经济数学基础微分学之第2章 极限、导数与微分.doc

经济数学基础之微分学 第2章 极限、导数与微分第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1 数列的极限：数列：一般地，按一定规律排列的一串数，称为数列，简记为。其中的第项称为该数列的通项。数列的极限：给定数列，如果当无限增大时，无限地趋近某个固定的常数A，则称当趋于无穷时，数列以A为极限。记为2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当时，的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子天下定义2.1函数的极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为或；若自变量趋于时，函数没有一个固定的变化趋势，则称函数在处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.时（），2.（包括这两种情况）问题思考：极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程，所以不好回答是多少，但是， ，.考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限.因为在处无定义.又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2左右极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作 = L；如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作=R。3.极限存在的充分必要条件：极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即问题思考：设函数, 求因为y，x由极限存在的充分必要条件知，由函数的图形也可得到此结论.4.无穷小量定义2.3无穷小量和无穷大量称当时，为无穷小量，简称无穷小.无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量；性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.无穷大量在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大，；反之，若是无穷大，则是无穷小.三、例题讲解例1 讨论时, =？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，即=4例2讨论函数,当时的极限oy解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到例3 , 求解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限. 可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.例4 ，当时，解： 由图形可知，当时，当时，是无穷小量.四、课堂练习练习1 讨论函数当 时的变化趋势.yox解：函数的图形是练习2 设函数， 问为何值时，存在？解：因为，所以.练习3 当时，下列变量中（ ）是无穷小量. A）；B）；C）；D）解：因为，所以选择D正确.练习4 设是无穷大量，则是无穷大量.证明：因为是无穷大量，由“倒数关系”知均为无穷小量，于是有是无穷小量，所以是无穷大量.五、课后作业1.讨论函数当时的变化趋势.2.判断下列极限是否收敛：（1）；（2）；（3）；（4）3.求下列数列的极限：（1）；（2）；（3）；（4）4.试用图形说明：不存在.5.设，求在是的左、右极限，并说明在点极限是否存在.6.设，求，并讨论是否存在.7.分析函数的变化趋势，并求极限.（1）；（2）；（3）；（4）8.当时，下列变量中哪些是无穷小量？9.当时，下列变量中是无穷小量的有：（1）；（2）；（3）；（4）10.函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？1.；2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散.3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0.4. 5. 因为，所以，函数在处左、右极限存在但不相等，故函数在0点的极限不存在.6. ，因为函数在处左、右极限存在但不相等，所以不存在.7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.8. 9. 10. 当时，为无穷大量，当时，为无穷小量.第二节 极限的运算一、学习目标通过本课程的学习，要学会极限的四则运算法则，学会使用法则的方法和常用的技巧，能够用四极限的四则运算法则计算则函数的极限.二、内容讲解在某个变化过程中，变量分别以为极限，则问题思考：设，则，对吗？请举例说明.不一定 如且但三、例题讲解例1 求解 例2 求解：例3求解：例4 求解：四、课堂练习练习1 求解：，属于分子、分母的极限均为0.练习2 求 解本题属于无穷大量之比的极限计算问题，需变形后再利用法则计算.五、课后作业1； 2；3 4；5； 6；7； 8；9、； 10、10；2.21；3.1；4.；5.； 6.；7.；8.1；9.；10.第二单元 两个重要极限与函数连续性第一节 两个重要极限一、学习目标通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计一些函数的极限.二、内容讲解第一个重要极限公式：几何说明：如图，设为单位圆的圆心角，则对应的小三角形的面积为，对应的扇形的面积为，对应的大三角形的面积为当时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.第二个重要极限公式：；问题思考：0.这不是第一个重要极限公式，当时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量.三、例题讲解例1 解：=例2 求极限解: 例3 求极限解 四、课后练习练习1 求极限练习2 求极限五、课后作业1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10. 2. 3.5 4.1 5.1 6.0 7. 8. 9. 10.第二节 函数的连续性一、学习目标通过本课程的学习，我们要知道连续的数学表示，知道数学中间断的概念. 将会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同，会进行连续函数的运算.二、内容讲解生活中的实例：高山流水，植物生长，工业连续化生产连续函数的定义定义2.4函数的间断与连续设函数在点的邻域内有定义，若满足，则称函数在点处连续.点是的连续点.函数间断、间断点的概念。例如 函数 在定义域内都是连续的.问题思考：设在点处连续，则 答案 ：0. 因为在点处连续， 所以，极限为0.三、例题讲解例1 ,问在处是否连续？注意：此函数是分段函数，是函数的分段点.解: 不存在，在处是间断的.例2 ,问在处是否连续？解: （无穷小量有界变量=无穷小量）在处是连续的.结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3解: 注意：是初等函数，在处有定义，利用结论有极限值等于函数值.四、课堂练习练习1 求函数的连续区间.解:因为是初等函数，所以其连续区间是定义域练习2 设函数，求为何值时，函数在处连续. 解: 五、课后练习1.