2014-2015学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）（解析版）.doc

2014-2015学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集U=x|x3，xN，集合A=x|x210，xN则UA=（）A B 3C 10D 3，4，5，6，7，8，92下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A f（x）=B f（x）=x3C f（x）=tan xD f（x）=3已知数列an满足an+1=3an（nN*），且a2+a4+a6=9则log（a5+a7+a9）的值是（）A 5B C 5D 4如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A B C D 5某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A B C D 26三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A B C D 7将函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A 1+2k，1+2k，kZB 1+4k，3+4k，kZC 1+4k，1+4k，kZD 8设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A B C D 49在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则的取值范围（）A （0，1）B C （1，0）D 10已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A B C 2D 二、填空题：本大题共1小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）（坐标系与参数方程）11若直线sin（+）=与直线3x+ky=1垂直，则常数k=（几何证明选讲）12如图，ABC内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，BEMN交AC于点E若AB=6，BC=4，则AE的长为（不等式选讲）1015郴州模拟）若不等式|x+3|+|x7|a23a的解集为R，则实数a的取值范围是三.必做题（1416题）14若随机变量N（2，1），且P（3）=0.158 7，则P（1）=15设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+an（x+2）n则a0+a1+a2+an=16定义x表示不超过x的最大整数（xR），如：1.3=20.8=0，3.4=3定义x=xx（1）+=；（2）若x0，316，函数f（x）=sin2x+sin2x1的零点个数为m，则m=三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：某市2014年11月1日11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设为空气质量类别颜色为绿色的天数，求的分布列与数学期望AQI（数值）05051100101150151200201300300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色18已知函数f（x）=sin（x），其中常数0（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求的值；（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，求b的最小值19在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（1）求证：BD平面AED；（2）求二面角FBDC的正切值20已知Sn为数列an的前n项和，且对任意nN*，点（an，Sn）都在函数f（x）=x+的图象上（1）求an的通项公式；（2）若bn=loga2n+1，Tn为数列bn的前项和，且+x2+ax+1对任意正整数n和任意xR恒成立，求实数a的取值范围21已知两个定点A1（2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值（m0）（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=3，过点F（l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为Sl，OED（O为坐标原点）的面积为S2试问：是否存在直线AB，使得Sl=S2？说明理由22已知f（x）=kexex2（xR，）其中无理数e是自然对数的底数（1）若k=1，求f（x）的图象在x=1处的切线l的方程；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x1，求实数k的取值范围；（3）若k依序取值1，（nN*）时，分别得到f（x）的极值点对（x1，x1），（x2，x2），（xn，xn），其中xixi（i=1，2，n），求证：对任意正整数n2，有（2x1）（2x2）（2xn）=2014-2015学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集U=x|x3，xN，集合A=x|x210，xN则UA=（）A B 3C 10D 3，4，5，6，7，8，9考点：补集及其运算专题：集合分析：先求出不等式x210的解集A，再由补集的运算求出UA解答：解：由x210得或，则集合A=x|或，又全集U=x|x3，xN，所以UA=x|3x，xN=3，故选：B点评：本题考查补集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题2下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A f（x）=B f（x）=x3C f（x）=tan xD f（x）=考点：正切函数的奇偶性与对称性；奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可解答：解：A由x0，解得x0，则函数的定义域为（，0，关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数，不满足条件Bf（x）=x3为奇函数，则定义域上为减函数，满足条件Cf（x）=tanx为奇函数，在定义域上不单调，不满足条件Df（x）=为奇函数，在定义域上不单调，不满足条件故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础3已知数列an满足an+1=3an（nN*），且a2+a4+a6=9则log（a5+a7+a9）的值是（）A 5B C 5D 考点：等比数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：数列an满足an+1=3an，因此数列an是等比数列，则公比为q=3再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出解答：解：数列an满足an+1=3an，数列an是等比数列，则公比为q=3a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）=279=35，则log3（a5+a7+a9）=5故选：C点评：本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题4如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A B C D 考点：程序框图专题：算法和程序框图分析：按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果解答：解：经过第一次循环得到 S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D点评：解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律5某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A