【中考12年】天津市2001中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质.doc

2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质1、 选择题1.（天津市2002年3分）已知均为正数，且，则下列4个点中，在反比例函数图象上的点的坐标是【 】（a）（b）（c）（d）2.（天津市2003年3分）已知，如图为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过【 】 （a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象限【答案】b。【考点】一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系。【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴交点横坐标的符号判断出的正负情况，再由一次函数的性质解答：由二次函数图象开口向上可知0；对称轴，得0；与轴交点横坐标的符号为一正一负，即，得。一次函数的0，。一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选b。3.（天津市2004年3分）已知二次函数 ，且0，0，则一定有【 】（a）0 (b) =0 (c) 0 (d) c0 【答案】a。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】0，抛物线的开口向下。0，当=1时，=0，画草图得：抛物线与轴有两个交点，0。故选a。4.（天津市2007年3分）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有【 】a. 2个b. 3个c. 4个d. 5个【答案】c。【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，不等式的性质。【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，从而对所得结论进行判断：图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a0，c0，b=2a0，abc0。正确。当x=1时，由图象知y0，把x=-1代入解析式得：a-b+c0，ba+c。错误。由知b=2a，c0，4a2bc=4a4ac= c0。正确。由知b=2a且ba+c，2c3b。正确。由知b=2a，ab=a2a=a0，m（amb）=m（m2）a。，（m1）20，即m22 m+10，1m（m2）。两边同乘以a，得am（m2）a），即a+bm（am+b），（m1的实数）成立。正确。因此正确结论是、，共有4个。故选c。5.（天津市2008年3分）在平面直角坐标系中，已知点a（，0），b（2，0），若点c在一次函数 的图象上，且abc为直角三角形，则满足条件的点c有【 】 a1个b2个c3个d4个【答案】d。【考点】一次函数综合题，圆周勾股定理理，勾股定理。【分析】如图，满足条件的点c有4点： （1）过点a（4，0）作c1aab交的图象于点c1（4，4）（把代入即可得）。 （2）过点b（2，0）作c2bab交的图象于点c2（2，1）（把代入即可得）。 （3）以ab=6为直径，点（1，0）为圆心作圆，交的图象于点c3 、c4。设圆心为点d，连接cd，过点c作ceab于点e。 在rtcde中，即。 又点c在上， 把代入得，解得。当时，；当时，。 综上所述，满足条件的点c有4个：c1（4，4），c2（2，1），。故选d。6.（天津市2010年3分）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：； 其中，正确结论的个数是【 】（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 【答案】d。【考点】二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】结合所给图象，根据二次函数的性质分析作答：设对应的一元二次方程两根为，则 二次函数的图象与轴有两个交点，。所以正确。 二次函数的图象开口向下，又二次函数的图象与轴交于轴两侧，。又二次函数的图象的对称轴为，。所以正确。，即，二次函数可化为。又当时，函数值，即。所以正确。当时，函数值，且对称轴为，点1关于对称轴的对称点为3。 根据对称性，当时，函数值，即。所以正确。综上所述，正确结论的个数是4个。故选d。7.（天津市2011年3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式a以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式b除收月基费20元外再以每分005元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为分计费为元，如图是在同一直角坐标系中分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论： 图象甲描述的是方式a： 图象乙描述的是方式b； 当上网所用时间为500分时，选择方式b省钱其中，正确结论的个数是【 】 (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 0【答案】a。【考点】一次函数的图象和性质。【分析】 方式a以每分0.1元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为=0.1，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确；方式b除收月基费20元外再以每分005元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为=0.05+20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确；从图象观察可知，当400时，乙甲，所以当上网所用时间为500分时，选择方式b省钱，故结论正确。