基础班讲义-线代专项讲解与突破【汤家凤】.doc

说明：“考研数学复习资料”是系列文档，如大家需要相关文档可在搜索框中输入“考研数学复习资料”即可找到相关文档，该系列资料有“猪猪宝贝enjoyd”收集整理，也可直接搜索“猪猪宝贝enjoyd”搜索该用户上传的相关文档线性代数部分第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。定义2 逆序数设是的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式由个数组成的下列记号称为阶行列式，规定 。定义4 余子式与代数余子式把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元素之积。2、上（下）三角行列式称及为上三角行列式和下三角行列式，它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式形如 称为阶范得蒙行列式，且。三、行列式的性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。很多人的失败是输在时间上的，我做事情特别注重效率。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“速读记忆让我的考研复习奔跑起来”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。想成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字。其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。想学的朋友可以到这里下载也给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字1、行列式与其转置行列式相等，即。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即，其中为任意常数。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用克莱姆法则对方程组 （） 及 （）其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。令，其中称为系数行列式，我们有定理1 只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。定理2 有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。例题部分1、计算行列式（答案：）2、设，求（1）；（2）。3、设为4维列向量,且，求。4、计算，其中。第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算1、矩阵形如称为行列的矩阵，记为，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为。（2）对，若，称为阶方阵。（3）称为单位矩阵。（4）同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。2、对称矩阵设，若，称为对称矩阵。4、转置矩阵设，记，称为矩阵的转置矩阵。5、伴随矩阵设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。6、矩阵的四则运算（1）矩阵加减法设，则。（2）矩阵乘法1）数与矩阵的乘法设，则。2）矩阵与矩阵的乘法：设，则，其中（）。注解（1）推不出，如，。（2）。（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若，则，再如。（4）方程组的三种形式形式一：方程组的基本形式 （）与（），（）（）分别称为齐次与非齐线性方程组。记则方程组（）、（）可改写为形式二：方程组的矩阵形式 ， （） ， （）令，则有形式三：方程组的向量形式 （） （）二、矩阵的逆阵（一）逆阵问题的产生对一元一次方程，其解有如下几种情况：（1）当时，两边乘以得。（2）当时，方程的解为一切实数。（3）当时，方程无解。设为阶矩阵，对方程组，若存在阶矩阵，使得，则在方程组两边左乘，得，于是。（二）逆矩阵的定义设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。（三）两个问题问题1 设为阶矩阵，何时可逆？问题2 若可逆，如何求？（四）逆阵存在的充分必要条件定理 设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。（五）逆阵的求法（1）方法一：伴随矩阵法 。（2）初等变换法 。（六）初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形（1）对调两个方程；（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；（2）矩阵的某行乘以非零常数倍；（3）矩阵某行的倍数加到另一行，以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步，三个初等矩阵及性质1、将的第行与第行或者单位矩阵的第列与第列对调所得到的矩阵，如。性质： 1）；1）；3）即为矩阵的第行与第行对调，即为矩阵的第列与第列对调，即是对进行第一种初等行变换，是对进行第一种初等列变换。2、将的第行乘以非零常数或的第列乘以非零常数所得到的矩阵，如。性质：1）；2）；3）即为矩阵的第行非零常数，即为矩阵的第列非零常数，即为对进行第二种初等行变换，为对进行第二种初等列变换。3、将第行的倍加到第行或的第列的倍加到第列所得到的矩阵。性质：1）即第行的倍加到第行，即第列的倍加到第列；2）；3）。第四步，三个问题问题1 设是阶可逆矩阵，可都经过有限次初等行变换化为？问题2 设是阶不可逆矩阵，是否可以经过有限次初等行变换化为？问题3设是阶不可逆矩阵，是否可以经过有限次初等变换化为？第五步，逆阵计算理论问题1的答案是肯定的，于是有定理1 设是阶可逆矩阵，则经过有限次初等行变换化为，且。定理2设是阶不可逆矩阵，则存在阶可逆矩阵和，使得。（七）逆矩阵的性质（1）。（2）。（3），更进一步。（4）。三、矩阵的秩（一）问题背景方程组的解的情况有如下三种情形：情形一：是阶可逆矩阵，由，得；情形二：是阶不可逆矩阵情形三：是矩阵且。（二）矩阵秩的定义设是矩阵，中任取行和列且元素按原有次序所成的阶行列式，称为的阶子式，若中至少有一个阶子式不等于零，而所有阶子式（如果有）皆为零，称为矩阵的秩，记为。（三）矩阵秩的求法将用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵的秩。（四）矩阵秩的性质（1）。 （2）；（3），等价于，即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高。（4）设，且，则；（5）设为可逆矩阵，则；（6）。 （7）；（8）1）。 2）若，则。（3）若矩阵至少有两行不成比例，则。（4）存在非零向量，使得。注解（1）矩阵转置性质1）。 2）（其中为常数）。