数学建模(6).doc

江苏省邗江中学数学建模数列模型数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型一、斐波那契数列：莱昂纳多斐波那契（11751250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有算盘书、实用几何和四艺经等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对刚出生小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年能繁殖成多少对？ 若用表示第个月兔子的对数，则有，考察数列的规律，不难发现，从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即。该模型的数学表示式为：斐波那契数列及其应用：爬楼梯问题很多同学放学回家，都需要经过一个爬楼梯的过程，你知道吗，爬楼梯的过程中也隐藏着奇妙的数学问题呢？不信，你瞧题目：明明要爬楼梯，他每次能向上跨一级或两级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？思路点拨：很多同学刚看到这样的题目，可能会有无从下手的感觉。其实，这一题我们只要先从简单的情况考虑起，很快就能找出其中隐藏的规律。爬一级楼梯只有1种方法，爬两级楼梯有2种方法，爬三级楼梯有3种方法，爬四级楼梯有5种方法相信同学们此时都已经看出来了，没错，爬楼梯的方法数正好组成了一个斐波那契数列，从第3个数开始，每一个数都等于它前面的2个数之和。是不是很奇妙呢？找到了这个规律，这一题也就迎刃而解了。爬10级楼梯共有89种不同的走法。且慢，有的同学喜欢迈大步，如果爬楼梯时可以每次跨一级，或者跨两级，甚至跨三级，还是10级楼梯，又有几种不同的走法呢？思路点拨：相信大家此时再不会感觉无从下手了。没错，还是从简单的情况开始考虑：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有四级楼梯，他有7种走法发现规律了吗？对，观察爬楼梯的方法数，这里是从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。所以，这里爬10级楼梯，应该有274种不同的走法。继续探索：如果明明每次爬楼梯时只允许每次跨两级，或者每次跨三级，不允许一级一级跨，还是10级楼梯，这次又有几种不同的走法呢？思路点拨：这次的规律可能比较难找一些。我们不妨还是先列表，再仔细观察找规律。这里的规律是这样的：观察爬楼梯的方法数，从第4个数开始，每一个数都等于跳过它前面一个数的前两个数之和。例如：第1个数与第2个数的和等于第4个数；第3个数与第4个数的和等于第6个数利用这样的规律，如果有11级楼梯，12级楼梯，又会有几种不同的走法呢？二、木材增长，可持续发展 例2、某林场原有森林木材量为a,木材以每年的25%增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为x,为了实现经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标,则x的最大值是多少?(lg2=0.3)三、人员分流 例3、某机关在“精简人员”中,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位按上一年的领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的领取工资,该机关根据分流人员的特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%，如果某人分流前工资收入每年a元，分流后第n年总收入为元.(1)求;(2)当时,这个人哪一年收入最少，最少收入是多少？（3）当时，是否一定可以保证这个人分流后的年收入永远超过分流前的年收入。三、投资问题例4、某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？五、溶液浓度例5、已知，且，在一容器内装有浓度为r%的溶液1 kg ，注入浓度为p%的溶液kg，搅匀后，再倒出混合溶液kg，如依次反复进行下去，（1） 写出第一次混合溶液的浓度；（2） 设第n次混合后，浓度为，试用表示；（3） 写出的通项公式；（4） 为使溶液的浓度不低于q%,问至少混合多少次？六、环境保护例6、据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年