第八章静电场2007.doc

第三篇电磁学（从电荷、电流、电场、磁场到电磁场；从库仑、法拉第到麦克斯韦）第八章 静电场 教学要求：* 掌握静电场的电场强度、电势及场的叠加原理。* 掌握电势与场强的积分关系，了解微分关系，计算简单场强和电势。* 理解静电场的规律高斯定理和环路定理。* 掌握用高斯定理计算场强的条件和方法，并能熟练应用。* 理解电场强度通量和电位移通量的物理意义和计算方法。* 了解电场力作功和电势能的计算方法。教学内容（学时：10学时）：8-1 电荷 电荷守恒 库仑定律 8-2 电场 电场强度及其计算8-3 电场线 电场强度通量 高斯定理8-4 静电场的保守性 静电场的环流定理8-5 电势能 电势8-6 场强与电势梯度的关系教学重点：* 掌握电场强度、电势的概念。* 掌握电场强度和电势的叠加原理。* 掌握静电场电场线有源性和无旋性,静电场的高斯定理和环流定理。* 掌握电势与场强的积分关系。教学难点：* 场强叠加的矢量性，场强和电势的叠加原理计算的微积分方法，* 使用高斯定理计算场强的条件和方法，* 使用场强积分计算电势和电势差。作业(P46)： 8_02)、8_05)、8_07)、8_09)、8_11)、8_13)、8_15)、8_19)、8_21)、8_23)、8_25)、8_27)、8_30)、8_32)、8_34)、8_36)、8_38)、8_40)、8_41)、8_42)。-8-1 电荷 电荷守恒 库仑定律一 电荷与电荷守恒1电荷： 电荷分类：自然界中的电荷分两种-正电荷和负电荷。电量：物体带电的多少叫电荷的电荷量单位：库仑(C) 1C=1A1S电量是标量有大小和符号 2 电荷守恒定律：对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则该系统正、负电荷的电量代数和将保持不变。现代物理学实验证明，在宏观、微观电荷守恒定律都成立。一个高能光子可转化为一个正负电子对，其前后电荷电量代数和为零，而一个正电子和一个负电子相遇会湮灭成光子，电量代数和仍为零。3电荷的相对论不变性：电荷的电荷量与它的运动状态无关。二 电荷的量子性1 电荷是量子化的：电荷的电量总以一个基本单元的整数倍出现 ，即。2 电荷的基本单元： e=1.60210-19C 从微观看：这些基元电荷离散分布在物体内。从宏观看：电荷连续地分布在带电物体上。（忽略电荷量子性引起的微观起伏，连续性处理有利于使用微积分计算电场）三 库仑定律 1点电荷如果一个带电体本身的线度比所研究问题中涉及的距离小很多时，它的形状大小对所讨论的问题没影响或影响可以忽略，这个带电体可以看成一个带电的点，即点电荷。注意：对点电荷这一概念的理解，应该有一个相对性的观念，不能单纯由带电体的几何线度来判定是否点电荷。2. 真空中的库仑定律 在真空中,两静止点电荷之间有相互作用力，其大小与电荷电量乘积成正比,与距离平方成反比;方向沿着两电荷连线,且同号电荷相排斥,异号电荷相吸引。 （8-1）其中： 静电力常数 （8-2）定义： 真空介电常数则有： （8-3）-库仑定律 注意： 1.库仑定律适用条件：1)真空(空气中近似可用)，2)两个点电荷之间。 2.静电力满足力的叠加原理 -8-2 电场 电场强度一 电场 1静电场-静止电荷在其周围空间所激发的一种特殊物质。 所谓特殊物质：与实物一样它具有能量、质量，但它没有静止质量。场具有空间兼容性，而实物物质具有空间排斥性。(不同实物物质不能同时占据同一空间区域) 2电荷之间的相互作用过程 （法拉第最早提出了场和力线的概念）* 场的重要概念:现代物理学: 自然界万事万物都由各种各样的场组成，粒子和场等价。二 电场强度1试验电荷满足的条件：体积足够小且电量足够小(常用表示)。 