【中考十年】江苏省无锡市2003中考数学试题分类解析汇编专题8 三角形.doc

2003-2012年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编专题8：三角形一、选择题1. （江苏省无锡市2003年3分）已知d、e分别是abc的边ab、ac的中点，de2，那么bc的长是【 】 a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 【答案】c。【考点】三角形中位线定理【分析】d、e是ab、ac的中点，de是abc的中位线。de=bc。又de=2，bc=2de=22=4。故选c。2. （江苏省2009年3分）如图，给出下列四组条件：； 其中，能使的条件共有【 】a1组b2组c3组d4组【答案】c。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：，可用“sss”判定；，可用“sas”判定；，可用“asa”判定；，是“ssa”，不能判定；因此能使abcdef的条件共有3组。故选c。3. ( 江苏省无锡市2010年3分)下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是【 】a两边之和大于第三边b有一个角的平分线垂直于这个角的对边c有两个锐角的和等于90d内角和等于180【答案】b。【考点】三角形构成的条件，三角形内角和定理，等腰三角形和直角三角形的性质。【分析】两边之和大于第三边，内角和等于180，这两条性质对于每个三角形都具有。对于直角三角形，还有其特殊的性质，如两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，面积等于两直角边乘积的一半；对于等腰三角形，其特殊性质有：两条边相等，两个底角相等，“三线合一”。 故选 b。4. (江苏省无锡市2011年3分)如图，四边形abcd的对角线ac、bd相交于o，且将这个四边形分成、四个三角形若oa：oc=ob：od，则下列结论中一定正确的是【 】 a与相似 b与相似 c与相似 d与相似【答案】b。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似的判定定理，直接得出结果：选项a和c，所给的两个三角形无角相等，无对应边的比相等，不相似；选项d，所给的两个三角形只有一组对角相等，无对应边的比相等，不相似；选项b，与对顶角相等，oa：oc=ob：od，两三角形相似。故选b。5.（2012江苏无锡3分）sin45的值等于【 】abcd1【答案】b。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45=。故选b。二、填空题1.（江苏省无锡市2003年2分）如图，在abc和fed中，adfc，abfe，当添加条件： 时，就可得到abcfed（只需填写一个你认为正确的条件）. 【答案】bc=ed（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】要得到abcfed，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案：ad=fcac=fd，又ab=ef，加bc=de就可以用sss判定abcfed；加a=f或abef就可以用sas判定abcfed。填bc=ed或a=f或abef等皆可。2. （江苏省无锡市2004年2分）rtabc中，c=90，b=40，ab=2，则ac= （结果精确到0.01）【答案】1.29。【考点】解直角三角形，锐角三角函数。【分析】根据三角函数定义求解：，ab=2，ac=2sin401.29。3. （江苏省无锡市2008年2分）如图，则 【答案】20。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质。【分析】根据已知可求得的度数，由三角形内角和定理即可求得的对顶角的度数，答案可得：，=80，=80。4. （江苏省无锡市2008年2分）已知：如图，边长为的正abc内有一边长为的内接正def，则aef的内切圆半径为 【答案】。【考点】正三角形的性质，三角形内切圆的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，三角形的面积。【分析】边长为b的内接正三角形def，内接于边长为a的正三角形abc则a=b=efd=60,ab=a，ef=de=b，afe+aef=bed+aef=120afe=bed。aefbde（aas）。同理可证aefcfd 。ae=bd。af+bd=a。af+ae=a。设aef的内切圆圆心为o,半径为r则。又abc边上的高为，def边上的高为，则， 。由得，解得。5. ( 江苏省无锡市2010年2分)如图，abc中，de垂直平分ac交ab于e，a=30，acb=80，则bce=【答案】50。【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质。【分析】垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，从而得到角相等：de垂直平分ac，ea=ec，eca=a=30。又acb=80，bce=50。6. (江苏省无锡市2011年2分)如图，在rtabc中，acb=90，d、e、f分别是ab、bc、ca的中点，若cd=5cm，则ef= cm【答案】5。【考点】三角形中位线性质和直角三角形性质。【分析】根据三角形中位线等于第三边一半的性质和直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，直接得出结果：ef=。7. （2012江苏无锡2分） 如图，abc中，acb=90，ab=8cm，d是ab的中点现将bcd沿ba方向平移1cm，得到efg，fg交ac于h，则gh的长等于 cm【答案】3。【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由acb=90，ab=8，d是ab的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得ad=bd=cd=ab=4。然后由平移的性质得ghcd，因此aghadc。 。 又efg由bcd沿ba方向平移1cm得到的， ag=41=3。，解得gh=3。三、解答题1. （江苏省无锡市2003年9分）已知：如图，四边形abcd为菱形，afad交bd于点e，交bc于点f. 