高考数学二轮复习 专题五 立体几何 2.5.3.2 空间中的垂直与几何体的体积课件 文.ppt

5 3 2空间中的垂直与几何体的体积 2 考向一 考向二 考向三 考向四 垂直关系的证明例1 2018北京卷 文18 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 平面pad 平面abcd pa pd pa pd e f分别为ad pb的中点 1 求证 pe bc 2 求证 平面pab 平面pcd 3 求证 ef 平面pcd 3 考向一 考向二 考向三 考向四 证明 1 pa pd 且e为ad的中点 pe ad 底面abcd为矩形 bc ad pe bc 2 底面abcd为矩形 ab ad 平面pad 平面abcd ab 平面pad ab pd 又pa pd pa ab a pd 平面pab pd 平面pcd 平面pab 平面pcd 4 考向一 考向二 考向三 考向四 3 如图 取pc的中点g 连接fg gd f g分别为pb和pc的中点 fg bc 且fg bc 四边形abcd为矩形 且e为ad的中点 ed bc ed bc ed fg 且ed fg 四边形efgd为平行四边形 ef gd 又ef 平面pcd gd 平面pcd ef 平面pcd 解题心得从解题方法上讲 由于线线垂直 线面垂直 面面垂直之间可以相互转化 因此整个解题过程始终沿着线线垂直 线面垂直 面面垂直的转化途径进行 5 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练1如图 在三棱锥p abc中 pa ab pa bc ab bc pa ab bc 2 d为线段ac的中点 e为线段pc上一点 1 求证 pa bd 2 求证 平面bde 平面pac 3 当pa 平面bde时 求三棱锥e bcd的体积 6 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明因为pa ab pa bc 所以pa 平面abc 又因为bd 平面abc 所以pa bd 2 证明因为ab bc d为ac中点 所以bd ac 由 1 知 pa bd 所以bd 平面pac 所以平面bde 平面pac 3 解因为pa 平面bde 平面pac 平面bde de 所以pa de 7 考向一 考向二 考向三 考向四 证明垂直关系及求体积例2 2018山东济宁一模 文18 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 ac bc 2 m是棱ab的中点 1 证明 平面c1cm 平面abb1a1 2 若mc1与平面acc1a1所成角的正弦值为 求四棱锥m acc1a1的体积 8 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明在 abc中 ac bc m是棱ab的中点 cm ab 由直三棱柱的性质知 bb1 平面abc cm 平面abc bb1 cm 又ab bb1 b cm 平面abb1a1 cm 平面c1cm 平面c1cm 平面abb1a1 2 解取ac的中点o 连接om oc1 则om bc 由直三棱柱的性质知 cc1 平面abc cc1 bc 9 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得证明面面垂直一般先证线面垂直 然后说明另一平面经过垂线 已知线面的夹角 易求线段的长或线上一点到面的距离 10 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2 2018北京朝阳模拟 文18 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 底面abc为正三角形 侧棱aa1 底面abc 已知d是bc的中点 ab aa1 2 1 求证 平面ab1d 平面bb1c1c 2 求证 a1c 平面ab1d 3 求三棱锥a1 ab1d的体积 11 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明由已知 abc为正三角形 且d是bc的中点 所以ad bc 因为侧棱aa1 底面abc aa1 bb1 所以bb1 底面abc 又因为ad 底面abc 所以bb1 ad 而b1b bc b 所以ad 平面bb1c1c 因为ad 平面ab1d 所以平面ab1d 平面bb1c1c 2 证明连接a1b 设a1b ab1 e 连接de 由已知得 四边形a1abb1为正方形 则e为a1b的中点 d是bc的中点 de a1c de 平面ab1d a1c 平面ab1d a1c 平面ab1d 12 考向一 考向二 考向三 考向四 13 考向一 考向二 考向三 考向四 折叠问题中的垂直及体积例3 2018全国卷1 文18 如图 在平行四边形abcm中 ab ac 3 acm 90 以ac为折痕将 acm折起 使点m到达点d的位置 且ab da 1 证明 平面acd 平面abc 2 q为线段ad上一点 p为线段bc上一点 且bp dq da 求三棱锥q abp的体积 14 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明由已知可得 bac 90 ba ac 又ba ad 所以ab 平面acd 又ab 平面abc 所以平面acd 平面abc 15 考向一 考向二 考向三 考向四 16 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得平面图形翻折后成为空间图形 翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化 不在同一个平面上的可能发生变化 解决这类问题就是要根据这些变与不变 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 17 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3如图1 菱形abcd的边长为12 bad 60 ac交bd于点o 将菱形abcd沿对角线ac折起 得到三棱锥b acd 点m n分别是棱bc ad的中点 且dm 6 1 求证 od 平面abc 2 求三棱锥m abn的体积 18 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明 四边形abcd是菱形 ad dc od ac 在 adc中 ad dc 12 adc 120 则od 6 m是bc的中点 od2 om2 md2 do om om ac 平面abc om ac o od 平面abc 19 考向一 考向二 考向三 考向四 垂直关系与线线角 线面角例4如图 在四棱锥p abcd中 ad 平面pdc ad bc pd pb ad 1 bc 3 cd 4 pd 2 1 求异面直线ap与bc所成角的余弦值 2 求证 pd 平面pbc 3 求直线ab与平面pbc所成角的正弦值 20 考向一 考向二 考向三 考向四 1 解如图 由已知ad bc 故 dap或其补角即为异面直线ap与bc所成的角 因为ad 平面pdc 2 证明因为ad 平面pdc 直线pd 平面pdc 所以ad pd 又因为bc ad 所以pd bc 又pd pb 所以pd 平面pbc 21 考向一 考向二 考向三 考向四 3 解过点d作ab的平行线交bc于点f 连接pf 则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角 因为pd 平面pbc 故pf为df在平面pbc上的射影 所以 dfp为直线df和平面pbc所成的角 由于ad bc df ab 故bf ad 1 由已知 得cf bc bf 2 又ad dc 故bc dc 22 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得求异面直线所成的角 线与面所成的角角的方法是一作 二证 三求 异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角 线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影 转化为直线与直线在平面内的射影所成的角 23 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练4如图 dc 平面abc eb dc ac bc eb 2dc 2 acb 120 p q分别为ae ab的中点 1 证明 pq 平面acd 2 求ad与平面abe所成角的正弦值 24 考向一 考向二 考向三 考向四 25 考向一