八年级数学下册 1 4 角平分线课件 （新版）北师大版.ppt

第一章三角形的证明 4角平分线 课前预习 1 如图1 4 1 op平分 aob pc oa于点c pd ob于点d 则pc与pd的大小关系是 a pc pdb pc pdc pc pdd 不能确定2 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形 a 三条中线的交点b 三条高的交点c 三条边的垂直平分线的交点d 三条角平分线的交点 b d 3 用尺规作 aob的平分线的步骤 在oa和ob上分别截取od oe 使 分别以 为圆心 以 的长为半径作弧 弧在 aob的 交于一点c 作 oc就是 aob的平分线 4 在rt abc中 锐角a的平分线与锐角b的邻补角的平分线相交于点d 则 adb 5 如图1 4 2 abc中 c 90 ac bc ad平分 bac交bc于点d de ab于点e 且ab 10cm 则 deb的周长是 od oe 点d e 内部 射线oc 45 10cm 名师导学 新知1 角平分线的性质定理 定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 注意 用语言符号表示 如图1 4 3 如果点p在 aob的平分线上 且pm oa于点m pn ob于点n 那么pm pn 点到直线的距离 即点到直线的垂线段的长 角平分线的性质能够证明线段相等或为证三角形全等准备条件 例1 如图1 4 4 已知od平分 aob 在oa ob边上取oa ob p是od上一点 pm bd pn ad 垂足分别是点m n 求证 pm pn 解析已知pm bd pn ad 根据角平分线的性质 只要证 3 4即可 证明 od平分 aob 1 2 在 obd和 oad中 ob oa 1 2 od od obd oad sas 3 4 pm bd pn ad pm pn 举一反三 如图1 4 5 在 abc中 cd是ab边上的高 be平分 abc 交cd于点e bc 5 de 2 求 bce的面积 解 如答图1 4 1 过点e作ef bc于点f cd是ab边上的高 de ab be平分 abc de ef 2 bc 5 bce的面积 新知2 角平分线的性质定理的逆定理 定理在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 语言符号 如图1 4 6 若点p是 aob内一点 pm oa于点m pn ob于点n 且pm pn 则点p在 aob的平分线上 性质定理及逆定理的关系 点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等 因此角平分线的性质定理的逆定理也是角平分线的判定定理 可以证明两角相等 例2 如图1 4 7 pa on于点a pb om于点b 且pa pb mon 50 opc 30 求 pca的大小 解析根据图形可知 pca opc poc 所以关键是找 aop与 pob的关系 由pa pb可知 aop pob 解 pa on pb om pa pb aop pob 又 mon 50 poc 25 pca poc opc 25 30 55 举一反三 如图1 4 8 bd am于点d ce an于点e bd ce交于点f cf bf 求证 点f在 a的平分线上 证明 如答图1 4 2 连接af bd am ce an fdc feb 90 又 cfd bfe cf bf cdf bfe aas fd fe bd am ce an caf baf af平分 bac 即点f在 a的平分线上 已知 aob 如图1 4 9 求作 射线oc 使 aoc boc 注意 1 这个作法是以sss公理为基础的 由作法可知 od oe ec dc 又 oc oc oec odc boc aoc 2 所作图形是过顶点o的射线oc 其关键是确定点c的位置 新知3 作已知角的平分线 3 大于de 的原因是 如果小于de 两弧不相交 而等于de时 两弧虽然有一个交点 但难以准确得到 4 点c是两弧交于 aob内的点 另一交点没有作出 这是因为o c两点就可以确定出平分 aob的射线 例3 如图1 4 10 在公路的南侧 铁路的东侧有一所学校 这所学校到公路和铁路的距离相等 并且与两路的交叉点o处的距离为400m 请在图中标出学校的位置 并说明理由 比例尺1 12500 解析学校到公路和铁路的距离相等 就是指学校在把公路和铁路看作两条直线相交时所成角的平分线上 解把公路和铁路看作两条直线 画出它们所成角的平分线 在角的平分线上从顶点截出表示实际长400m的线段 即可确定学校的位置 如图1 4 11 图中的点p即为所求 表示实际长400m的线段为40000 12500 3 2cm 举一反三 如图1 4 12 点d在 abc的ab边上 且 acd a 1 作 bdc的平分线de 交bc于点e 用尺规作图法 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 判断直线de与直线ac的位置关系 不要求证明 解 1 如答图1 4 3所示 2 de ac 定理三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 注意 交点只可能在三角形的内部 且到三边的垂线段相等 新知4 三角形角平分线交点的性质定理 例4 如图1 4 13 o是 abc内一点 且o到三边ab bc ca的距离of od oe 若 a 70 求 boc的度数 解析要求 boc的度数 只要求得 1和 3的度数 由180 1 3即可得出 boc的度数 根据题中所给条件 可知 1 2 3 4 又 a 70 可得出 1 3 从而求得 boc的度数 解 of ab od bc 且of od bo平分 abc 1 2 同理可得 3 4 举一反三 如图1 4 14 在 abc中 bd ce分别平分 abc acb 且bd ce交于点