B C D 2考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为，棱锥的高为1，即可求出体积解答：解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为，棱锥的高为1，所以，其体积为，故选：A点评：本题主要考查三视图，几何体的体积计算要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题6三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A B C D 考点：古典概型及其概率计算公式分析：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，基本事件总数n=720，同校学生排在一起包含的基本事件个数m=72，由此利用等可能事件概率计算公式能求出同校学生排在一起的概率解答：解：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，基本事件总数n=720，同校学生排在一起包含的基本事件个数m=72，同校学生排在一起的概率P=故选：C点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型及其概率计算公式和排列组合知识的合理运用7将函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A 1+2k，1+2k，kZB 1+4k，3+4k，kZC 1+4k，1+4k，kZD 考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间解答：解：函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（kZ），解得：4k+3x4k+5，令k=k1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间8设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A B C D 4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域专题：不等式的解法及应用分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值9在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则的取值范围（）A （0，1）B C （1，0）D 考点：平面向量的基本定理及其意义专题：函数的性质及应用分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的相等关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果解答：解：=+=+y=+y（）=y+（1+y），再根据=，可得y（0，1），（1，0），故选：C点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点，属于中档题10已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A B C 2D 考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，；=1，得=，点P（2，1）是AB的中点，x1+x2=4，y1+y2=2，直线l的斜率为2，=2，a2=b2，c2=2a2，e=故选A点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率二、填空题：本大题共1小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）（坐标系与参数方程）11若直线sin（+）=与直线3x+ky=1垂直，则常数k=3考点：两条直线垂直的判定专题：计算题；转化思想分析：先根据两角和的正弦函数公式化简已知，然后把极坐标方程化为普通直线方程，根据两直线垂直时斜率乘积为1得到k的值即可解答：解：把sin（+）=利用两角和的正弦函数公式化简得：sincos+cossin=，即为x+y=1，直线的斜率为1；因为该直线与直线3x+ky=1垂直，即斜率乘积为1，所以由（1）=1，解得k=3故答案为：3点评：考查学生会根据两角和的正弦函数公式化简求值，会将极坐标方程化为普通直线方程学生做题时必须会根据两直线垂直得到斜率乘积为1（几何证明选讲）12如图，ABC内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，BEMN交AC于点E若AB=6，BC=4，则AE的长为考点：与圆有关的比例线段专题：压轴题；选作题；直线与圆分析：利用弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质即可得出解答：解：直线MN切O于点C，MCB=BAC，BEMN交AC于点E，MCB=EBCABCBCE，=点评：熟练掌握弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键（不等式选讲）1015郴州模拟）若不等式|x+3|+|x7|a23a的解集为R，则实数a的取值范围是2，5考点：绝对值不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x7|10，依题意，解不等式a23a10即可解答：解：|x+3|+|x7|（x+3）+（7x）|=10，|x+3|+|x7|a23a的解集为Ra23a10，解得2a5实数a的取值范围是2，5故答案为：2，5点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查对值三角不等式的应用，求得|x+3|+|x7|10是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题三.必做题（1416题）14若随机变量N（2，1），且P（3）=0.158 7，则P（1）=0.8413考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题；概率与统计分析：根据随机变量N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（1）=P（3），即可求概率解答：解：随机变量N（2，1），正态曲线关于x=2对称，P（3）=0.1587，P（1）=P（3）=10.1587=0.8413故答案为：0.8413点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查根据对称性求区间上的概率，本题是一个基础题15设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+an（x+2）n则a0+a1+a2+an=2考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：令已知等式中的x等于1，即得到2=a0+a1+a2+an，解答：解：因为（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+an（x+2）n令x=1得到2=a0+a1+a2+an，故答案为：2点评：求二项展开式的系数和，一般先通过观察给二项式中的未知数x赋合适的值，通过赋值法求出系数和16定义x表示不超过x的最大整数（xR），如：1.3=20.8=0，3.4=3定义x=xx（1）+=500；（2）若x0，316，函数f（x）=sin2x+sin2x1的零点个数为m，则m=101考点：根的存在性及根的个数判断；二项式定理的应用专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；二项式定理分析：（1）由 =可得=，=，=1，从而求得；（2）由函数f（x）=sin2x+sin2x1=0可得2xx=+k（kZ），作函数y=2xx的图象，利用数形结合求解即可解答：解：（1）=，=10002+，=再由 =，可得 =，=1，+=（+）+（+1）+（+）=500，故答案为：500（2）函数f（x）=sin2x+sin2x1=0，sin2x=cos2x=cos2（xx），2x=x+k（kZ），2xx=+k（kZ），作函数y=2xx的图象如下，结合图象可知，若x0，316，则2xx1，315，故，+，+2，+1001，315，故m=101；故答案为：101点评：本题考查了二项式定理的应用及数列求和方法的应用，同时考查了方程的根与函数的关系应用，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：某市2014年11月1日11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设为空气质量类别颜色为绿色的天数，求的分布列与数学期望AQI（数值）05051100101150151200201300300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）由条形统计图知空气质量类别达到中度污染及以上的天数为12天，由此利用对立事件概率计算公式能求出该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率（2）由已知得的可能可值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望解答：解：（1）由条形统计图知：空气质量类别达到中度污染及以上的天数为：6+4+2=12天，该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率P=1=（2）由已知得的可能可值为0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为： 0 12PE=点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用18已知函数f（x）=sin（x），其中常数0（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求的值；（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，求b的最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，确定函数的周期，即可求的值；（2）利用三角函数的平移关系求出g（x）的表达式，由g（x）=0，求出零点方程即可得到结论解答：解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，则函数的周期T=2=，即=，解得=2；（2）=2，函数f（x）=sin2x，将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=sin2（x），再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin2（x）+1=sin（2x）1由g（x）=sin（2x）1=0得sin（2x）=即2x=2k+或2x=2k+，即x=k+或x=k+，区间为0，b，当k=0，1，2，3，4时，有10个零点，第10个零点为x=4+=，若y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，则b，即b的最小值为点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数图象变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键19在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（1）求证：BD平面AED；（2）求二面角FBDC的正切值考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定专题：空间角分析：（1）由已知条件利用余弦定理求出BD=，从而得到ABD是直角三角形，且ADDB，由此能够证明BD平面AED（2）过C作CMBD交BD于M，由已知条件推导出FCBD，从而得到FMC为二面角FBDC的平面角，由此能求出二面角FBDC的正切值解答：（1）证明：在等腰直角梯形ABCD中，ABCD，DAB=60，CB=CD，由余弦定理得BD2=CD2+CB22CDCBcos（180DAB）=3CD2，BD=，在ABD中，DAB=60，BD=，ABD是直角三角形，且ADDB，又AEBD，AD平面AED，且ADAE=A，BD平面AED（2）解：过C作CMBD交BD于M，FC平面ABCD，BD平面ABCD，FCBD，又FCCM=C，BD平面FCM，CMBD，FMBD，故FMC为二面角FBDC的平面角（9分）在CDB中，CD=CB，DCB=120，CM=，tanFMC=2即二面角FBDC的正切值为2（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知Sn为数列an的前n项和，且对任意nN*，点（an，Sn）都在函数f（x）=x+的图象上（1）求an的通项公式；（2）若bn=loga2n+1，Tn为数列bn的前项和，且+x2+ax+1对任意正整数n和任意xR恒成立，求实数a的取值范围考点：数列的求和；数列与不等式的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）由点（an，Sn）都在函数f（x）=x+的图象上，可得Sn=，利用递推式可得，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）bn=loga2n+1=2n+1利用等差数列的前n项和公式可得Tn=n（n+2），利用“裂项求和”可得+=，+x2+ax+1对任意正整数n和任意xR恒成立x2+ax+1对任意xR恒成立4x2+4ax+10对任意xR恒成立0，解出即可解答：解：（1）点（an，Sn）都在函数f（x）=x+的图象上，Sn=，当n=1时，a1=S1=+，解得a1=当n2时，Sn1=，an=SnSn=，化为，数列an是等比数列，首项为，公比为，（2）bn=loga2n+1=2n+1=n（n+2），+=+=，+x2+ax+1对任意正整数n和任意xR恒成立x2+ax+1对任意xR恒成立，4x2+4ax+10对任意xR恒成立，=16a2160，解得1a1实数a的取值范围是1，1点评：本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用、对数的运算性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知两个定点A1（2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值（m0）（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=3，过点F（l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为Sl，OED（O为坐标原点）的面积为S2试问：是否存在直线AB，使得Sl=S2？说明理由考点：圆锥曲线的轨迹问题；轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设动点M（x，y），依题意有，（m0），由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状（2）m=3时，动点M的轨迹 方程为+=1（x2），设设AB方程为y=k（x+1），代入+=1，利用根与系数之间的关系进行转化求解即可解答：解：（1）设动点M（x，y），依题意有，（m0），整理，得，m2动点M的轨迹方程为m0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，m（4，0）时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，m=4时，轨迹是圆，m（，4）时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1（2，0），A2（2，0）不在曲线上（2）m=3时，动点M的轨迹 方程为+=1（x2），假设垂直直线AB，使Sl=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=k（x+1），代入+=1并整理得（3+4k2）x2+8kk2x+4k212=0 设A（xE1E，yE1E），B（xE2，yE2），则xE1E+xE2=，yE1E+y