常常会产生碰撞，碰撞出智慧的火花。而本题又要求构造图形的多样化，所以学生会尝试不同的方案来解决，因此每一位小组成员的思维都很活跃，创新意识在无形中提高；4.通过小组合作学习的开展，学生的集体荣誉感增强，团队意识增强。学生在合作中逐渐学会了尊重，学会了倾听，也逐渐学会了如何与人交往，如何做人等良好的品质。命题反思：1.题目的起点不够低，从第（1）题的小组合作的过程来看，尽管绝大部分的小组能够构造出图形，并能写出勾股定理的证明过程，但是在每一小组中学习基础相对薄弱学生的主动参与性不强，也就是他们的参与实际上是被动的，这可能与题目的难度有关，如果题目的难度再降低点，那么他们的参与很有可能变被动为主动；2.从整个题目的设计，教师的引导，学生的答题情况来看，可能存在一定的缺陷，我们已经知道，能够成功证明勾股定理的图形，那么就要做到直角三角形的斜边应该是互相垂直的，而斜边互相垂直的情况不一定是顶点要重合，也有可能是顶点不重合的，比方说如图9，事实上这个图形也是能够证明勾股定理的，过程如下：所以从思维的严谨性上考虑应该要让学生走出只构造出顶点重合的情形，至少从图形上要知道不一定是顶点要重合； 3.命题设计的完整性还不够，课堂教学的目的就