人教版初二数学上册角平分线和全等三角形的应用.doc

第三讲 角平分线和全等三角形的应用【知识回顾】角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合【例题精讲】例1.如图1，在中，平分，求点到直线的距离。图1例2如图2，已知在RtABC中，C=90, BD平分ABC, 交AC于D.(1) 若BAC=30, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;(2) 若AP平分BAC，交BD于P, 求BPA的度数.图2例3.已知：如图3，ABC中，D是BC的中点，1=2，求证：AB=AC。分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（1= 2；BD=CD，AD=AD），但无法证明ABD ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。图3【课堂随练】1、如图4，在ABC中，D是BC的中点, DEAB，DFAC，BECF. 求证：AD是ABC的角平分线.图42、 如图5，已知C=90，1=2，若BC=8，BD=5，求D到AB的距离。3、如图6，在ABC中，ABC=2C，AD平分BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。图64、如图7，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC， 求证：EB=FC图75、如图8，ABC中，AD是A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+BAF=180。求证：DE=DF。图8【知识回顾】常见的全等三角形的基本类型（1）平移全等型（如图）；（2）对称全等型（如图）；（3）旋转全等型（如图）找对应元素的常用方法:a全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边b全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角c两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边d两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角e两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角f两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）【例题精讲】例4、如图9，ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE.垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D.求证：AE=CD.解析：AE和CD分别是ACE和CBD的边，如果能证明ACECBD.就能证明AE=CD，由已知条件可以证明ACECBD.图9 例5、如图10，已知ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求证；ACCE. 图10例6.如图11，已知A，F，C，D四点在一直线上，AF=CD，AB/DE，且AB=DE.求证：（1）ABCDEF；（2）CBF=FEC.图11 例7 如图12，DAC, EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) CMN为等边三角形（4）MNBC图12E DACBNM【课堂随练】1、下列结论错误的是（）A两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B三边分别对应相等的两个三角形全等C两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D边长相等的等边三角形全等2、如图，ADBC于D，BD=DC，E在AD上，则图中全等三角形共（）第5题图第4题图第2题图A1对B2对 C3对D4对3、下列各组条件中，不能判定ABC和ABC全等的是（）AAC=AC，BC= BC，C=CBA=A，BC= BC，AC= ACCA=A，C=C，BC= BCD. AB= AC，BC= CB，AC= AB4.如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD平分BAC交BC于点D，DEAB于E，若AB=8cm，则DEB的周长为（） A4cmB6cm C8cmD10cm5、如图，已知ADB=ACB=90，AC=BD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（）AD=BCDBC=CADAO=BOABCD DOC为等腰三角形A2个B3个 C4个D5个6、完成下列填空：（1）把“等角的补角相等”改写成“如果_，那么_”.（2）把“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果_，那么_”.（3）“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果_，那么_”.7.如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。8.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE图1图2DCEAB 【家庭作业】1、如图，OAAC，OBBC，填空： (1)利用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，已知 ，可得 ；(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，已知 ，可得 ；2、如图，ACB=90,AC=BC，BECE，ADCE. 求证：ACDCBE.G