综上，选a。二、填空题3.（天津市2006年3分）已知一次函数ykxb（k0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上诉条件的函数关系式 【答案】y=x+1（答案不唯一）。【考点】一次函数的性质。【分析】一次函数ykxb（k0）的图象经过点（0，1），b=1。 又y随x的增大而增大，k0。 符合上述条件的函数式只要符合上述条件即可，例如y=x+1（答案不唯一）。4.（天津市2009年3分）已知一次函数的图象过点（3，5）与（4，9），则该函数的图象与y轴交点的坐标为 【答案】（0，1）。【考点】待定系数法求一次函数解析式，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】一次函数的图象过点（3，5）与（4，9），用待定系数法可求出函数关系式，再求出该函数的图象与y轴交点的坐标：设一次函数的解析式为y=kx+b，一次函数的图象过点（3，5）与（4，9），解得：。一次函数的解析式为y=2x1。当x=0时，y=1。该函数的图象与y轴交点的坐标为（0，1）。5.（天津市2009年3分）某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分打八折设一次购书数量为x本，付款金额为y元，请填写下表：x（本）271022y（元）16【答案】x（本）271022y（元）165680156.8【考点】一次函数的应用。【分析】根据题意，可得分段函数关系式：。当x=7时，y=78=56；当x=10时，y=810=80；当x=22时，y=6.42216=156.8。6.（天津市2010年3分）已知一次函数与的图象交于点p，则点p的坐标为 【答案】（3，0）。【考点】两条直线相交问题，解二元一次方程组。【分析】一次函数与的图象的交点坐标，即是以这两个一次函数的解析式为方程组的解：由题意得：，解得：。点p的坐标为（3，0）。7.（天津市2010年3分）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为 【答案】。【考点】待定系数法求二次函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，可任选三组数据，用待定系数法求出抛物线的解析式，考虑到对称性，（，）是其顶点，故用顶点式较简单。所以， 设所求二次函数解析式为，将（0，1）代入，得，解得。所求二次函数解析式为，即。8.（天津市2011年3分）已知一次函数的图象经过点(01)且满足随的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 (写出一一个即可)【答案】（答案不唯一）。【考点】一次函数的图象和性质。【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。答案不唯一，形如都可以。三、解答题1. （2001天津市7分）已知关于x的一次函数和反比例函数的图象都过点（1，-2），求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两个函数图象的另一个交点的坐标。【答案】解：（1）一次函数和反比例函数的图象都过点（1，2）， 把（1，2）分别代入两个解析式中得： ，解得。 一次函数表达式为，反比例函数表达式为。 （2）依题意得：，解之得，。另一个交点坐标为（，4）。【考点】一次函数和反比例函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把（1，-2）代入两个函数解析式中就可以得到关于m，n的方程组，然后解方程组即可求出m，n的值。（2）把两个函数解析式组成方程组解方程组就可以得到另一个交点坐标。2.（2001天津市7分）在rtabc中，acb=90，ab= ，bc=a，ac=b且ab，若a，b分别是二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标，求a、b的值。【答案】解：在rtabc中，根据勾股定理有：，a，b分别是二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标，。由（1）得，把（2）（3）代入得，解得k=4，k=6。ab0，a+b=2k+10。k。k=4。二次函数的解析式为。令y=0，。ab，a=7，b=2。【考点】二次函数综合题，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据勾股定理可得出，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，联立三式即可得出k的值，从而可通过解方程求出a，b的值。3.（天津市2002年8分）已知抛物线（为常数）与轴交于a、b两点，且线段ab的长为。（i）求的值；（ii）若该抛物线的顶点为p，求abp的面积。【答案】解：（i）与轴交于a、b两点，即关于的方程有两不相等垢实数根，关于的方程的判别式，即。又，。根据题意，解得。（ii）,抛物线为,其顶点p的纵坐标为。 。【考点】抛物线与轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线的性质。【分析】（i）设抛物线与轴交点的横坐标为，首根据根与系数的关系得到，而，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出。（ii）由（i）可以求出抛物线的解析式，然后利用抛物线顶点公式即可求出顶点坐标，再根据三角形的面积公式即可求出abp的面积。4.（天津市2002年8分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于a、b两点，与反比例函数的图象交于c、d两点，如果a点的坐标为(2，0)，点c、d分别在第一、三象限，且oa=ob=ac=bd。