高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第3节 数学归纳法及其应用课件 理 新人教B版.ppt

第3节数学归纳法及其应用 最新考纲1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 知识梳理 第一个值n0 n0 n n k 1 2 数学归纳法的框图表示 常用结论与微点提醒 1 数学归纳法证题时初始值n0不一定是1 2 推证n k 1时一定要用上n k时的假设 否则不是数学归纳法 3 解 归纳 猜想 证明 题的关键是准确计算出前若干具体项 这是归纳 猜想的基础 1 思考辨析 在括号内打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 诊断自测 解析对于 1 有的证明问题第一步并不是验证n 1时结论成立 如证明凸n边形的内角和为 n 2 180 第一步要验证n 3时结论成立 所以 1 不正确 对于 2 有些命题也可以直接证明 对于 3 数学归纳法必须用归纳假设 对于 4 由n k到n k 1 有可能增加不止一项 答案 1 2 3 4 解析三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 答案c 3 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程中 第二步假设n k时等式成立 则当n k 1时 应得到 a 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1b 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1c 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1d 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1解析观察可知等式的左边共n项 故n k 1时 应得到1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 答案d 解析由n k到n k 1时 左边增加 k 1 2 k2 答案b 5 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设n 2k 1 k n 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 解析由于步长为2 所以2k 1后一个奇数应为2k 1 答案2k 1 规律方法用数学归纳法证明等式应注意的两个问题 1 要弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 以及初始值n0的值 2 由n k到n k 1时 除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 迁移探究1 在例2中把题设条件中的 an 0 改为 当n 2时 an 1 其余条件不变 求证 当n n 时 an 1 an 规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法 构造函数法等证明方法 规律方法 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 训练3 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f