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函数 函数的应用 1 构建函数模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段 对于函数的实际问题要认真分析 构建函数模型 从而解决实际问题 函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面 2 实际问题中函数解析式的求法设x为自变量 y为x的函数 在求解析式时 一般与列方程解应用题一样先列出关于x y的二元方程 再用含x的代数式表示y 利用题中的不等关系或结合实际求出自变量x的取值范围 3 三种题型 1 选择题 关键 读懂函数图象 学会联系实际 2 综合题 关键 运用数形结合思想 3 求运动过程中的函数解析式 关键 以静制动 七 1 2015 阜新 小明到超市买练习本 超市正在打折促销 购买10本以上 从第11本开始按标价打折优惠 买练习本所花费的钱数y 元 与练习本的个数x 本 之间的关系如图所示 那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是 折 5 2 2015 沈阳 如图1 在某个盛水容器内 有一个小水杯 小水杯内有部分水 现在匀速持续地向小水杯内注水 注满小水杯后 继续注水 小水杯内水的高度y cm 和注水时间x s 之间的关系满足如图2中的图象 则至少需要 s能把小水杯注满 19 6 3 2015 朝阳 一个足球被从地面向上踢出 它距地面的高度h m 与足球被踢出后经过的时间t s 之间具有函数关系h at2 19 6t 已知足球被踢出后经过4s落地 则足球距地面的最大高度是 m 4 2015 营口 某服装店购进单价为15元的童装若干件 销售一段时间后发现 当销售价为25元时平均每天能售出8件 而当销售价每降低2元 平均每天能多售出4件 当每件的定价为 元时 该服装店平均每天的销售利润最大 22 10 x 40 5 2015 葫芦岛 小明开了一家网店 进行社会实践 计划经销甲 乙两种商品 若甲商品每件利润10元 乙商品每件利润20元 则每周能卖出甲商品40件 乙商品20件 经调查 甲 乙两种商品零售单价分别每降价1元 这两种商品每周可各多销售10件 为了提高销售量 小明决定把甲 乙两种商品的零售单价都降价x元 1 直接写出甲 乙两种商品每周的销售量y 件 与降价x 元 之间的函数关系式 y甲 y乙 10 x 20 6 2015 辽阳 某商场试销一种商品 成本为每件200元 规定试销期间销售单价不低于成本单价 且获利不得高于50 一段时间后 发现销售量y 件 与销售单价x 元 之间的函数关系如下表 1 请根据表格中所给数据 求出y关于x的函数关系式 2 设商场所获利润为w元 将商品销售单价定为多少时 才能使所获利润最大 最大利润是多少 7 2015 盘锦 盘锦红海滩景区门票价格80元 人 景区为吸引游客 对门票价格进行动态管理 非节假日打a折 节假日期间 10人以下 包括10人 不打折 10人以上超过10人的部分打b折 设游客为x人 门票费用为y元 非节假日门票费用y1 元 及节假日门票费用y2 元 与游客x 人 之间的函数关系如图所示 1 a b 2 直接写出y1 y2与x之间的函数关系式 3 导游小王6月10日 非节假日 带a旅游团 6月20日 端午节 带b旅游团到红海滩景区旅游 两团共计50人 两次共付门票费用3040元 求a b两个旅游团各多少人 6 8 8 2015 铁岭 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜 已知这种蔬菜的批发量在20千克 60千克之间 含20千克和60千克 时 每千克批发价是5元 若超过60千克时 批发的这种蔬菜全部打八折 但批发总金额不得少于300元 1 根据题意 填写如表 2 经调查 该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y 千克 与零售价x 元 千克 是一次函数关系 其图象如图 求出y与x之间的函数关系式 3 若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克 且当日零售价不变 那么零售价定为多少时 该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大 最大利润为多少元 9 2015 锦州 开学初 小明到文具批发部一次性购买某种笔记本 该文具批发部规定 这种笔记本售价y 元 本 与购买数量x 本 之间的函数关系如图所示 1 图中线段ab所表示的实际意义是 2 请直接写出y与x之间的函数关系式 3 已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元 本 若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本 那么小时购买多少本时 该文具批发部在这次买卖中所获利润w 元 最大 最大利润是多少 购买笔记本不超过10本时 每本售价5元 10 2015 朝阳 某农场急需铵肥8吨 在该农场南北方向分别有一家化肥公司a b a公司有铵肥3吨 每吨售价750元 b公司有铵肥7吨 每吨售价700元 汽车每千米的运输费用b 单位 元 千米 与运输重量a 单位 吨 的关系如图所示 1 根据图象求出b关于a的函数解析式 包括自变量的取值范围 2 若农场到b公司的路程是农场到a公司路程的2倍 农场到a公司的路程为m千米 设农场从a公司购买x吨铵肥 购买8吨铵肥的总费用为y元 总费用 购买铵肥费用 运输费用 求出y关于x的函数解析式 m为常数 并向农场建议总费用最低的购买方案 一次函数相关应用题 例1 2015 丽水 甲 乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书 甲出发5分钟后 乙以50米 分的速度沿同一路线行走 设甲 乙两人相距s 米 甲行走的时间为t 分 s关于t的函数图象的一部分如图所示 1 求甲行走的速度 2 在坐标系中 补画s关于t的函数图象的其余部分 3 