求证：ad2dedb；过点e作egaf交ab于点g，若线段be、de（be0）的两个根，且菱形abcd的面积为6，求eg的长.【答案】解：（1）证明：连接ac交bd于点o。四边形abcd为菱形，acbd，bo=od。aead，aodead。ad2=oded=debd。（2）解方程x23mx2m20得x1=m，x2=2m。bede，m0，be=m，de=2m。bd=3m。ad2dedb，ad=m。在rtade中，de=2m，ad=m，ae=m，adb=30。在rtbef中，ebf=30，be=m，ef=m，af=m。，m2=4。m=2（负值舍去）。m=2。egaf，adaf，gead。，即，。【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理，和含300角直角三角形的性质。【分析】（1）连接ac交bd于o，根据菱形的性质可得到aodead，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结果。（2）先解二次方程，求出be，de的值，直接利用（1）的结果，可求出ad的值，再利用勾股定理及三角函数求得ae，ef，bf的值，根据比例线段求得eg的长，再根据菱形的面积可求出m的值，那么eg即可求。2. （江苏省无锡市2004年6分）已知：如图，abcd中，bd是对角线，aebd于e，cfbd于f. 求证：be=df. 【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，abcd。abcd，abe=cdf。又aebd，cfbd，aeb=cfd=90。abecdf（aas）。be=df。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】要证be=df，可由abecdf来证，根据平行四边形的性质和三角形全等的判定定理，很容易确定aas，从而确定三角形全等。3. （江苏省无锡市2004年10分）已知，如图，rtabc中，b=90，a=30，bc=6. 点o从a点出发，沿ab以每秒的速度向b点方向运动，当点o运动了t秒（t0）时，以o点为圆心的圆与边ac相切于点d，与边ab相交于e、f两点. 过e作egde交射线bc于g.（1）若e与b不重合，问t为何值时，beg与deg相似？（2）问：当t在什么范围内时，点g在线段bc上？当t在什么范围内时，点g在线段bc的延长线上？（3）当点g在线段bc上（不包括端点b、c）时，求四边形cdeg的面积s（2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点o运动了几秒种时，s取得最大值？最大值为多少？【答案】解：（1）连接od，dfac切o于点d，odac。在rtoad中，a=30，oa=t，。又fod=9030=60，aed=30，ad=ed=。deeg，beg=60。begdeg。b=ged=90，若egd=30，则bgd=60=acb这是不可能的，egd=60。dgbc，dgab。在rtdeg中，deg=90，de=，dg=t。在rtabc中，a=30，bc=6，ac=12，ab=6。cd=。dgab，即，解得。当t为秒时，beg与egd相似。（2）ac切o于点d，odac。在rtoad中，a=30，oa=t，aed=30。deeg。beg=60。在rtbc中，b=90，a=30，bc=6，ab=6，be=。rtbeg中，beg=60，。当06，即t4时，点g在线段bc上；当6，即0t时，点g在线段bc的延长线上。（3）过点d作dmab于m。在rtadm中，a=30，dm=ad=。 。所以当t=秒时，s取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，切线的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）连接od，df，由切线的性质得odac，则aod=60，aed=30。由deg=90得beg=60，因此本题可分两种情况进行讨论：当edc=60，ecd=30时，bgd=bge+egd=60这样bgd和acb相等，那么dg和ac应该平行，显然这种情况是不成立的当dge=60时，可在rtaod中，根据a的度数和ao的长表示出ad的长，也就能表示出cd的长，由于a=aed=30，那么ad=de，可在rtdeg中，用ad的长表示出dg，从而根据dgab得出的关于cd，ad，dg，ab的比例关系式即可求出此时t的值。（2）求出bg的表达式，然后令bgbc，即可得出g在bc延长线上时t的取值范围。（3）由于四边形cged不是规则的四边形，因此其面积可用来求得在前两问中已经求得ad，ae，be，bg的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积据此可求出s，t的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出s的最大值及对应的t的值。4. （江苏省无锡市2005年6分）已知：如图，平行四边形abcd中，e、f分别是边bc和ad上的点，且be=df，求证：ae=cf.【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，ab=cd，b=d。又be=df，abecdf（sas）。ae=cf。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（sas，asa，sss）来证明全等。5. （江苏省无锡市2005年10分）已知，点p是正方形abcd内的一点，连pa、pb、pc.（1）将pab绕点b顺时针旋转90到pcb的位置（如图1）.设ab的长为a，pb的长为b（ba），求pab旋转到pcb的过程中边pa所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；若pa=2，pb=4，apb=135，求pc的长.（2）如图2，若pa2+pc2=2pb2，请说明点p必在对角线ac上.【答案】解：（1）pab绕点b顺时针旋转90得到pcb，。又ab=a，bd=b， 。连接pp，根据旋转的性质可知：bp=bp，pbp=90；pbp为等腰直角三角形，bpp=45。bpa=bpc=135，bpp=45，ppc=90。在rtppc中，pp=，pc=pa=2，根据勾股定理可得pc=6。（2）将pab绕点b顺时针旋转90到pcb的位置，连接pp。