3）。 4）。（2）矩阵对应的行列式的性质1）设为同阶方阵，则。 2）。3）。 4）。 5）设矩阵可逆，则。例题部分1、设为阶矩阵，且，求。2、设，且，求。3、设为正交矩阵，证明：（1）；（2）若，则4、设，则 （ ） 5、设是阶可逆矩阵，对调行与行得矩阵。（1）证明：可逆；（2）求。6、设是矩阵，且，证明：。7、设，证明：。8、是3维列向量，证明：。9、设是矩阵，是矩阵，且，证明：。10、设是可逆矩，证明：的逆矩阵唯一。第三讲 向量一、向量基本概念1、向量个实数所构成的一个数组称为向量，其中称为维行向量，称为维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。2、向量的内积：。注解（1）； （2）；（3）； （4）。（5）当，即时，称向量与正交，记为，注意零向量与任何向量正交。3、线性相关与线性无关对齐次线性方程组，（1）当且仅当时成立，即齐次线性方程组只有零解，称向量组线性无关；（2）若有不全为零的常数，使得成立，即齐次线性方程组有非零解，称线性相关。4、向量的线性表示对非齐线性方程组，（1）存在一组常数，使得成立，即非齐线性方程组有解，称可由线性表示；（2）若不能成立，即非齐线性方程组无解，称不可由线性表示。5、向量组的秩与矩阵的秩的概念（1）向量组的极大线性无关组与向量组的秩设为一个向量组，若中存在个线性无关的子向量组，但任意个子向量组（如果有）线性相关，称个线性无关的子向量组为向量组的一个极大线性无关组，称为向量组的秩。注解（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关；（2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例；（3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。6、向量组的等价设与为两个向量组，若，则称向量组可由向量组线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组等价。二、向量的性质（一）向量组的相关性与线性表示的性质1、若线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。2、设线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表示方法唯一。3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；5、设为个维向量，则线性无关。6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。7、若为一个两两正交的非零向量组，则线性无关。巩固例题例1 设线性无关，线性相关，证明：可由线性表示。例2 维列向量组线性无关充要条件是。例3 与皆为三维线性无关的向量组，证明：存在非零向量，使得可同时由与线性表示。8、设为两两正交的非零向量组，则线性无关，反之不对。（二）向量组的秩的性质1、设为两个向量组，若组可由线性表出，则组的秩不超过组的秩。2、等价的向量组由相等的秩。3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。第四讲 方程组一、线性方程组的基本概念方程组（），称（）为元齐次线性方程组。方程组（）称（）为元非齐线性方程组，方程组（）又称为方程组（）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。二、线性方程组解的结构1、设为齐次线性方程组的解，则为的解，其中为任意常数。特殊情形，及（为任意常数）都是的解。2、设为齐次线性方程组的解，为非齐线性方程组的解，则为方程组的解。3、设为非齐线性方程组的解，则为的解。4、设为的一组解，则为的解的充分必要条件是。三、线性方程组解的基本定理定理1 （1）齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是；（2）齐次线性方程组有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是。定理2 （1）非齐线性方程组无解的充分必要条件是。（2）有解的充分必要条件是。更进一步地，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多个解。四、线性方程组的通解（一）齐次线性方程组的基础解系与通解（二）非齐线性方程的通解注解（1）与解的关系（讲解见课件）。（2）若与同解，则。例题部分1、(1)设为阶阵，且的各行元素之和为0，求的通解。(2) 设为阶阵，且，求的通解。(3)设为四元非齐方程组，为其3个解向量，且，求的通解。2、设为4维列向量组，线性无关，求的一个基础解系。3、设线性无关，且，求的通解。4、取何值时，方程组有解，并求出其解。5、设方程组无解，求。6、设为维向量组，且线性无关，为的非零解，问线性相关性。7、证明：。第五讲 特征值与特征向量一、基本概念1、矩阵的特征值、特征向量设为阶矩阵，若存在和非零向量，使得，称为矩阵的特征值，称为矩阵的属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程令，称为矩阵的特征多项式，称为矩阵的特征方程。注解（1）。 （2）。3、矩阵相似设为两个阶阵，若存在可逆阵，使得，则称与相似，记为。注解（1）。 （2）若，则。 （3）若，则。（4），反之不对。（5），反之不对。（6）（其中可逆）。（7）若，则。4、矩阵的对角化若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设是阶矩阵，所谓可对角化，即存在可逆矩阵，使得，其中为对角矩阵。二、特征值与特征向量的性质1、不同特征值对应的特征向量线性无关。2、任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过其阶数。3、设为阶矩阵，是矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量，则（1）若可逆，则是矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量。（2）若可逆，则为矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量。（3）设为一元次多项式，称为关于矩阵的矩阵多项式，则有为矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量。4、设为实对称阵，则的特征根都是实数。证明：设为实对称阵，为的特征根，为的属于的特征向量，5、设为实对称阵，则的不同特征根对应的特征向量正交。6、可对角化有个线性无关的特征向量。7、设为实对称阵，为其特征根，则存在正交阵，使得。三、矩阵的对角化（一）非实对称矩阵（二）实对称矩阵例题部分1、设矩阵的每行元素之和分别为，其中可逆。（1）求的每行元素之和；（2）求的每行元素之和。2、设为的两个不同的特性根，分别为所对应的特征向量，则不是特征向量。3、设为阶矩阵，且，求的特征值。4、是三阶矩阵，线性无关，求矩阵的特征值。5、设，求。6、，求的特