2 电场强度（简称为场强）： (8-4) 电场中某点的场强等于单位正电荷所受到的电场力。单位（国际单位制）：V/M (伏特每米) 或 N/C (牛顿每库仑)三 电场力及其计算方法1点电荷受到的电场力若一点电荷q处于某电场中，所在点处的场强为E，电场力为： (8-5)2点电荷系受到的电场力有一个点电荷系处于电场中 （在电场不同地方的点电荷所在位置处的场强不同）设 、所在位置处场强为、，有： (8-6)（注意：这里没考虑点电荷系内部电荷之间的电场力）* 电偶极子:两个等量异号的点电荷所组成 电偶极子电矩(电偶极矩)： P = ql （矢量) （8-7）大小：等于电偶极子的电量乘以它们的距离，方向：由负电荷指向正电荷。 例8.1 求电偶极子在均匀电场E中所受电场力合力和力矩 解：在均匀外电场中电偶极子的正、负电荷所受的电场力分别为： 为一对力偶，故合力为： 力偶矩大小为：矢量形式为： 3连续带电体受到的电场力（使用微积分方法） 取微元电荷，其静电力为： 积分,即： (8-8)（计算连续带电体所受静电力，必须考虑积分变量的选取和积分）典型情况下积分的处理方法# 呈体分布带电体所受静电力: 电荷体密度用表示。元电荷为： 则： (8-9) （体积分） # 呈面分布带电体所受静电力: 电荷面密度用符号表示。元电荷为：则： (8-10)(面积分)# 呈线分布带电体所受静电力： 电荷线密度用符号表示。元电荷为：则： (8-11)（线积分）四 点电荷产生的电场与场强叠加原理1 点电荷电场 根据场强的定义得到： (8-12) -点电荷的场强公式上式很重要，它是计算任意带电体系、任意形状带电体所产生的场的基础。 2电场强度的叠加原理 (8-13) 场强叠加原理：点电荷系电场中某一点的场强，等于各个点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和。五.计算场强的一般方法 点电荷的场强公式 + 场强叠加原理1 点电荷系产生的电场第i个点电荷qi的场强为：按场强叠加原理，总场强为： (8-14)2 连续带电体产生的电场 微分点电荷产生的场强为： 根据场强的叠加原理，矢量积分： (8-15) 考虑电荷不同分布的带电体产生的场强* 体分布电荷： (8-16a)* 面分布电荷： (8-16b)* 线分布电荷： (8-16c)-六 用叠加原理计算电场强度例8.2 求电偶极子中垂线上任意一点的电场强度。 解解:设电偶极子的电量分别为+q和-q，用l表示从负电荷指向正电荷的矢量。设中垂线上任意一点P相对于+q和-q的位置矢量分别为r+和r-，而r+=r-。由(8-14)式，+q和-q在P点处产生的场强分别为： 以r表示电偶极子中心到P点距离，则： 在rl时，取一级近似，有。P点的总场强为： （式中：p = ql是电偶极子的电矩）可写成： （8-17）表明：电偶极子在其中垂线上距电偶极子中心较远处各点电场强度与电偶极子电矩成正比，与距离的三次方成反比，方向相反。-例8.3 试求一均匀带电直线外任意一点处的场强。设直线长L，电荷线密度( )。直线外场点P到直线垂直距离为，P点与带电直线的上下端点的连线与垂线的夹角分别为和。 解 解：仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电，则该带电直棒就可看作一条带电直线，P点处场强可通过微积分求解。在带电直线上任取一长为的元电荷，其电量。以P点到带电直线垂足O为原点，取坐标轴，。元电荷dq在P点场强dE沿两个轴方向分量为和。因而： 由于，从而：(表示：当很小时，对P点张开的角度与的关系)由图知，所以： 对整个带电直线，q的变化范围是从到，所以： 同理可得： P点总场强的大小为： 讨论几种特殊情况：（1） 中垂线上的点的场强 在中垂线上，则有：将 代入，可得： 方向：垂直于带电直线而指向远离直线的一方。 (2) 无限长直线外任意一点处的场强 无限长的准确描述是 ，故有： （8-18）在远离带电直线的区域，即，中垂线上电场强度为： （其中为带电直线所带的总电量）显示：离带电直线很远处该带电直线电场相当于一点电荷q的电场。例8.4 求均匀带电圆环轴线上的场强。一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q(设q0)，圆环轴线上场点P到圆心的距离为x。解：把圆环微分，任一小段dl上的为元电荷dq。设dq在P点场强dE沿平行和垂直于轴线两方向分量为和。由于圆环电荷分布轴线对称，圆环上全部电荷的分量的矢量和为零，因而P点的场强沿轴线方向，且为： （式中积分为对环上全部电荷q积分）设P点与dq的距离为r，由于： （其中q为与x轴的夹角）所以： （此式中的积分值即为整个环上的电荷q）所以： 考虑到，而，可将上式改写为： （8-19）（E的方向为沿着轴线指向远方）当时：则E的大小为： （说明：远离环心处的电场也相当于一个点电荷q所产生的电场）当时，则E的大小为： 例8.5 试求均匀带圆盘轴线上的场强。设带电圆盘半径为R，电荷面密度为(设)，求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。解 解：带电圆盘可看成由许多同心的带电细圆环组成。取一个半径为r，宽度为dr的细圆环，由于此环的面积为，带有电荷，由上一例题可知此圆环电荷在P点的场强大小为： （方向沿着轴线指向远方）由于各圆环电场dE方向相同，P点总场强为各圆环在P点场强大小的积分，即： （8-20）（其方向也垂直于圆面指向远方）当时： （8-21）（此时相对于x，可将该带电圆盘看作“无限大”带电平面）因此，在无限大均匀带电平面外的电场是均匀场，其大小为： 当时，于是： （式中为圆面所带的总电量）说明：在远离带电圆面处的电场也相当于一个点电荷的电场。-8-3、电场线 电场强度通量 高斯定理一 电场线 假想的几何曲线来形象表示电场及其分布情况电场线（E线） 1电场线满足： （1）电场线上每一点的切线方向与该点场强方向一致；（2）场中每一点的电场线的数密度表示该点场强的大小。电场线的数密度：设通过某点ds面元的电场线条数为de，数密度为： 则： （8-22） （e表示电场强度通量，简称为E通量）注意：对于所有矢量场，都可用相应的矢量线形象描述（如：电流场电流线，磁感应强度场磁感应线等） # 几种电荷的静电场的电场线(a)点电荷 (b)电偶极子 (c)带电直线(圆盘)2静电场电场线的特点：(1) 静电场的有源性静电场的电场线总是起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远有源性。(2) 静电场的无旋性静电场的电场线是永不闭合的曲线无旋性。（如果静电场线如下图一样是闭合的，则一定违背能量守恒定律） (3) 同一电场的电场线不相交二 电场强度通量1.有向曲面的概念 （1）有向平面：平面面积矢量定义为：S=Sen（2） 有向曲面：将曲面分割成许多面元矢量ds=dsen,这样的曲面称为有向曲面。各面元矢量的法线方向在曲面一侧。2.电场强度通量的定义: 电场中通过某一有向曲面电场线数目叫做通过这个曲面的电场强度通量(E通量)e 表示。 3电场强度通量的计算公式：（1）均匀电场中通过平面S的E通量：（法线方向具体约定） （8-23）用矢量点乘表示为： （8-24）上式表明：当90时，E通量为负，电场线与法线方向相反。当=90时，E通量为零，电场线与平面平行。