试求一次函数和反比例函数的解析式。【答案】解：设一次函数的解析式为，由oa=ob，a(2，0)，得b(0，2).点a、b在一次函数的图象上，则，解得一次函数的解析式为。过点c作ce垂直于轴，垂足为e。oa=ob=ac=2，aec为等腰直角三角形。点c的坐标为。设反比例函数的解析式为，点c在反比例函数的图象上，则，。反比例函数的解析式。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。【分析】求出b的坐标，根据待定系数法即可求得一次函数解析式。作ce轴于点e易得到cae为等腰直角三角形就可求得c的坐标，据待定系数法就可求得反比例函数解析式。5.（天津市2002年10分）已知二次函数。（i）结合函数的图象，确定当取什么值时,；（ii）根据（i）的结论，确定函数关于的解析式；（iii）若一次函数的图象与函数的图象交于三个不同的点，试确定实数与应满足的条件。【答案】解：（i）画出函数的图象，由它的图象可知：当3时，0，当=1或=3时，=0，当13时，0。（ii）根据（i）的结论，可得当1或3时，|=,当13时，|=，函数关于的解析式为。（iii）由题设条件，时，一次函数的图象与函数的图象有三个交点，只需一次函数的图象与函数的图象在13的范围内有两个交点，即方程组有两组不相等的实数解。消去，得。即只需二次函数的图象与轴的两个交点在10成立。k=a或k=9a。（iii）由勾股定理，得，而，由，得，即。由已知，得，即，或。当k=a时，有1a2或2a1；当k=9a时，有19 a2或29a1，即或。综上所述，a的取值范围2a1或或或1a2。17.（天津市2007年8分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点（1，5）。（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标。【答案】解：（1） 点a（1，5）在反比例函数的图象上。，即。 反比例函数的解析式为。又 点a（1，5）在一次函数的图象上，即。 一次函数的解析式为。（2）由题意可得 ， 解得或。 这两个函数图象的另一个交点的坐标为。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把点（1，5）代入反比例函数和一次函数中，求得、的值，即可求解两个函数的解析式。（2）联立求得的两个函数解析式，求解即可。18.（天津市2007年8分）已知一抛物线与x轴的交点是a（2，0）、b（1，0），且经过点c（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。19.（天津市2008年8分）已知点p（2，2）在反比例函数（）的图象上，（）当时，求的值；（）当时，求的取值范围【答案】解：（）点p（2，2）在反比例函数的图象上，即。反比例函数的解析式为。当时，。（）当时，；当时，又反比例函数在时值随值的增大而减小， 当时，的取值范围为。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。【分析】（）将点p（2，2）的坐标代入反比例函数的解析式，可以求得比例系数，从而确定反比例函数的解析式，再进一步求得当时，的值。（）根据反比例函数在时值随值的增大而减小的特点，确定当时函数的取值范围。其关键是求出横坐标分别是1和3的函数值。20.（天津市2008年10分）已知抛物线，（）若，求该抛物线与轴公共点的坐标；（）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由【答案】解：（）当=1，1时，抛物线为，方程=0的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是（1，0）和（，0）。（）当=1时，抛物线为，且与轴有公共点，对于方程=0，判别式0，有。当时，由方程=0，解得此时抛物线为与轴只有一个公共点（，0）。当时， 时，时，。由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，解得。综上，或。（）当时，抛物线与轴有两个公共点，证明如下：对于二次函数，由已知时，；时，又，。x于是而，即。关于的一元二次方程的判别式， 抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方。又该抛物线的对称轴，由，得。又由已知时，；时，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点。【考点】二次函数的性质，抛物线与轴的交点，一元二次方程根的判别式，解不等式。【分析】（）把=1，1代入得抛物线的函数表达式，令=0，即可得该抛物线与轴公共点的坐标。（）考虑当=1时，抛物线与轴有公共点，故对于方程=0，判别式0，得。然后分和两种情况讨论即得。（）由已知证出，然后根据方程根的判别式0得到抛物线与轴有两个公共点，且顶点在轴下方的结论。最后根据抛物线对称轴的位置和已知时，；时，得出在范围内，该抛物线与轴有两个公共点的结论。21.（天津市2009年8分）已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支（） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？（）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式【答案】解：（）这个反比例函数图象的另一支在第三象限。这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，解得。 （）如图，由第一象限内的点在正比例函数的图象上，设点的坐标为，则点的坐标为。，解得（负值舍去）。点的坐标为（2，4）。又点在反比例函数的图象上，解得。反比例函数的解析式为。【考点】反比例函数正比例函数的交点问题，和反比例函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（）根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限。