椭圆及其标准方程教学设计.doc

椭圆及其标准方程教学设计青铜峡市高级中学二六年十月课题 椭圆及其标准方程一学情分析学生在必修中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。二、教学目标知识技能：1掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。过程方法：1通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。2通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。三、教学重点，难点分析重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点：椭圆标准方程的建立和推导。关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。四、教法建议1安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。2对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。3将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。4注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。5推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。6讲解完焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。7在学习新知识的基础上要巩固旧知识。8要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神。五、课前准备1、每人准备一根细绳、一卷胶带。2、圆锥曲线模型。六、教学基本流程 小结与布置作业例题及练习回忆圆的定义，及画法根据条件，建立椭圆的标准方程类比画出椭圆，引出椭圆定义 七、教学过程设计问题设计意图师生活动1、我们在必修中，已学习圆的知识，请同学们用集合的观点叙述圆的定义。在数学学习中，我们可以用类比方法由学习、熟悉的知识引入新的知识。教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观察、回答圆的定义。问 题设计设计意图师生活动2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线-椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示截面是椭圆的模型。3、如何画椭圆的呢？培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。1固定在两点F1、F2，2细绳长用2a表示2aF1F23套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定交奠定基础。分析画图过程中的“变”与“不变”的条件M F1，M F2都在变化，但MF1+MF2的长度保持不变。问 题设计设计意图师生活动5、如何描述动点M所满足的几何条件。整理试验，归纳抽象成数学问题。把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。6、如何用集合表示M点所满足的几何条件。使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。学生回答：教师板书P=MMF1+MF2=2a7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？推导曲线方程时，建立坐标系要适当。师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。完成“建系”，设动点M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C0），则F1（C，0），F2（C，0），又设M与F1F2的距离和等于2a（板书）问 题设计设计意图师生活动8、请同学们来表示M到F1F2的距离MF1，MF2巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。MF1=MF2=由P=MMF1+MF2=2a得+=2a9、如何整理化简上式。学习巩固根式化简，两边平方。找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到： F1 O F210、观察下图，找出表示a、c、的线段 Y确定a、b、c的几何定义及其关系通过观察y轴是F1 F2的中垂线，P到F1 F2的距离相等，OF1，OF2被y轴平分，所以： XPF1=PF2=a,OF1=OF2=c,P0=由P0=，令b=,b2=a2-c2，即：代入得椭圆形标准方程：根据上图知：ab0问 题设计设计意图师生活动11、对于椭圆形标准方程(ab0)的特点是什么？还有什么结论。适时总结归纳，区分焦点在X轴与Y轴的不同。学生讨论，教师板书。(ab0)的焦点在X轴上；a-b=c（结论）12、P38思考 Y F2 MX F1 推导焦点在Y轴上的椭圆标准方程学生已有推导焦点在x轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成1设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标，应在y轴上2列出相等关系（定义）3化简整理，得椭圆的另一标准方程13、椭圆的另一个标准方程（abc）有什么特点，有什么结论？对比上一个焦点在x轴上的椭圆标准方程1交点在y轴上2a2-b2=c2（结论）问 题设计设计意图师生活动例1P38求标准方程区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程由学生独立思考，发表各自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：1确定要设的椭圆标准方程2要求椭圆标准方程，即要求a，b3恰当列出含a，b，c的方程4相等关系a2-b2=c2练习：写出适合下列条件的椭圆方程1a=4，b=1，焦点在x轴上。2a=4，c=，焦点在y轴上。3a+b=10，c=2分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程小结：以提问形式1椭圆是怎样的点的轨迹？2椭圆的标准方程是怎样的？3椭圆的两个标准方程有什么区别？布置作业：课本习题2.1A组P463题教学目标1掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；4通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；5通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识教学建议教材分析1 知识结构2重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式难点是椭圆标准方程的建立和推导关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点要注意说明这类方程的化简方法：方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大另外，形如中，只要，同号，就是椭圆方程，它可以化为（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法中间变量法例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆教法建议（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项（为了避免二次平方运算）（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方