同（1）可知：bpp是等腰直角三角形，即。pa2+pc2=2pb2=pp2，pcp=90。pbp=pcp=90，在四边形bpcp中，bpc+bpc=180。bpa=bpc，bpc+apb=180，即点p在对角线ac上。【考点】旋转的性质，扇形面积的计算，勾股定理和逆定理，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】（1）pab旋转到pcb的过程中边pa所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形oac与小扇形bpp的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度。（2）连接pp，证pbp为等腰直角三角形，从而可在rtppc中，用勾股定理求得pc=6；将pab绕点b顺时针旋转90到pcb的位置，由勾股定理逆定理证出pcp=90，再证bpc+apb=180，即点p在对角线ac上。6. （江苏省无锡市2006年9分）如图，abc中，acb90，acbc1，将abc绕点c逆时针旋转角。（090）得到a1b1c1，连结bb1.设cb1交ab于d，a1b1分别交ab、ac于e、f。（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（abc与a1b1c1全等除外）；（2）当bb1d是等腰三角形时，求；（3）当60时，求bd的长。【答案】解：（1）cbdca1f，证明如下：，。a1c=bc，。cbdca1f（asa）。（2）在cbb1中，cb=cb1，。又abc是等腰直角三角形，abc=45。若b1b=b1d，则b1db=b1bd。b1db=45+，解得（舍去）。，即bdb1d。若bb1=bd，则，即。由可知，当bb1d为等腰三角形时，=30。（3）作dgbc于g，设cg=x，在rtcdg中，。在rtdgb中，。，即。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义。【分析】（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：cbdca1f或aefb1ed或acdb1cf等由旋转的意义可证a1cf=bcd，a1c=bc，a1=cbd=45，所以由asa可得cbdca1f。（2）当bbd是等腰三角形时，要分别讨论b1b=b1d、bb1=bd、b1d=db三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得=30。（3）作dgbc于g，在直角三角形cdg和直角三角形dgb中，由三角函数即可求得bd的长。7. （江苏省无锡市2007年7分）如图，已知四边形是菱形，点分别是边，的中点求证：【答案】证明：菱形中，分别是的中点，。又，。 。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】证明ae=cf，只要证明即可，它易由证得。8. （江苏省无锡市2007年9分）（1）已知中，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系【答案】解：（1）如图，共有2种不同的分割法：（2）设，过点的直线交边于在中，若是顶角，如图1，则， 。此时只能有，即，即。若是底角，则有两种情况：第一种情况：如图2，当时，则，中，由，得，此时有，即；由，得，此时，即；由，得，此时，即，为小于的任意锐角。第二种情况，如图3，当时，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾当是底角时，不成立。【考点】等腰三角形的性质。【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上。（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系。9. （江苏省无锡市2008年6分）如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：【答案】解：矩形中， 。，。 。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定。【分析】结合矩形的性质，根据两角对应相等的两个三角形相似可解。10. （江苏省2009年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点a和b，点a到航线的距离为2km，点b位于点a北偏东60方向且与a相距10km处现有一艘轮船从位于点b南偏西76方向的c处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点a的正北方向的d处（1）求观测点b到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）（参考数据：，）【答案】解：（1）设与交于点。在中，。又，。在中，（km）。观测点到航线的距离为3km。（2）在中，在中，。在中，。（km）。，（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点到航线的距离。 （2）解、和，求得的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。11. ( 江苏省无锡市2010年8分)在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头mn（如图），在码头西端m的正西19.5km处有一观察站a某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于a的北偏西30，且与a相距40km的b处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于a的北偏东60，且与a相距km的c处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头mn靠岸？请说明理由【答案】解：（1）由题意，得bac=90，。 轮船航行的速度为km/时。 (2)能。理由如下： 作bdl于d，cel于e，设直线bc交l于f，则bd=abcosbad=20，ce=acsincae=，ae=accoscae=12。bdl，cel，bdf=cef=90。又bfd=cfe，bdfcef。ef=8。