问甲 乙两人何时相距360米 解 1 甲行走的速度 150 5 30 米 分 2 当t 35时 甲行走的路程为 30 35 1050 米 乙行走的路程为 35 5 50 1500 米 当t 35时 乙已经到达图书馆 甲距图书馆的路程还有1500 1050 450 米 甲到达图书馆还需时间450 30 15 分 35 15 50 分 当s 0时 横轴上对应的时间为50 补画的图象如图 所示 横轴上对应的时间为50 点评 本题主要考查了一次函数的应用 利用函数图象得出正确的信息 解答时求出函数的解析式是关键 对应训练 1 鞍山模拟 某超市预计购进a b两种品牌的t恤共200件 已知两种t恤的进价如表所示 设购进a种t恤x件 且所购进的两种t恤全部卖出 获得的总利润为w元 1 求w关于x的函数关系式 2 如果购进两种t恤的总费用不超过9500元 那么超市如何进货才能获得最大利润 并求出最大利润 提示 利润 售价 进价 解 1 设购进a种t恤x件 则购进b种t恤 200 x 件 由题意得 w 80 50 x 65 40 200 x w 30 x 5000 25x w 5x 5000 答 w关于x的函数关系式为w 5x 5000 2 购进两种t恤的总费用不超过9500元 50 x 40 200 x 9500 x 150 w 5x 5000 k 5 0 w随x的增大而增大 x 150时 w的最大值为5750 购进a种t恤150件 购进b种t恤50件可获得最大利润 最大利润为5750元 反比例函数相关应用题 例2 朝阳模拟 六 一儿童节 小文到公园游玩 看到公园的一段人行弯道mn 不计宽度 如图 它与两面互相垂直的围墙op oq之间有一块空地mpoqn mp op nq oq 他发现弯道mn上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等 比如 a b c是弯道mn上的三点 矩形adog 矩形beoh 矩形cfoi的面积相等 爱好数学的他建立了平面直角坐标系 如图 图中三块阴影部分的面积分别记为s1 s2 s3 并测得s2 6 单位 平方米 og gh hi 1 求s1和s3的值 2 设t x y 是弯道mn上的任一点 写出y关于x的函数关系式 3 公园准备对区域mpoqn内部进行绿化改造 在横坐标 纵坐标都是偶数的点处种植花木 区域边界上的点除外 已知mp 2米 nq 3米 问一共能种植多少棵花木 点评 本题考查了反比例函数的应用 根据反比例函数的特点 阴影部分的面积只与比例系数k有关 然后表示出s2的面积求出k是解题的关键 对应训练 2 2015 衡阳 某药品研究所开发一种抗菌新药 经多年动物实验 首次用于临床人体试验 测得成人服药后血液中药物浓度y 微克 毫升 与服药时间x小时之间函数关系如图所示 当4 x 10时 y与x成反比例 1 根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式 2 问血液中药物浓度不低于4微克 毫升的持续时间多少小时 2 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m 宽为4m 如果隧道内设双向行车道 那么这辆货车能否安全通过 3 在抛物线型拱壁上需要安装两排灯 使它们离地面的高度相等 如果灯离地面的高度不超过8m 那么两排灯的水平距离最小是多少米 点评 构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道 大桥和拱门等实际问题时 要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上 从而确定抛物线的解析式 通过解析式可解决一些测量问题或其他问题 对应训练 3 2015 襄阳 为满足市场需求 某超市在五月初五 端午节 来临前夕 购进一种品牌粽子 每盒进价是40元 超市规定每盒售价不得少于45元 根据以往销售经验发现 当售价定为每盒45元时 每天可以卖出700盒 每盒售价每提高1元 每天要少卖出20盒 1 试求出每天的销售量y 盒 与每盒售价x 元 之间的函数关系式 2 当每盒售价定为多少元时 每天销售的利润p 元 最大 最大利润是多少 3 为稳定物价 有关管理部门限定 这种粽子的每盒售价不得高于58元 如果超市想要每天获得不低于6000元的利润 那么超市每天至少销售粽子多少盒 解 1 由题意得 y 700 20 x 45 20 x 1600 2 p x 40 20 x 1600 20 x2 2400 x 64000 20 x 60 2 8000 x 45 a 20 0 当x 60时 p最大值 8000元 即当每盒售价定为60元时 每天销售的利润p 元 最大 最大利润是8000元 3 由题意 得 20 x 60 2 8000 6000 解得x1 50 x2 70 抛物线p 20 x 60 2 8000的开口向下 当50 x 70时 每天销售粽子的利润不低于6000元的利润 又 x 58 50 x 58 在y 20 x 1600中 k 20 0 y随x的增大而减小 当x 58时 y最小值 20 58 1600 440 即超市每天至少销售粽子440盒 2 按国家规定 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克 百毫升时属于 酒后驾驶 不能驾车上路 参照上述数学模型 假设某驾驶员晚上20 00在家喝完半斤低度白酒 第二天早上7 00能否驾车去上班 请说明理由 对应训练 4 2015 南充 某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5 5万元 电力公司规定 该工厂每月用电量不得超过16万度 月用电量不超过4万度时 单价是1万元 万度 超过4万度时 超过部分电量单价将按用电量进行调整 电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示 效益 产值 用电量 电价 1 设工厂的月效益为z 万元 写出z与月用电量x 万度 之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 2