（2） 通过任意曲面的E通量：（法线方向具体约定） 取面积元dS，则： （8-25） 有: （8-26） (3) 闭合曲面的电场强度通量：（总是取外法线方向为正） （8-27） 三 高斯定理高斯(K. F. Gauss, 德国1777-1855)高斯定理是静电场有源性的完美数学表达。1高斯定理表述 在真空中，通过任意闭合曲面的E通量等于该闭合曲面所包围净电荷除以0 证明 （高斯定理推导用图）(1) 一个点电荷的电场中 点电荷通过球面的E通量为： （8-28） 由E通量的定义，可见从+q向外发出的电场线数目为。# 可证明点电荷对任意闭合曲面的E通量为: （8-29） （2）可证明任意电荷分布对任意闭合曲面的E通量为: 记作： （8-30）静电场的高斯定理（静电场有源性的数学表达）即：通过任意闭合曲面E通量等于该闭合曲面所包围净电荷除以0讨论：(1) 当q内=0，则，它只能说明闭合曲面的通量为零，而并非面上的场强处处为零。(2) 通过闭合曲面的E通量仅由面内的电荷决定，而曲面上各点的E是所有电荷（即闭合面内、外的电荷）共同决定的。-例8.6 有一边长a正方形，中垂线上距离正方形a/2处有一电量q的点电荷。试求正方形上的E通量。解：以a为边长做一个正立方体(如图)，点电荷q正好处于立方体的中心处。立方体的每个表面均分1/6的E通量。所以，正方形上的E通量为：四 应用高斯定理求解对称性带电荷体系的电场1 点(球)对称的情况例8.7 求均匀带电球面的电场分布。已知球面半径为R，所带总电量为q(设q0)。 解： * 带电球面外的场强分布 由电荷分布球对称性，同一球面S上各点场强大小相等，选S为高斯面。S上每个面元dS上场强E都和面元矢量方向相同且大小不变，故： 此球面包围的电荷为,按高斯定理： 由此式得: 矢量式为: 说明：均匀带电球面外场强像球面电荷集中在球心成一点电荷的场强分布。* 球面内部的场强分布:对球面内部任一点，上述场强的大小和方向的分析仍适用。过点作半径的同心球面为高斯面。通过它的E通量仍为: 但由于此面内没有电荷，根据高斯定理，有: 即: (表明：均匀带电球面内部的场强处处为零)* 上述结果统一描述为: （8-31）* 场强随距离的变化曲线 曲线(上图)，场强值在球面(r=R)上不连续。* 注意：上结论可通过场强迭加原理积分计算得到，但用高斯定理简单得多。例8.8 求均匀带电球体的电场分布。已知球半径为R，所带总电量为q。 * 球体外部的场强分布解 均匀带电球体满足球对称,例8-7关于球外场强方向和大小分析和计算适用。因此得: * 球体内部的场强分布通过球内P点做一半径为r ( r l，可写成： 例8.15有一长度为L，电荷线密度为的均匀带电直线段(如图)，求：其延长线上距离近端为R的P点的场强和电势。 解 解：如图建立坐标系，将带电直线微分，则有元电荷在P点处产生的场强和电势分别为： 根据场强和电势的叠加原理，并考虑到场强方向都朝x轴方向，则： （电势也可通过所求出的场强来计算）另一方法选择从P点沿x轴到无限远的一条路径，对场强进行积分。在积分时考虑到距离R是一个变量，可用x替换R，沿x进行积分 （表明：用电势的叠加原理计算过程简单些）例8.16 一半径为R的均匀带电细圆环，所带电量为q，求: 在圆环轴线上任意点P的电势。 解：# 用叠加原理求电势的方法：以x表示从环心到P点的距离，以dq表示在圆环上任一元电荷，可得P点电势为： 当P点位于环心O处时，x = 0，则： # 根据场强求电势的方法：由例8-4可知圆环在轴线上任意一点的场强为： 在x轴上选择一条从x到无穷远的路径，则P点处电势可得： （两种计算方法所得到的结果完全相同）例8.17求均匀带电球面的电场中电势分布。球面半径R，总带电量q。 