设函数问（1）当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在；(2) 当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续.2.讨论函数在处的连续性.3.求下列函数的间断点和连续区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）4.说明下列函数在定义域内连续（1）；（2）（3）；（4）5.求下列函数极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案1.（1）当任意时，在处有极限存在；（2）当时，在处连续.2. 因为，所以函数在处不连续.3.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）4.（1）定义区间；（2）定义区间；（3）；（4）定义区间；5.（1）；（2）；（3）0；（4）；（5）1；（6）.第三单元 导数、微分的概念及四则运算第一节 导数和微分的概念一、学习目标本节课主要讨论导数和微分的概念，通过学习应明确导数与微分的定义，了解导数的几何意义和经济意义，会求曲线的切线方程；了解导数、微分与连续之间的关系并熟练背住导数和微分的基本公式.二、内容讲解本节的主要内容是导数与微分的概念.1.导数概念三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题.引例1： 边际成本问题C总成本，总产量，已知（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量），（成本平均变化率）（边际成本）引例2:瞬时速率问题路程是时间的函数当从时，从（平均速率） （在时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线在处的切线斜率.当时，对应的曲线上和两点间割线的斜率为.（当时）称为切线的斜率. 关于函数，考虑极限定义2.5导数设函数在点的邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量：若当时，两个改变量之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为 在点处的导数，记为或或或 ，即=若极限不存在，则称函数在点处不可导.在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.2.导数定义的意义数量意义：变化率经济意义：边际成本几何意义：切线的斜率3.微分的概念设，导数两边同乘，得到函数的微分，微分4.导数公式 5.微分公式由导数公式可以得到微分公式；问题思考：设则证明如下：因为，；于是三、例题讲解例1，求思路：先求，再求.解：因为所以，例2 ，求解: 因为，所以导数公式：求导步骤：1、求；2、求.注意：是的导函数，函数在处的导数值四、课堂练习练习1 设，且存在，求.利用已知条件对进行适当的变形，再用导数定义求极限.由导数定义，上式极限存在且就是函数在处的导数，即为练习2 设函数在处可微，求.利用已知条件，函数可微一定连续.可以证明函数可导与可微是等价的，可导一定连续，反之则不然.因为函数可微一定连续，所以 五、课后作业1.根据导数定义，求下列函数的导数：（1）；（2）2.求下列函数在指定点处的导数：（1）；（2）；（3）；（4）3.求下列函数的导数和微分：（1）；（2）；（3）；（4）4.求曲线在（1，0）点处的切线方程.5.在抛物线上求一点，使得该点处的切线平行于直线 1（1）；（2）；2（1）27；（2）；（3）ln2；（4）。3（1）0； （2）； （3）； （4）.4；5第二节 导数的四则运算法则一、学习目标通过本课程的学习，我们要熟练掌握导数的四则运算法则，并且能够熟练运用四则运算法则计算函数的导数与微分.1.导数的加法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且，（为常数）2.加法公式证明求证导数的加法法则证：设，则，； 由已知条件，均可导.3.导数的乘法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且，4.导数除法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且（） 问题思考：设在点处可导且，则.解：由导数的除法法则三、例题讲解例1 设函数，求分析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数.解：（利用加法法则）=（利用导数公式）例2 设，求.解：（提示）例3 设，求.解：（提示）例4 ，解：因为（由对数的性质：）所以（其中常数的导数为0）例5 设，求解：利用导数的乘法法则，（利用导数公式）例6 ，求.解：由导数基本公式 利用导数的乘法法则说明无论用哪种方法其结果是唯一的.例7 ，求.解： 将函数看成，利用乘法法则求导. 利用导数的除法法则求导，其中两个结果是完全一样的.例8 求解：（利用三角公式）同理可求.四、课堂练习练习1 设，求练习2 设，求.练习3 设，求.求下列函数的导数或微分：五、课后作业1.，求；2.,求；3. 求；4.，求；5.，求；6.，求；7.，求；8.，求；9.，求；10.，求.1.；2.；3.；4.；5.； 6.；7.；8.；9.；10.第四单元 复合函数求导与高阶导数第一节 复合函数与隐函数求导法则一、学习目标在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.二、内容讲解（一）复合函数求导1.复合函数求导问题：（1），求；（2），则解：第一个问题，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开，利用加法法则有方法2：将函数写成两个因式乘积的形式，利用四则运算法则求导数.第二个问题，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论，引进中间变量2.复合函数求导法则定理 设y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x)在点x处可导，且或3.复合函数求导步骤（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；（2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.4.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若，则 或注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.（二）隐函数求导1.隐函数求导问题: 求由方程所确定的隐函数的导数？解：先将从方程中解出来，得到和分别求导和，将和分别代入，得，（1）由（1）解得，（2）在（2）中隐含2.隐函数求导方法步骤（1）方程两边求导，；（2）整理方程，求出.问题思考：设，则错误.正确求解过程为：，。注意：.三、例题讲解例1 求下列函数的导数或微分（1），求解：方法一:由，方法二: 利用复合函数求导法则，设，（2），求解：利用复合函数求导法则，设，.（3），求.解：利用复合函数求导法则，设，例2设，求解：先求一般点上函数的导数，再将代入求得结果.设，利用复合函数求导法则，例3设函数，求.解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量），例4 求函数，求.解：例5 设函数，求.解 ，例6 求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.，解出（与前面的结果相同）.例7 求由方程所确定的隐函数的导数？解