由于这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以有，从而得到常数的取值范围。 （）根据，用待定系数法即可求出点a的坐标即可，从而由点a的坐标得到反比例函数的解析式。22.（天津市2009年10分）已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上（）若，求函数的解析式；（）在（）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；（）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由【答案】解：（）， 将分别代入，得，解得。函数的解析式为。（）由已知，得，设的高为，即。根据题意，即。当时，解得；当时，解得。的值为或或。（）由已知，得， ， ，化简，得。 ，。有。又，。当时，；当时，；当时，。【考点】二次函数综合题，根与系数的关系，一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式。【分析】（）通过把分别代入，确定的值而求得函数的解析式。（）关键在于明确这一等量关系才能求得的值。（）比较的大小需要正确理解及在整式变形中分类应用。 23.（天津市2010年8分）已知反比例函数（为常数，）（）若点在这个函数的图象上，求的值；（）若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；（）若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由【答案】解：（） 点在这个函数的图象上， ，解得。（） 在函数图象的每一支上，随的增大而减小， ，解得。 （） ，有， 反比例函数的解析式为。 将点的坐标代入，可知点的坐标满足函数关系式， 点在函数的图象上。 将点的坐标代入，由，可知点的坐标不满足函数关系式， 点不在函数的图象上。【考点】反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（）将点代入解析式即可求出的值。（）根据反比例函数的性质：当时，函数图象的每一支上，随的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，随的增大而增大。所此可求出的取值范围。（）将代入，得到反比例函数解析式，再将b（3，4），c（2，5）代入解析式解答即可。24. （天津市2011年8分）已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于点p(31) (i) 求这两个函数的解析式；(ii) 当3时，试判断与的大小井说明理由。【答案】解 ：(i)p(31)在一次函数一次函数上，1=3b。b=2。 一次函数的解析式为。 同理，反比例函数的解析式为。 (ii) 理由如下：当时， 又当时一次函数随的增大而增大反比例函数随的增大而减小， 当时。【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。【分析】(i)因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点p在一次函数和反比例函数的图象上，把p的坐标分别代入即可求出。 (ii)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。25.（天津市2011年10分）已知抛物线：点f(1，1) () 求抛物线的顶点坐标； () 若抛物线与轴的交点为a连接af，并延长交抛物线于点b，求证： 抛物线上任意一点p（）)（）连接pf并延长交抛物线于点q（），试判断是否成立？请说明理由； () 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值【答案】解： (i)，抛物线的顶点坐标为()(ii)根据题意，可得点a(0，1)，f(1，1)ab轴得af=bf=1，成立理由如下：如图，过点p（）作pmab于点m，则 fm=，pm=（）。rtpmf中，有勾股定理，得又点p（）在抛物线上，得，即，即。过点q（）作qnab，与ab的延长线交于点n， 同理可得pmf=qnf=90，mfp=nfq，pmfqnf。 ，这里，。 ，即。 () 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且， 抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象随着抛物线向右不断平移，的值不断增大， 当满足，恒成立时，m的最大值在处取得。 当时所对应的即为m的最大值。 将带入，得。解得或（舍去）。此时，得。解得，。m的最大值为8。【考点】二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。【分析】(i) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (ii) 求出af和bf即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出pf和qf即可。() 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。26.（2012天津市8分）已知反比例函数（k为常数，k1）（）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为p，若点p的纵坐标是2，求k的值；（）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点a（x1，y1）、b（x2，y2），当y1y2时，试比较x1与x2的大小【答案】解：（）由题意，设点p的坐标为（m，2）点p在正比例函数y=x的图象上，2=m，即m=2。点p的坐标为（2，2）。点p在反比例函数的图象上， ，解得k=5。（）在反比例函数