解 解：（本题宜用电势定义式，由场强积分求电势，无限远为电势零点）* 若P在球面外直到无限远处场强分布都和电荷集中球心处一点电荷场强分布一样，因此球面外任一点的电势应为： (r R)* 若P点在球面内由于球面内、外场强的分布不同，积分分两段进行，即： ( r R )球面内各点场强为零，球面外场强为点电荷场强 , 所以: 说明：均匀带电球面内各点电势相等，等于球面上的电势。例8.18 下图表示两个同心的均匀带电球面，半径为RA=5cm，RB=10cm，分别带有电量，求：距离球心r1=15cm，r2=6cm，r3=2cm处的电势。 解： 这一带电系统的电场的电势分布可由两个带电球面电势相加。每一带电球面的电势分布已在例8-17中求出。由此可知在外球外侧r = r1处， 在两球面之间r = r2处： 在内球内侧r = r3处： 例8.19 求电荷线密度为的无限长均匀带电直线电场中的电势分布。 解：无限长均匀带电直线周围的场强的大小为： （方向垂直于带电直线）（如选无限远处为电势零点，由积分可知各点电势为无限大而失去意义）选距离带电直线为的点为电势零点，则P点电势为： （式中积分路径段与带电直线平行，而段与带电直线垂直，由于段与电场方向垂直，上式等号右侧第一项积分为零）于是： 可表示为： （式中C为与电势零点的位置有关的常数）例8-20 求电偶极子的电场中的电势分布。已知电偶极子中两点电荷间的距离为。 解：设场点P离和距离和，P点距电偶极子中点O距离r, 根据电势叠加原理，P点的电势为： 对于离电偶极子比较远的点，即时，应有： （为OP与l之间夹角）代入上式，可得： （式中是电偶极子的电矩，r为矢径）例8.21 求电矩的电偶极子(图)在均匀外电场E中的电势能。 解：由(8-48)式知在均匀外电场中电偶极子正、负电荷电势能为：电偶极子在外电场中的电势能为：即： (8-55)（式中是P与E的夹角）表明：当电偶极子取向与外电场一致时，电势能最低；当电偶极子取向与外电场相反时，电势能最高；当电偶极子取向与外电场方向垂直时，电势能为零。-8-6、场强与电势梯度的关系一 等势面点电荷的电势分布： 电场强度矢量场矢量线描述电势标量场等值面描述（等势面） 1等势面-电场中电势相等的点所组成的曲面叫等势面。等势面的性质： （1）沿等势面移动电荷，静电场力不做功。 (2) 电场线与等势面正交且指向电势降落方向。等势面上任意两点，q0在两点间移动，位移dr，电场力做功为， dv=0 Edrcos=0 E0 ,dr0 ,cos=0 =90 电场线与等势面正交。 (3) 等势面密集的区域场强的数值大，等势面稀疏的区域场强的数值小。作图规定：任意两个相邻等势面之间的电势差都相等。设想把等势面作得较密，使相邻等势面间电场可看作匀强电场。由等势面间的电势差 ，可知等势面间距大的地方场强小，等势面间距小的地方场强大。二 场强分量与电势方向导数的关系 （电场强度和电势都是描写电场性质的物理量） （8-45）可见：场强已知，则可计算电势（积分）。反之，如果电势已知，可计算出场强吗？（求导）场强分量与电势方向导数的关系和接近，指向为r方向，P1到P2距离，电势增量dV。电势差dU和电势增量dV有一负号的差别，所以：（是处场强在r方向的投影）有： (8-56)表明：电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此方向的方向导数的负值。（如果空间的电势分布已知，则可求出电场强度在任意方向的分量）电场中a点的场强为：（规定等势面法线方向由低电势指向高电势） 电场中任意点场强为：电场中某点场强E的大小等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数，E的方向与法线方向相反。三 场强与电势梯度的关系将电势分布表示为笛卡儿坐标x、y、z的函数V(x，y，z)，由(8-56)式可得（场强在三个坐标轴方向